2024-2025学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024—2025学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x>0}，B={x|x2−x≤0}，则A∩B=A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x<1}2.设复数z满足(1+i)z=3−i，则|z−|=A.2 B.3 C.53.已知平面向量a=(1,2),b=(−1,m)，若(2a−A.−112 B.−2 C.2 4.已知sin(α+β)=23,cosαsinβ=1A.−13 B.13 C.−5.函数y=2x2−ax+1在区间[1,+∞)上单调递增，则aA.(−∞,2] B.[2,+∞) C.(−∞,−2] D.[−2,+∞)6.方程4cos(x−π3)=x−1在x∈[−π,π]的根的个数为A.2 B.3 C.4 D.57.一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为(

)A.3327π B.428.已知函数f(x)>0，且f(x+1)=12f(x),当f(x)是偶数时A.f(1)≥3 B.f(2)≤10 C.f(3)≤31 D.f(4)≤16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X服从正态分布X～N(2,4)，则以下选项正确的是(

)A.若Y=X+2，则E(Y)=4 B.若Y=2X+4，则D(Y)=8

C.P(X≤0)=P(X≥4) D.P(1≤X≤4)=1−2P(X≥4)10.三次函数f(x)=x3+axA.函数f(x)可能只有一个极值点

B.当a=0时，函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称

C.当x0=−a3时，过点(x0,f(x0))11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：r=a(1−sinθ)，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式x=rcosθy=rsinθ和r=x2+y2可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点A.a=1

B.曲线经过点(−1,0)

C.当点(x0,y0)在曲线上时，−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x24−y213.曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切线，则实数a=14.嵊(sℎèng)州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡(sℎàn)县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是13,13,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=3asinB，cosA=13．

(1)证明：a=c；

(2)若b=2，求BC边上中线16.(本小题15分)

已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC=2，PA=AB=1，E为PB的中点，Q为BA延长线上一点．

(1)证明：AE⊥CP；

(2)当二面角A−PQ−C余弦值大小为64时，求BQ17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点A(0,2)，点P(332,1)在椭圆C上，斜率为k的直线l过点A交椭圆C于另一点Q．

18.(本小题17分)

设函数f(x)=x+[ln(x+1)]2，g(x)=ln(x+1)[ln(x+1)+m+1]+n．

(1)求f′(x)的最大值；

(2)若函数f(x)的极小值点为x0，证明：−19.(本小题17分)

设n为大于3的正整数，数列{an}是公差不为零的等差数列，从中选取m项组成一个新数列，记为{bm}，如果对于任意的i(i=1,2,⋯,m−2)，均有(bi−bi+1)(bi−bi+2)<0，那么我们称数列{bm}为数列{am}的一个n−数列．

(1)若数列{an}为1，2，3，4，m=4，写出{an}所有的n−数列；参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.A

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.BD

11.ABD

12.713.2

14.2315.(1)证明：因为2csinA=3asinB，由正弦定理得：2ca=3ab，

所以c=32b，

因为cosA=13，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=13，

代入c=32b可得：b2+94b2−a23b16.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因为AE⊂面PAB，

所以BC⊥AE，又因为E为PB的中点，PA=AB=1，

所以AE⊥PB，因为BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，

所以AE⊥CP；

(2)如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，

设BQ=t,B(0.0,0),Q(0,t,0),P(0,1,1),C(3,0,0)，

取平面APQ的法向量m=(1,0,0)，

设平面CPQ的法向量n=(x,y,z)，

因为QC=(3,−t,0),PC=(3,−1,−1)，

由QC⋅n=0PC⋅n=0，则3x−ty=03x−y−z=0，

令x=t，解得y=317.解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A(0,2)，所以b=2，

则椭圆方程为x2a2+y24=1，

因为P(332,1)在椭圆C上，所以(332)2a2+124=1，解得a2=9，

所以椭圆的方程为x29+y24=1．

18.(1)解：令k(x)=f′(x)=1+2ln(x+1)x+1(x>−1)，k′(x)=2(1−ln(x+1))(x+1)2，

当x∈(−1,e−1)时，k′(x)>0，当x∈(e−1,+∞)时，k′(x)<0，

所以f′(x)在x∈(−1,e−1)单调递增，在x∈(e−1,+∞)上单调递减，

所以f′(x)的最大值为f′(e−1)=1+2e；

(2)证明：由(1)知，f′(x)在x∈(−1,e−1)单调递增，

又f′(−12)=1−4ln2<0,f′(0)=1>0，

由函数零点存在定理可得必然存在唯一的x0∈(−12,0)，使得f′(x0)=0，

且当x∈(−12,x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0,0)时，f′(x)>0，

所以函数f(x)的极小值点x0满足−12<x0<0．

(3)证明：由f(x)≥g(x)，得x−(m+1)ln(x+1)−n≥0，

设F(x)=x−(m+1)ln(x+1)−n(x>−1)，F′(x)=1−m+1x+1=x−mx+1，

①当m<−119.解：(1)由n−数列的定义知，{an}的n−数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．

(2)对于m项的数列{an}一个n−数列{bm}：b1，b2，b3，…，bm−2，bm−1，bm，

因为对于i(i=1,2,⋯,m−2)，均有(bi−bi+1)(bi−bi+2)<0，

所以min{bi+1,bi+2}<bi<max{bi+1,bi+2}，

所以bi不