2023年北京市初三（上）期末数学试题汇编：正多边形和圆

第1页/共1页2023北京初三（上）期末数学汇编正多边形和圆一、单选题1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作的内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形的内接圆，再作较小圆的内接正方形（如图2）；（3）作正方形的内接圆，再作其内接正方形（如图3）；…；依次作下去，则正方形的边长是______．3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若圆内接正方形的边心距为8，则这个圆的半径为___________．4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知正六边形的边心距为3，那么它的边长为_________．5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为______．6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．①的长为；②；③为等边三角形；④．7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是______．8．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝__________．10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF的半径是2cm,则这个正六边形的周长是___．11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是_____．

参考答案1．D【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．故选D【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．2．【分析】观察图形，先根据圆内接正方形的性质求得前几个正方形的边长，进而得出变化规律即可求解．【详解】解：根据题意，在图1中圆的半径为a，则正方形的边长，在图2中，，则正方形的边长，在图3中，，则正方形的边长，……依次类推，正方形的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查圆内接正多边形与圆的规律探究型问题、正方形的性质，观察图形，正确得出边长的变化规律是解答的关键．3．8【分析】先画出图形，再根据正方形的性质得出，再根据勾股定理求出答案即可．【详解】过点O作于点B，∵圆内接正方形的边心距为8，∴，，∴，∴这个圆的半径为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理等，根据题意作出图形并构造直角三角形是解题关键．4．【分析】连接，作于C，由正六边形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可．【详解】解：如图所示：连接、，作于C，则，，，∴，∴设，则，由勾股定理可得，，解得：，∴，即它的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用勾股定理求出AC是解决问题的关键．5．【分析】连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．【详解】解；连接、、，作于M，∵四边形是正方形，∴，，∴是直径，，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，在中，∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．6．①②④【分析】先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确．【详解】解：，，弧的长为，①正确；，，，，即，②正确；，③错误；，，，，④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．7．【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．【详解】解：根据题意，.故答案为：.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：.8．4【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．【详解】∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．9．12°【分析】连接OA，OB，OF，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心角，结合图形计算即可．【详解】解：连接OA，OB，OF，OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝360°＝72°，∴∠AOC＝2×72°＝144°，∵△AFG是正三角形，∴∠AOF＝360°＝120°，∴∠COF＝∠AOC−∠AOF＝144°−120°＝24°，∴∠FBC＝∠COF＝×24°＝12°．故答案为：12°．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的有关计算和圆周角定理，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．10．12【分析】确定正六边形的中心O，连接EO、FO，易证正六变形的边长等于其半径，可得正六边形的周长.【详解】解：如图，确定正六边形的中心O，连接EO、FO.由正六边形可得是等边三角形所以正六边形的周长为故答案为：【点睛】本题考查了正多边形与圆，灵活利用正多边形的性质是解题的关键.11．2﹣【分析】设OE交DF于N，由正八边形的性质得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂径定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，证出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面积公式即可得出结果．【详解】解：设OE交DF于N，如图所示：∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED