2023年北京市重点校初三（上）期末数学试题汇编：二次函数的图象和性质

第1页/共1页2023北京重点校初三（上）期末数学汇编二次函数的图象和性质一、单选题1．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知函数的图象上有，，三点，则、、的大小关系（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若点，在抛物线上，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）下列抛物线的对称轴是直线的是（

）．A． B． C． D．5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列叙述中，正确的是（

）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方法正确的是（

）A．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位8．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，．将二次函数的图象记为G，下列结论中正确的有（）①点A一定在G上；②点可以同时在G上；③点可以同时在G上；④点不可能同时在G上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的最小值是（）A．3 B．1 C．3 D．110．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．211．（2023秋·北京海淀·九年级期末）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（

）A． B．C． D．二、解答题12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的图象经过点，．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求这个图象的顶点坐标．13．（2023秋·北京海淀·九年级期末）求经过三点的抛物线解析式．14．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．(1)抛物线经过点三点．(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．15．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线的顶点坐标为，并且经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)若、是抛物线上的两点，且，直接写出与的大小关系．16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数经过，两点，它的对称轴为直线，求这个二次函数解析式．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．18．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线过点．(1)求（用含的式子表示）；(2)抛物线过点，，．①判断：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．19．（2023·北京海淀·九年级期末）抛物线过点和．(1)求b，c的值；(2)直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．20．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．(1)若，则；(2)若，①写出的取值范围；②写出b的取值范围．三、填空题21．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的部分图像如图所示，则_____0（填“”或“”或“”）．22．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）．23．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的图象过点，当x＞0时，，当时，，则a的值是______．24．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为______．25．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是______．（填序号）．26．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为；若P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，则点的坐标是___________．27．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数中，x与y的部分对应值如下表：x…023…y…8003…则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是____________．28．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数中a＜0，b＞0，c＜0，则此函数的图象不经过第__象限．29．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．30．（2023秋·北京海淀·九年级期末）函数的图象如图所示，则_____0．（填“>”，“=”，或“<”）

参考答案1．B【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，点到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为，点C到对称轴的距离为，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．2．B【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值．【详解】由函数可知对称轴是直线，由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键．3．D【分析】根据函数平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．【详解】解：由题意可得，的图象向左平移1个单位长度可得，，故选D．【点睛】本题考查函数图像平移规律，解题关键是熟练掌握规律：左加右减，上加下减．4．C【分析】根据二次函数的性质，对称轴是直线，即可判断．【详解】A、的对称轴是直线，选项错误；B、的对称轴是直线，选项错误；C、的对称轴是直线，选项正确；D、，对称轴是直线，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线．理解性质是关键．5．D【分析】根据函数图像平移的法则：左加右减，上加下减判断即可；【详解】解：向右平移1个单位，向下平移2个单位得到；故选D．【点睛】本题主要考查了函数图像的平移，准确分析判断是解题的关键．6．D【分析】根据的顶点坐标是可得答案．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式顶点坐标是，对称轴是直线．7．D【分析】根据函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，进行平移判断即可．【详解】解：使函数平移后为：，将函数先向左平移4个单位，再向下平移1个单位后为：即为：，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握左加右减，上加下减是解题关键．8．C【分析】由二次函数可知，对称轴为直线，，即可判断①；把代入，得函数解析式，再将代入解析式，即可判断②；把代入，可得出，即可判断③；把代入，可得出，再将代入解析式，即可判断④．【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，①∵点，∴点A在对称轴上，∵，∴点A一定不在上；故①错误；②∵把代入，，解得：，∴，当时，，∴在的图像上，∴点可以同时在上；故②正确；③把代入，，解得：，∴，∴点可以同时在G上,故③正确；④把代入，，解得：，∴，当时，，∴不在的图像上，∴点不可能同时在G上，故④正确；故正确结论的序号是：②③④，有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求解二次函数的解析式，求出图象上点的坐标的解析式是解题的关键．9．C【分析】利用二次函数的性质判断即可．【详解】∵∴二次函数开口向上，顶点为(1,−3)，当x=1时有最小值-3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．10．C【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为，分类讨论即可，时，开口朝下，最大值为，不符合题意，则，进而根据当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，将代入解析式即可求得的值．【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为，当时，开口朝下，最大值为，不符合题意，当时，对称轴为，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，当时，随的增大而减小,由二次函数的对称性可知当时，的值和时的值相等，当时，随的增大而增大,时，，解得,故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的图象与性质是解题的关键．11．A【分析】根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”解答即可．【详解】∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟练掌握抛物线“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．12．(1)(2)【分析】（1）直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；（2）利用配方法把配成，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．【详解】（1）解：根据题意得，解得，所以该二次函数的解析式为；（2）解：，抛物线的顶点坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．13．【分析】根据点A与B的坐标特点设出抛物线解析式为，再把C点坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为，把代入得：，即，则抛物线解析式为：，故所求解析式为：．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．14．(1)x(2)(3)【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可；（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．【详解】（1）解：设，把代入得：，解得：，则抛物线的解析式为x；（2）解：根据题意可知：，解得，则二次函数的解析式为；（3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，所以抛物线解析式为．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再用待定系数法求解．15．(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）根据题意，得，解得，∴所求的抛物线的解析式为；（2）∵，，∴对称轴为直线，开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，∵∴．【点睛】本题考查了待定系数法解析式，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数性质是解题关键．16．【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：由题意得：，解得：，∴该二次函数的解析式为．【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．17．【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.【详解】解：∵抛物线过点和，∴解方程组，得∴抛物线的解析式是．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.18．(1)(2)①＜②的取值范围是或【分析】（1）把代入，计算即可；（2）①把代入，得，把代入，得，当时，，，得；当时，，，得；即可得出结论；②把，，代入，得，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，则抛物线在时，取得最小值．所以，在轴上方，在轴上或轴下方，则，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，所以抛物线在时，取得最大值，且．所以，在轴上方，在轴上或轴下方．则，解得．【详解】（1）解：把代入，得，∴；（2）解：①把代入，得，由（1）知：，∴，把代入，得，，当时，，，∴，当时，，，∴，绽上，；②由（1）知，∴∴抛物线对称轴为．∵抛物线过点，，，∴，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，∴抛物线在时，取得最小值．∵，，恰有两点在轴上方，∴，在轴上方，在轴上或轴下方．∴，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，∴抛物线在时，取得最大值，且．∵，，恰有两点在轴上方，∴，在轴上方，在轴上或轴下方．∴，解得．综上，的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．19．(1)，(2)（或）【分析】（1）将已知点代入抛物线表达式即可求得b，c的值（2）根据抛物线的开口方向和对称轴即可求得x的取值范围【详解】（1）解：∵抛物线过点和，∴，解得：，（2）由（1）知抛物线的表达式为，∵，，∴抛物线开口向下，对称轴为，∴当（或）时，函数y随x的增大而增大【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键20．(1)0(2)①；②【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值；（2）①若，确定出b的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围；②由①中过程即可得出结果．【详解】（1）解：将和分别代入解析式，得，，，，解得，把点代入中，得，解得，函数解析式为当，；（2）解：①中，，函数图象开口向上，将代入解析式，得，又，∴，，解得，把点带入中，得，，将代入解析式，得，，，，，即；由①得：；故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键．21．【分析】由已知的图像可知二次函数图像的对称轴，然后根据抛物线的对称性，观察图像可知当时，，即可获解．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在之间，∴另一个交点在0、1之间，∴当时，，则，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．22．【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号．【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：，对称轴在的右侧：，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．23．/0.25【分析】直接根据二次函数的图象和性质求解即可．【详解】解：∵当x＞0时，，当时，，∴二次函数图象开口向上，∵当x＞0时，可知抛物线对称轴在y右侧，为直线，如图，∵点在抛物线的图象上，∴，当时，y有最小值为，，∵，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据已知条件确定抛物线开口向上是解答本题的关键．24．【分析】把原点的坐标代入，求得，即可求得抛物线的解析式．【详解】解：把代入得，，∴，∵抛物线开口向下，∴，∴抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．25．①②③④【分析】①根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，∴，，∴，∴，故①正确；从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，∴，∴，故③正确；∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为，将代入得，，解得，∴二次函数的解析式为，∴当时，；∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．26．【分析】根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可；【详解】解：将代入得：解得：该抛物线的解析式为：其对称轴为：点的横坐标为：∵当时，；∴由抛物线的对称性可知：∴当点在线段上时有最小值；将代入得：故此时点的坐标是故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．27．①③⑤【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，∴，解得：，∴y=-2x，∵c=0，∴图象经过原点，故①正确；∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故②错误；∵y=-2x=，∴抛