概率与数理统计教案

一、必然现象与随机现象一定条件下有确定结果的现象称为必然现象(确定性现象); (同一型号的炮弹),各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹察会出现不同的结果(也就是说，多于一种可能的试验结果),而且在每次试验试验I:一盒中有十个完全相同的白球，搅匀后从中摸出一球；试验Ⅱ:一盒中有十个相同的球，其中5个白球，5个黑球，搅匀后从中任对于试验Ⅱ来说，在球没有取出之前，不能确定试验的结果(取出的球)是白球还是黑球，也就是说一次试验的结果(取出的球)出现白球还是黑球，在试后仍把球放回盒子中搅匀),那么总可以观察到这样的事实，当试验次数n二、随机试验(2)、试验的所有可能结果是明确的，可知道的(在试验之前就可以知道的)并三、概率论与数理统计的研究对象四、概率论与数理统计发展简史并且谁先赢c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(a<c),另一赌徒赢b局(b<c)时终在他们之后，对于研究这种随机(或称偶然)现象规律的概率论做出了贡献被称为“大数定律”的一个定理(贝努里定理)这是研究偶然事件的古典概率论史上第一个发表有关概率论论文的人是贝努里，他于1713年发表了一篇关于极究有关一个或多个连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程论，1906年俄国数学家马尔可夫(1856-1922)提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫(俄国)、费勒(美国);1934年俄国1960年，卡尔门(1930—英国)建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理化体系是柯尔莫哥洛夫1933年在集合论1、复旦大学编概率论第一分册概率论第二分册数理统计(两册)2、中山大学梁之瞬邓集贤概率论与数理统计(上下册)3、南开大学周概容概率论与数理统计4、浙江大学概率论与数理统计第一章事件与概率3、掌握条件概率的定义，并能应用有关条件概率的公式(乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式)计算概率；4、掌握几种概型(古典概型、几何概型、贝努里概型)概率的计算；1、基本事件例1、例1、一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10,从为基本事件(样本点)例1,例2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。间取为例如：B发生(出现)必须而且只须下列样本点之一发生2、4、6、8、10,如例1中。不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生“不确定性”即随机性，因而本质上不是随机事件，但为了讨论问题的方便，还例5、例5、一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则D={三件中至少有一件次品}这些都是随机事件而为必然事件对于这个随机试验来说，基本事件总数为个。一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。1、事件的包含关系定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A,或称A是B的特款，记作或。比如前面提到过的，这一事件就导致了事件的发生，因为摸到标号为6的球意味着偶数的球出现了，所以可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体，A,B是两个事件，也就是说，它们是的子集，“A发生必然导致B发生”意味着属于A的样本点在B中由此可见，事件的含义与集合论是一致的。特别地，对任何事件A例6、例6、设某种动物从出生生活至20岁记为A,从出生到25记2、2、事件的相等设A,B,若，同时有，称A与B相等，记为A=B,易知相等的两个事件A,B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件想等意味着它们含有相同的样本点。3、并(和)事件与积(交)事件定义：设，称事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作实质上“A或B发生”若，则例7、例7、设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格。令A={直径不合格},B={高度不合格},则={产品不合格}。推广：设个事件，称“中至少有一个发生”这一事件为的并，记作或和事件的概念还可以推广到可列个事件的情形。设，称“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作或显然若，则如例7中，若C={直径合格},D={高度合格},则={产品合格}。推广：设个事件，称“同时发生”这一事件为的积事件。记作或或同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形。4.差事件定义：设，称“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作如例7中={该产品的直径不合格，高度合格},明显地有5、对立事件由此说明，在一次试验中与有且仅有一个发生。即不是发生就是发生。显然，由此说明与互为逆事件。例8、设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取50件产品。记A={50件产品中至少有一件次品}则{50件产品中没有次品}={50件产品全是正品}由此说明，若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率。6、互不相容事件(互斥事件)定义：若两个事件A与B不能同时发生，即，称A与B为互不相容事件(或互斥注意：任意两个基本事件都是互斥的。推广：设n个事件两两互斥，称互斥(互不相容)若A,B为互斥事件，则A,B不一定为对立事件。但若A,B为对立事件，则A,A,B互斥。7、事件的运算法则1)1)交换律3)3)分配律4)4)对偶原则或或3)恰有一个事件发生4)恰有两个事件发生5)三个事件都发生6)至少有一个事件发生或3)4)5)之并例10:试验E:袋中有三个球编号为1.2.3,从中任意摸出一球，观察其号试问：1)E的样本空间为什么?2)A与B,A与C,B与C是否互不相容? 因为我们讨论了事件间的运算“”“”和“-”,如果A,B都是事件，即A,BF,自然要求AB,AB,A-B也是事件，因此，若AF,BF就要求ABF,用集合论的语言来说，就是事件域关于运算“”“”和“-”是封是1)F;2)若AF,则F;在集合论中，满足上述三条件的集合类称为布尔代数(代数)所以事件域是一个布尔代数，对于样本空间,如果是的一切子集的全体，§概率与频率那么随机事件A(正面朝上)和随机事件B(正面朝下)发生的可能性是一样的(都为1/2)。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的定义：随机事件A发生的可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率，记为P再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件A(正面朝上)是否发生是不确f(A)=A发生的频率=频数/试验总次数接近与1/2一般的，设随机事件A在n次试验中出现n次，比值f(A)=n/n称为事件A在这n次试验中出现的频率实验者nn蒲丰K.皮尔逊K.皮尔逊试判断“频率的极限就是概率”这句话是否正确?即吗?则由频率的定义=,,很快可以得到频率的性质，4、不可能事件的频率为0,=0;6、对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若(),则=。§古典概型1)1)样本空间的元素(基本事件)只有有限个，不妨设为n个，记为，,…,;2)2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有…=。本事件，(正、正),(正、反),(反、正),(反、反),每个基本事件出现的但将两枚硬币一起掷，这时试验的可能结果为(正、反),(反、反),(正、正)但它们出现的可能性却是不相同的，(正、反)出现的可能性为，而其它的而对此又通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析，而不是通过实验来判利用古典概型的公式计算事件的概率关键是要求基本事件总数和的有利事件数，则需要利用数列和组合的有关知识，例1.例1.在盒子中有五个球(三个白球、二个黑球)从中任取两个。问取出的两个球都是白球的概率?一白、一黑的概率?分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C种不同取法，可以将解：设A=,B=A的有利事件数为C,B的有利事件数为，。例2:在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1,2,3,……,9,10,从中任则故基本事件总数n=10令A=,因而A含有5个基本事件因而，例3:一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至右恰好成1,2,3,4,5的顺序的概率。解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型，基本事件总数5!A包含的基本事件数为2,例4:从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张红心、3张方块、2令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花例5:设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(n解：因为每一个人有N个房间可供选择(没有限制每间房住多少人),所以n个二n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题(配对问题),掷骰子问例6:某班级有n个人(n<365)解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”,那么问题就归结为ln数达到50人时，竟有97%的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97%都是对概率而言的，只是在大数次的情况下(就要求班级数相当多),例7:在电话号码簿中人取一个号码(电话号码由7个数字组成),求取到的号解：此时将0-9这10个数子看成“房子”,电话号码看成“人”,这就可以归回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。例8:从1,2,3,4,5这五个数中等可能地、有放回的连续抽取3个数字，试B=三个数字中不含1和5;C=三个数字中5恰好出现了两次；的有利事件数为，故==B的有利事件数为(三个数只能出现2,3,4),故==剩下的一个数只能从1,2,3,4中任意选一个数字，有种选法，故C的有利事件数为，故P(C)==事件D包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三种情况或可以转化为求D的对立事件的概率=三个数字中5一次也不出现说明三次抽取得都是在1,2,3,4中任取一个例9:在这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取得的4个数字能组成四位解：设A=取得的4个数字能组成四位偶数从10个数中任取4个数字进行排列，共有种排列方式，所以共有个基本事或先从0,2,4,6,8这5个偶数中任选一个排在个位上，有种排法，然后从剩下的9个数字中任取3个排在剩下的3个位置上，有种排法，故个位上是偶故A的有利场合数为：-例10:任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概率。0,1,2……,9这十个数字中的任一个，现任取一个正整数的含义，就是这十那么A包含的基本事件为2,A=1,9,该数的四次方的末位数字是1,则B=1,3,7,9,C=该数的立方后的最后两位数字都是1则该数的最后一位数字必须是1,设最后的第二位数字是a,那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使3a的个位数为1,必须a=7,应而A包含的样本点只有71这一点，故P(C)=。§1.4概率的公理化定义及概率的性质文件域F和概率P已在前面得到解决。在古典概型中，试验的结果是有限的，的：在区域中有任意一个小区域A,若它的面积为，则点A落在A中的可能性大为A,则由P()=1可得P(A)=,这一类概率称为几何概率。例1:(会面问题)甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应在平面上建立直角坐标系(如图)为a(a>0),向平面任意投掷一枚长为1(1<a)的针，试求针与平行线相交的概率。如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为，于是。机实验，若记A为该点落入[0,]中这个事件，而以记该点落在中这一事件。二iii)对任何事件A,P(A)0二其他基础学科和工程技术上的应用已出现了越来越大的兴趣，但是直到那时为长将假定公理化，其他结论则由它演绎导出，在这种背景下，1933年俄国数学家柯尔莫哥洛夫在集合与测度论的基础上提出了概率的公理化定义这个结构综3.3.可列可加性：若F,且两两互不相容。有=1)样本空间；2)事件域(-代数)F;3)概率(F上的规范测度)P习惯上1)1)不可能事件的概率为0,即P()=0;2)2)概率具有有限可加性：即若=(),则=;推论1:若，则P(A)P();推论2:对任一事件A,P(A);5)对任意两个事件A、B,有P()=P()+P()-P()推论1:P()P()+P();推论2:设，,为n个随机事件，则有二推论3:P()+P()+P()+……+P()。定义：对于F上的集合函数P,若对F中的任一单调不减的集合序列{}有=,则试求P(),P(),P(),P(),P()例2:设P(A)=p,P(B)=q,P()=r,求P(AB)、P(A)、P()。P(A)=P(A)-P(AB)=p-(p例3.设ABC为三个事件，且ABC。证明P(A)+P(B)-P(C)1所以P(A)+P(B)-P(C)P(AB)1例4:设P(A)=P(B)=P(C)=。P(AB)=。P(BC)=P(AC)=0求A,B,C至少有一个发生的概率。从而P(ABC)=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8又P(ABC)P(BC)所以P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A)例6:某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将n张信纸装入n个信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少?解：令A={第i张信纸恰好装进第i个信封P(AA)=1/n(n-1)i=1,2,.n同理得=C=P()=…(-1)P(AA…A)当n充分大时，它近似于是1-e时有P(A)及P(B)即该知道P(AB)。因而很自然要问，能不能通过P(A),P(B)大小排列)的性别分别为(男，男),(男，女),(女，男),(女，女)的可能性记为P(A|B)。1.1.条件概率的定义定义1.若()是一个概率空间BF,且P(B)>0.有由此可知，对给定的一个概率空间()和事件BF,如果P(B)>0,则条二例2:甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%。求：1)两市至少有一市是雨天的概率；2)乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3)甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。解：1)例3:(抽签问题)有一张电影票，7个人抓阉决定谁得到它，问第i个人抓到票个人有希望在剩下的6个阉中抓到电影票，所以,例4:有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，显然导致B发生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，因此，如果令=先取出的二球有只白球,=0,1,2上例中采用的方法是概率论中颇为有用的方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个(或若干个)互不相容的较简单的事件的并，求定理1:设，…….是一列互不相容的事件，且有=,对任何事件A,有P(A)=证明：见书例5:某工厂有四条生产线生产同一中产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的不合格品率为5%,4%,3%,及2%,现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少?()例6:某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，30%,那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少?()人?指标(譬如体温、脉搏、转氨酶含量等)他想用这类指标来帮助诊断，这时可则=被检验者未患肝癌还是很少的，(只占%),把P(C|A)=和已知的P(A|C)=及P()=对比一下是很有解：显然P(A)=P(B)=P(BA)=P(B|A)=P(B)由此可得P(AB)=P(A)P(B)。验证：Q={(正、正)(正、反)(反、正)(反、反)}A={(正、正)(正、反)}B={(反、正)(正、正)}P(A)=P(B)=P(AB)==令A={一个家庭中有男孩，又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}1)家庭中有两个小孩；2)家庭中有三个小孩。Q={(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)}A={(男、女),(女、男)}B={(男、男),(男、女),(女、男)}AB={(男、女),(女、男)}2)有三个小孩的家庭，样本空间Ω={(男、男、男),(男、男、女),(男、女、男),(女、男、男)(男、女、女),(女、女、男),(女、男、女),(女、女、女)}。由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是，这时A包含了6个基本事显然P(AB)=P(A)P(B),从而A与B相互独立。定义2、设三个事件A,B,C满足二二定理2设相互独立，则将其中任意m个(1)换成其对立事件，则所得n个事件二1/3,1/4,试求(1)恰有一人解出的概率；(2)难题被解出的概率。则A=例8.如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0<r<1,且各元件能否正常工作是1)每次试验是相互独立的；2)每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件；3)每次试验的结果发生的概率相同即P(A)=p,P()=1-p=q。称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验如果要求“n重贝努里试验中事件A出现k次”这一事件的概率记{n重贝努里试验中事件A出现k次}。在n贝努里试验。事件A至少发生一次的概率为1-。例1.例1.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床。问这10台机床能够正常工作的概率为多大?解：50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数为况，且开动的概率为12/60=1/5。不着的机床台数为，则0于是同时开动着的机床台数不超过5台的概率为二由此可知，这10台机床能正常工作的概率为，也就是说这10台机床的工作例2.例2.某人有一串m把外形相同的钥匙其中只有一把能打开家门。有一天解：因为该人每次从m把钥匙中任取一把(试用后不做记号又放回)所以能打开在第k次才把门打开，意味着前面k-1次都没有打开，于是由独立性即得P(第k次才把门打开)=…=例3.(巴拿赫火柴问题)某数学家常带有两盒火柴(左、右袋中各放一盒)每多少?(r=0.1.2.…,N,N为最初盒子中的火柴数)N-r次失败发生在第2N-r根火柴，其中从左袋中取了N根，并且在2N-r+1次取由对称性首次发现右袋中没有火柴而左袋中恰有r根的概率为第一章习题课1)描述性定义2)统计定义3)公理化定义例题例2.例2.某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意将n张信纸装解：令={第I张信纸恰好装进第I个信封}i=.….n1=1-…当n充分大时，它近似于1-这就是历史上有名的“匹配问题”或“配对问题”例3.甲、乙两个人掷均匀的硬币，其中甲掷了n+1次，乙掷n次求甲掷出正面例4:一个人把6根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后请另一个人把6个头两两相接，求放开手后6根草恰巧连接一个环的概率，并把上述结果推广解：6根草取它的一个头，它可以与其它5个头之一相接，再取一头又可以与其所以P(A)==例5:将3个小球随机地放入4个盒子中求盒子中球的最多个数分别为1,2,3解：这是一个古典概型问题，3个球放入4个盒子中是有重复的排列，总方法有种(1)、盒子中球的最多个数为1,即3个球分别放入4个盒子中的3个盒子中包二(2)盒子中球的最多个数为2,即3个球分别放入2个盒子中的3个盒子中，放法为，其中一个盒子中有2个球，另一个盒子中有1个球，这一个球从3个球中任取，取法为组合数为，所以该事件包含的基本事件数为：=36(3)盒子中球的最多个数为3,即3个球分别放入4个盒子中的1个盒子中，二例6:已知一个母鸡生k个蛋的概率为，而每一个鸡蛋能孵化成小鸡的概率为p,求一个母鸡恰有r个后代(小鸡)的概率。利用全概率公式有二二二二二二二第二章离散型随机变量黑)从中任取三球，则取到的黑球数可能为0,1,2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。又如在“n重贝努里事件A出现k次”这一事件可以简记为(ξ=k),从而有可能出现的次数0,1,2,……n,有些初看若试验结果出现正面，令n=1,从而{试验结果出现正面}=(n=1);若试验结果出现反面，令n=0,从而{试验结果出现反面}=(n=0)。发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ,n,这两个变量取什么值，为对每个试验结果の都有函数ξ(ω)与之对应，所以ξ(ω)的定义域是样本定义1:设随机试验的每一个可能的结果(样本点)ω唯一地对应一个实数，则称实变量为随机变量，通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量，取值为0,1,2……例5:设袋中有五个球(3个白球2个黑球)从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量，的可能取值为0,1,2。二二二或012如果离散型随机变可能取值为()相应的取值的概率称也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布于是的分布列为非负性：1)….规范性：2)发生的概率均可由分布列算出，因为()=其中例7:设随机变量的分布列为：解：的分布列为P(=i)=c解：的可能取值为0,1,2,3……m例9:抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1解：的所有可能取值为2,3……设的分布列为10pq称服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。3.二项分布设随机变量的分布列为P()=k=0.1.2…n称随机变量服从二项分布认为～b(k;n,p)大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形。4.几何分布在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,设试验进行到第次才出现成功。的分布列为P(k=…)是几何级数的一般项。因此称它为几何分布记为～g(k;p)。5.普哇松(Poisson)分布观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。可用相应的变量表示，实践表明的统计规律近似地为P()k=0其中>0是某个常数，易验证也就是说，若的分布列为P()k=0.1.2…()称服从参数为的普哇松(Poisson)分布，记为～p(k;)在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson分布来描述。从而使得(Poisson定理)在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为(与试验总数n有关)。若当时(>0常数)。则有这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)=,当n和k都比较大时。计算量比较大，若此时np不太大(即p较小)那么由Poisson定理就有b(k;n,p)其中而要计算有专用的Poisson分布表例10.已知某中疾病的发病率为1/1000,某单位共有5000人，问该单位患有这其中b(k;5000,1/1000)=可以利用Poisson定理p()=1-p()查Poisson分布表得于是p()。例11.由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件?解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件则当()时就不会脱销。因而按题意要求为又查Poisson分布表得于是这家商店只要在月底进货某种商品15件(假定上月没有存货)就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。一、多维随机变量及其联合分布列定义1.设是样本空间上的n个离散型随机变量，则称n维向量()是上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量。对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系。下面主要讨论二维离散型随机变量。设()是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为()i,j=1,2…与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示2.联合分布的性质容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：1)非负性：i,j=1,2…2)规范性：二.边际分布(边缘分布)设()为二维离散型随机变量，它们的每一个分量的分布称为()关于的边际分布，记为与。若()的联合分布为i,j…由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布(反例在下面举)。大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列{}的右方加了一列，一列中的对i相加而得到恰好就是边际分布列，这也是边际分布列名称的来历。即落入第1号中球的个数为，落入第2号盒子中球的个数为，求()的联合分布列解：的可能取值为0.1.2.3(首先确定()的所有可能取值(i,j))然后利用所以()的联合分布列0123例2.把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，解：()的可能取值为(i,j=0.1.2.3)0123例3.袋中装有2个白球和3个黑球，现进行有放回(无放回)摸球，求()的联合分布列与边际分布列：解：无放回()的联合分布列为12有放回()的联合分布列为12定义3:设随机变量的可能取值为，的可能取值为成立则的可能取值为1或0,对或0()明对()的所有取值，都有。个随机变量函数，下面就研究如何根据随机变量的分布列(或联合分布列)来求变量，当取值a时，它取值y=g(a)称为随机变量的函数，记为=g()若的分布列为，现求=f()的分布列。1.若随机变量取不同的值时，随机变量函数=g()也取不同的5求=的分布列。解：的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同，5求=的分布列。解：的可能取值为0,1,4,9它们有相同的。9布列则有=例3:设，是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和的Poisson分布求的分布列。=二此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性。类似地可以证明二项分布也是一个可加性分布，即若,是两个独立的随机变量，且，则。例4:设，为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：§数学期望的定义及性质一、数学期望的概念日走时误差定义1:设离散型随机变量的可能取值为，其分布列为，则当时称存在数学期望(均值),并且数学期望为=设的分布列为，则设的分布列为设的分布列为则定理1:设为一个离散型随机变量，其分布列为又g(x)是实变量x的单值函数，如果(既绝对收敛),则有=定理2:若()是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为又g(x,y)是实变量x,y的单值函数，如果例3、随机变量的分布列为例3、随机变量的分布列为解：=四、数学期望的性质1、若，则存在，而且有。特别，若C为一个常数，则EC=C2、对任一二维离散型随机变量(),若存在，则对任意实数一般地3、若与相互独立，则。例4:若～,,求：E(3-5),E(2+3)例5:若随机变量，求的数学期望解：令i=…n于是由数学期望的性质即得所以一.方差的概念若的分布列为2.方差的计算公式二.几种常用分布的方差1.退化分布=1c为常数E=CD=0即常数的方差为02.两点分布设的分布列为10p二项分布~b(k;n,p)三.方差的性质十二其中是表示在“”如果()的联合分布列已知，则边际分布列为：从而反过来，如果已知，(或，)也可求得联合分布列显然当与相互独立时,。生在第次的概率都是,因为也就是说在已知的条件下，的取值为1,2……,当给定时，对于的每一个可能取值就有一个确定的实数与之对应，因而第三章连续型随机变量一、教学目的与要求随机变量的不相关与独立的异同。二、教学重点与难点差的有关概念。教学难点是协方差、相关系数的有关计算，及卷积公式的应用。第三章连续型随机变量1)非负性：2)单调性：若则3)若4)极限性5)左连续性2)、4)、5)是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明任一个满足随机变量的统计规律，既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规设为一个离散型随机变量，它的分布列为10Pq求的分布函数F(x)。例3、设的分布列为2当当例5.设随机变量的分布函数为求1)常数A,B;2)P(。解：1)由极限性得从而解于是例6.设随机变量的分布函数为，求：1)常数A;2)落在上的概率。解：1)左连续故§连续型随机变量一、连续型随机变量的概念1、定义定义：设是随机变量，是它的分布函数，如果存在可能函数使得对任意的，有，2、密度函数的性质1)非负性：2)规范性：反过来，定义在R上的函数，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函密度函数除了上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：3)在R上连续，且在的连续点处，有，对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律。4)设为连续型随机变量，则对任意实数，有这表明连续型随机变量取个别值的概率为0,这与离散型随机变量有本质的区5)对任意积为1。试求1)常数c;2)的分布函数；解：1)由密度函数的性质可知即试求1)常数c;2)分布函数F(x);3)。解：1)由密度函数的性质2)当当于是所以队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间(1)超过10分钟；(2)10分从而从而，若，则上的n维随机变量或n维随机向量，并称n元函数显然3)对任意x和y,有4)对任意和(,其中有3、边缘(边际)分布函数求：1)常数A,B,C;2)边际分布函数。解：1)由定义2:设为一个二维随机变量，为其联合分布函数，若存在可积函数，使对1)非负性：2)规范性：3)若在点(x,y)连续，是相应的分布函数则有。求：1)常数C;2)分布函数F(x,y);解：1)由联合密度的性质解得c=4于是1、均匀分布设G是平面上的一个有界区域，其面积为A,令则是一个密度函数，以为密度函数的二维联合分布称为区域G上的均匀分布。若服从区域G上的均匀分布，则G中的任一(有面积)的子区域D,有。其中是D的面积。上式表明二维随机变量落入区域D的概率与D的面积成正比，而与在G中由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。特别的若服从G上的均匀分布，其联合密度函数为相应的边际密度2、二维正态分布设二维随机变量的联合密度函数为则称服从二维正态分布，记为，习惯上称为二维正态向量，由的联合分布可以求得边际密度函数分别为则两个二维正态分布是不相同的。但由上面可以知道它们有完全相同的边际分能唯一确定她们的联合分布，此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布。例3、设的联合密度函数为，求边际密度函数。同理例4、设服从G上的均匀分布。试问它们是否相互独立?若G为矩形区域呢?定义4、设n维随机变量的联合分布函数为其中解：当y当在n=1时的特例，也就是说N(0,1)变量的平方是自由度为1的变量。例3、设与相互独立且都服从N(0,1)证明故如果是n个相互独立的随机变量，每一个都服从N(0,1),由例2可知每自由度为n的分布，即n个相互独立的N(0,1)的平方和是一个参数为n的分解：的密度函数为上式的密度函数的分布称为参数为n,m的F-分布，记作F(n,m)它是数理比较(*)与(**)可知其中J与对F(u,v)求导，得(U,V)的联合密度为(其余为0)且，的数学期望是的可能取值(关于概率)的平均，这里要求道理与离散型随机1)均匀分布设，则2)指数分布设，则3)正态分布设，则，事实上4)分布这里用到定理3、若为连续型随机变量，密度函数为p(x),又f(x)为实变且则定理4、设是二维连续型随机变量，联合密度函数为例2、过单位圆上一点P作任意弦PA,PA与直径PB的夹角服从均匀分布，性质2与性质3可以推广到任意有限个情形1)均匀分布设2)指数分布3)正态分布设，则。4)分布设由此可知P()=0从而其中常数a即为。4)若相互独立，则。定义4、若(为一个二维随机变量，且称2)的充要条件是以概率为1线性相关，即存在常数a,b使得例5、设则(期望)就是一阶原点矩。第四章大数定律与中心极限定理二、教学重点和难点教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、定理的应用。对所有的样本点都成立?件()还是有可能发生的，不过当n很大时，事件()发生的可能性很小。例如，对上面的，有。若将(4)式中的换成常数列，即得大数定律的一般定义。证明见书196页。推论(贝努里大数定律):设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每证：设由假定，独立同分布(均服从二点分布)井证明：表明对充分大的n,的方差存在即(*)式称为马尔可夫条件。故服从大数定律(马尔可夫大数定律)。以上大数定律是以契贝晓夫不等式为基础的，所以要求随机变量的方差存在，通过进一步研究，我们发现方差存在的条件并不定理(辛钦大数定律)设是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在问(1)的数学期望及方差是否存在?(2)是否服从大数定律?解：(1)因为故的数学期望存在。又因为故的方差不存在。(2)由(1)知存在，故满足辛钦大数定律的条件，问：(1)是否满足契贝晓夫大数定律的条件?(2)是否满足辛钦大数定律的条件?一个物体的某指标值，可以独立重复地测量n次，得到一组数据：,当n充分大§随机变量序列的两种收敛性P()=0,其中或等价于(,试证：(,由契贝晓夫不等式二,由则中至少有一个成立，即于是即2)、设是两个随机变量序列，,b为常数，若且在g(x,y)在点(a,b)处连续，证明方法类似于1)F(x),并记作相定理5随机变量序列§中心极限定理定理7:(德莫佛—拉普拉斯)极限定理在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为(0<<1),为n定理8:(林德贝尔格-勒维)中心极限定理三、应用设是n重贝努里试验中事件A发生的次数，则～,对任意有当n很大时，直接计算很困难。这时如果不大(即p较小时接近与0)或不大(即p接近于1)则用普阿松近似公式来计算当p不太接近于0或1时，可用正态分布来近似计算例1、已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为3:1,现种植杂交种400株，求结黄果植株介于83到117之间的概率。概率；种植杂交种400株，相当于做了400次贝努里试验若记为400株杂交种结黄果的株数，则~故结黄果植株介于83到117之间的概率为解得所以总机至少备有16条外线，才能以95%的把握保证各个分机使用外线时那么对给定的和较大的，究竟有多大?对充分大的,故第五章数理统计的基本概念本章的教学重点和难点都是正态总体的有关统计量的分布。 二维随机向量()可能取值的全体看成一个母体。简称二维母体。这二维随机变随机抽样。假如我们抽取了n个个体，且这n个个体的某一指标为()称这几个观测到()的一组确定的值()称为容量为n的子样的观测值(或数据)。在随机抽样中，每个是一个随机变量，从而我们可以把容量为n的子样()看成一个n维随机向量，容量为n的子样的观测值()可以看成一个随机实验的提出一些要求。最简单的抽取的子样必须具有(1)代表性；(2)随机性。具体地说若()为来自母体的一组子样，且满足2)是相互独立的随机变量。由此可见是一个分布函数，称作经验分布函数(或子样分布函数)对于每一个固定的x,是事件“”发生的概率，当n固定时，它是一个随机变量，据贝努定义1、一个统计量是子样的一个函数，如果子样容量为n,它也就是n个随机2、常用统计量定义2、是由母体取出的容量为n的子样，统计量称为子样方差；统计量称为子样的k阶原点矩；统计量称为子样的k阶中心矩；若是子样()的一组观测值定理2、设母体服从，()是取自这个母体的一个子样，则服从正态分布。则1)相互独立；2)服从自由度为n-1的分布。度为n-1的t变量，它服从t(n-1)分布第六章点估计1、掌握对母体未知参数的矩估计法与极大似然方差无二、教学重点与难点第六章点估计估计量将稳定于真值，由于对同一个待估参数可以构造许多估计量，但又不是偏估计量若一个估计不一定无偏的,但当则称的渐进无偏估计。例4、设母体，为未知参数，称的矩估计量，并判断是否为的无偏估计3、有效性在例5中，均为的无偏估计，哪这n个无偏估计中哪个更有效呢?界?在什么条件下下界存在?下面我们就来讨论建立一个方差下界的罗一克拉定理1、(罗一克拉美不等式)设为取自具有概率函数的母体的一个子样，a,b1)集合无关；2)存在，且对一切3)令称为信息量，则概率1成立有时我们称满足上述两个正则条件1)和2)的估计量为正规估计，由此我的一些性质20世纪初才由费歇所研究，因此人们常常把这种方法的建立归功于教学目的4、使学员能熟练将本章所学知识应用到中学数学教学、教改和§假设检验的基本思想和概念说明例在进行一项教学方法改革实验之前，我们可以在同一年级随机抽取30取得全年级的平均成绩μ,标准差0和30人样本的平均分。根据这些资料，如这里的问题，也只需检验是否有μ>μ,仿上面的例，我们先作待检假设：H:μ=μ。(1500)并称H:μ>μ。我们是想根据抽取的样本(这里抽取的是容量为25的样本)来检验H是否为真，如不真则接受备择假设H。的假设，常作为备择假设，用H表示。而H的对立面称为零假设或待检假设，接检验H的真实性一般是比较困难的，因此我们总是通过检验H的不真实性来证明H的真实。当我们推断出H不真时，就认为H是真实的，从而拒绝H,接受H,而认为H为真时就接受H,认为H不真。像上面两例这类只对总体分布=1675>1500造成这种差异有两种可能，一种可能是采用新工艺后，确实有μ>K时就认为H不真，而接受H,反之若-μ≤K,则接受H,这就是假设检验的再回到例取α=由(3)给定显著性水平α,并在H为真的假定下，由U的分布确定出临率不超过α,即记为β,即设,……,为取自正态母体N(μ,o)的一个子样，02=为已知常数，对给定的水平α由=α,查表得临界值，确定出拒绝域为C={},其中u为例(见书P315—316)由{}=查表得因为取自母体N(μ,σ₂)的子样，需检验，般成年男子有无显著差异?(=计算t值：设，……,是取自正态母体N(μ,o2)的子样，,,……,是取自正态由的系3,所示的检验统计量Tt(n+n-2)当T的观察值t则拒绝H,否则接受H例(见书P319-P320)拒绝域为C=在实际应用中，如遇两个独立子样的容量都较大(均超过30)这时可不管独例对7岁儿童作身高调查结果如下所示，能否说明性别对7岁儿童的身高有人数(n)平均身高()标准差男女所以在=下，拒绝H,接受H,即认为性别对7岁儿童的身高有显著影响。对于两个来自非正态总体的独立样本，其中至少一个的容量小于30时，则以上讨论的U-检验和T-检验都是关于均值的检验，现在来讨论正态母体方设，……,为取自正态母体N(μ,σ2)的子样，需检验假设H:(现分别对由给定的水平，由P{k≤≤k}=1-,查表定出临界值k,k₂及拒绝域，接受H的判断。例(书P322)此为单侧检验H:02=:σ₂>~N(U,02),n~N(u,o2)且相互独立，分别从，n中取得子样二对给定的水平，由()=(查分布表定出临界值，进而确定出拒绝域()()视统计量的观察值是否落(1)提出假设:(2)定临界值由(3)计算f值(2)计算临界值分布表得(24)=