2023年北京市重点校初三（上）期末数学试题汇编：一元二次方程章节综合

第1页/共1页2023北京重点校初三（上）期末数学汇编一元二次方程章节综合一、单选题1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为(

)A．2 B．1 C．0 D．2．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442二、解答题3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）用因式分解法解方程：．4．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得：．①二次项系数化为1，得：．②配方，得．③即.∵，∴．④∴，．⑤(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．5．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)(3)；(4)．7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：（用适当的方法解方程）(1)(2)(3)(4)8．（2023秋·北京海淀·九年级期末）用适当的方法解方程(1)；(2)．9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：(1)；(2)．10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：(1)；(2)．11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：．12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若一元二次方程的两根为则，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：(1)；；(2)；(3)．13．（2023秋·北京海淀·九年级期末）一元二次方程的一个根是，求另一个根及k的值．14．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．(1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)设为方程的两个实数根，若是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的对角线长为；试求k的值．15．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)选取一个合适的整数k，使方程的解为整数，并解出方程．16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知m为方程的根，求的值．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．18．（2023秋·北京海淀·九年级期末）解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x．19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值．21．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．22．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．23．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．24．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12﹣2kx1﹣x2+2x1x2=4，求k的值．三、填空题25．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________．26．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于的一元二次方程的根的情况为______．27．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．28．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________．29．（2023秋·北京海淀·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是_________．30．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．

参考答案1．C【分析】将代入方程，即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键．2．B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．3．，【分析】方程变形后，利用平方差公式分解，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：，分解因式得：，开可得：或，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等(2)不正确，解答从第③步开始出错，，【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；（2）不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③即∵，∴．④∴，．⑤此方程的解为，．【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．5．(1)见解析(2)，【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m的值，再解一元二次方程即可．【详解】（1）证明：∵，∵，∴．∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由题意可知，当时，的值最小．将代入，得解得：．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．6．(1)，(2)，；(3)，，(4)，．【分析】（1）移项，系数化为1，开方即可得；（2）移项，配方，开方即可得；（3）移项，因式分解即可得；（4）提取公因式，即可得．【详解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：或，，，（4）解：或，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．7．(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可（2）用因式分解法解一元二次方程即可（3）用公式法解一元二次方程即可（4）用公式法解一元二次方程即可【详解】（1）∵，∴，∴，（2）∵，∴，∴或，∴，（3）∵，∴，∴，∴，（4）∵，∴，∴，∴，【点睛】本题考查了解一元二次方程，恰当应用解方程的方法是解决问题的关键8．(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）解：移项，得，，配方，得：，∴，解得：，；（2）解：∴，解得：，．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．(1)，；(2)，．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：移项，得，配方，得，解得，；（2）解：因式分解，得，即或，解得，．【点睛】本题考查解一元二次方程，选用适当的方法解方程是解题的关键．10．(1)，(2)，【分析】（1）运用配方法求解即可；（2）运用因式分解法求．【详解】（1）解：，，即，∴，∴，；（2）解：，，∴或，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法与因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．11．，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：原方程可变为：，∴或，解得，．【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．12．(1)5，2(2)8(3)17【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可；（2）利用整式的乘法将式子展开，再代入求解即可；（3）根据方程根的含义可得，代入，求解即可．【详解】（1）解：，是方程的两根，，，故答案为：5，2；（2）解：；（3）解：，是方程的两根，，得，．【点睛】此题考查了韦达定理的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．13．另一个根是5，k的值为【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解得a，再把代入方程求得k．【详解】解：设它的另一个根是a，则，解得，把代入方程，得，解得．答：另一个根是5，k的值为．【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系，．14．(1)(2)1【分析】（1）由根的判别式得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；（2）设方程的两根为，依题意，又根据根与系数的关系可以得到，而，利用等式变形，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，∴；（2）解：设方程的两根为，依题意，∵，∴，整理得：，∴或，由（1）知，∴．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定k的值．15．(1)(2)当时，，（答案不唯一）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可进行解答；（2）选择一个符合条件的k的值代入求解即可．【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．（2）当时，方程有整数解，当时，原方程为，，或，，．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根．16．0【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．17．(1)m≤(2)1【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根为x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）＝（﹣1﹣x1）（x2+1）＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1＝﹣x2﹣x1﹣2＝3﹣2＝1【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”，是解题的关键．18．，【分析】将原方程整理后再运用配方法，再开方，得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x（x﹣4）＝2﹣8x整理为：方程两边都加上4，得，∴∴∴，【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解答本题的关键．19．1，【分析】根据方程有实数根，则△≥0，确定m的取值范围，结合m为正整数，确定m的值，后解方程即可．【详解】∵x的方程有实数根，∴△≥0，∴≥0，∴m≤，∵m为正整数，∴m=1，∴方程变形为：，∴（x-1）（x-3）=0，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及其解法，根据实数根的情形确定判别式的属性是解题的关键．20．-1【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵a是方程的根，∴，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．21．（1）k＜4且k≠2；（2）-1【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．【详解】解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得

且△解得：k<4由二次项系数不为0得，即；∴；（2）由题意的，

把y=3代入得，解得：；把带入得，解得：，∴该方程另一根；【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．22．（1）m＜且m≠0；（2）x1=1，x2=3【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则△>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜又m≠0，∴m＜且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．23．a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【详解】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．24．（1）；（2）【分析】（1）本题可利用一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可．（2）本题首先利用韦达定理求解以及，继而求解，将对应数值代入题目方程可得关于的一元二次方程，最后求解方程并根据的范围求解值．【详解】（1）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，∴，解上述不等式得：；（2）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，∴，，将两边同时乘可得：，将代入上式可得：．∵，∴，整理上式并将对应数值代入可得：，求解上述关于的一元二次方程可得：，，∵k，∴．【点睛】本题考查一元二次方程，利用根的判别式以及根的情况反求参数极为常见，计算时细心最为重要，韦达定理可提升求解效率，需要熟练掌握，求解方程时十字相乘法较为常用．25．0，（答案不唯一，即可）．【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案．【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根，所以解得故答案为：0，（答案不唯一，即可）【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．26．方程有两个不相等的实数根【分析】根据根的判别式的值的符号可以判断根的情况．【详解】解：，，，，方程有两个不相等的实数根．故答案为：方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根，掌握一元二次方程根的判定方法是解题的关键．27．0．【分析】利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，则c的最小值是