贵州省遵义市红花岗区四校联考2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

贵州省遵义市红花岗区四校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（以下每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确。每题3分，共36分）.1．（3分）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解析：解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）解析：解：∵点A（﹣1，2），∴A点关于原点对称的点为（1，﹣2），故选：A．3．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C． D．解析：解：将x＝2代入方程x2﹣mx+5＝0，得4﹣2m+5＝0，解得：m＝．故选：C．4．（3分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1解析：解：将抛物线y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+1﹣2，即y＝（x﹣3）2﹣1．故选：D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AC＝1，则AB的长为（）A． B．2 C． D．3解析：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2．故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（）A．54° B．45° C．46° D．50°解析：解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，∴AC′＝AC，∠B′C′A＝∠C＝65°，∴∠AC′C＝∠C＝65°，∴∠B′C′C＝∠B′C′A+∠AC′C＝130°，∴∠B′C′B＝180°﹣∠B′C′C＝180°﹣130°＝50°．故选：D．7．（3分）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，若设小道的宽度为xm，则由题意可列方程为（）A．（40﹣2x）（26﹣x）＝40×26﹣864 B．（40﹣2x）（26﹣x）＝864 C．（40﹣x）（26﹣2x）＝864 D．（40﹣2x）（26﹣x）+2x2＝864解析：解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864．故选：B．8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴y＝﹣＞0，且a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴点P（ac，b）在第二象限．故选：B．9．（3分）下面的四组值中，能使关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根是（）A．b＝2，c＝1 B．b＝3，c＝3 C．b＝2，c＝2 D．b＝3，c＝﹣1解析：解：∵这个方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∵a＝1，∴b2＞4c，故A、B、C不合题意，D符合题意．故选：D．10．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）解析：解：作线段AA′，CC′的垂直平分线交于点P，点P即为旋转中心，P（1，2）．故选：B．11．（3分）如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交⊙O于点A，连接PA交MN于点B，连接OA、OB．若∠P＝26°，则∠AOB的大小为（）A．26° B．38° C．52° D．64°解析：解：连接AC，根据作图痕迹，直线MN垂直平分OP，OC＝CA，则OC＝CP＝CA，OB＝BP，∴∠BOP＝∠P＝∠CAP＝26°，∠COA＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CAP+∠P＝52°，∴，∴∠AOB＝∠COA﹣∠BOP＝38°，故选：B．12．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+3（a≠＝0）的部分图象，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜n＜4，则关于x的一元二次方程a（x+）2+b（x+）＝﹣3的整数解为（）A．﹣2和3 B．﹣3和2 C．0和54 D．﹣3和5解析：解：∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜n＜4，∴另一个交点的坐标为（m，0），且﹣2＜n＜﹣1，将抛物线向左平移个单位得y＝a（x+）2+b（x+）+3＝0，则抛物线y＝a（x+）2+b（x+）+3与x轴的交点在与和﹣与﹣之间，∴关于x的一元二次方程a（x+）2+b（x+）＝﹣3的整数解为x1＝﹣3，x2＝2．故选：B．二、填空题（每题4分，共16分）13．（4分）二次函数y＝﹣3x2+5的图象开口方向是向下（填“向上”或“向下”）．解析：解：∵a＝﹣3＜0，∴二次函数y＝﹣3x2+5的图象开口向下．故答案为：向下．14．（4分）已知x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根，则x1•x2的值是﹣4．解析：解：∵x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴x1•x2＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（4分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．解析：解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．三、解答题（本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（12分）（1）计算：﹣12024+|﹣2|+（π﹣3.14）0；（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．解析：解：（1）﹣12024+|﹣2|+（π﹣3.14）0＝﹣1+2﹣+1＝2﹣；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），m的值为5；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）点P（﹣4，y1）、Q（5，y2）在函数图象上，y1＞y2（填＜、＞、＝）；（4）当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；（5）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为x＝4或x＝﹣2．解析：解：（1）根据抛物线的对称性可知，顶点坐标（1，﹣4），m＝5；故答案为：（1，﹣4），5；（2）抛物线图象如图所示：（3）根据抛物线的性质，开口向上，对称轴为x＝1，点P到对称轴距离为1﹣（﹣4）＝5，点Q到对称轴距离为5﹣1＝4，∵5＞4，∴y1＞y2，故答案为：＞；（4）根据函数图象和性质，当y＜0时，自变量取值范围是：﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．（5）设二次函数的解析式y＝a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入得，0＝4a﹣4，a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝5，则x2﹣2x﹣3＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝4或x＝﹣2；故答案为：x＝4或x＝﹣2．19．（10分）在第29个世界读书日即将到来之际，市政府启动“书香校园”读书行动，鼓励群众多读书、读好书，好读书．为了解全校学生的阅读情况，某校通过发放问卷的形式进行调查（问卷如下）．调查完毕后，从中抽取300份调查问卷进行统计分析，并绘制了如图所示的扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：调查问卷（1）你平时阅读图书的类型为____．（2）你平时每周用于阅读的时间t（单位：h）为____．A.0＜t≤1B.1＜t≤2C.2＜t≤3D．t＞3（1）本次问卷调查中，每周用于阅读的时间的中位数落在B（填选项）组；在扇形统计图中，阅读时间为3h以上所对应的圆心角的度数为36°；（2）已知该校学生共有2000人，请估计阅读时间在2h以上的学生有多少人；（3）若你是调查组成员，为了使数据更具有代表性，你如何发放调查问卷？并有关阅读方面给同学写一条建议．解析：解：（1）∵A组的人数为300×40%＝120（人），B组的人数为300×（1﹣40%﹣14%﹣10%）＝108（人），∴每周用于阅读的时间的中位数落在B组；在扇形统计图中，阅读时间为3h以上所对应的圆心角的度数为360°×10%＝36°；故答案为：B，36°；（2）2000×（14%+10%）＝480（人），答：估计阅读时间在2h以上的学生有480人；（3）为了使数据更具有代表性，可以从全校学生中随机抽取300名学生，进行阅读情况调查；通过调查发现大部分同学阅读时间较少，应加强阅读，多读书、读好书，好读书．（答案不唯一）．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，点D是△ABC外一点连接AD，BD，将△ABD沿DB折叠使点A落在边BC上的点A1处，连接A1D，若A1D⊥AC．（1）求证：四边形ABA1D是菱形；（2）连接AA1，DC，若AB＝2，求四边形ADCA1的面积．解析：（1）证明：如图1，连接AA1，设A1D交AC于点E，由折叠的性质得：AB＝A1B，AD＝A1D，∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴△ABA1是等边三角形，∴AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴CAA1＝∠BAC﹣∠BAA1＝90°﹣60°＝30°，∵A1D⊥AC，∴∠AEA1＝90°，∴∠AA1D＝90°﹣30°＝60°，∴△AA1D是等边三角形，∴AD＝AA1，∴AB＝A1B＝AD＝A1D，∴四边形ABA1D是菱形；（2）如图2，由（1）可知，四边形ABA1D是菱形，∴A1D＝AB＝2，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝4，∴AC＝＝＝2，∵A1D⊥AC，∴四边形ADCA1的面积＝△AA1C的面积+△ADC的面积＝AC•A1E+AC•DE＝AC•A1D＝×2×2＝2．21．（10分）【概念理解】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1．则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）【初步运用】解方程x2﹣5x+6＝0，并判断此方程是否是邻根方程；（2）【能力提升】关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常数）是邻根方程，求m的值．【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝﹣1，再根据“邻根方程”的定义得到m﹣1＝﹣1或m+1＝﹣1，然后解关于m的方程即可．解析：解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0得x1＝3，x2＝2，∵3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，∴（x﹣m）（x+1）＝0，∴x﹣m＝0或x+1＝0，∴x1＝m，x2＝﹣1，∵方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常数）是“邻根方程”，∴x﹣3＝0或x﹣m＝0，∴m＝3或x＝m．22．（10分）如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于D，CA与⊙O相交于E．（1）从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，并证明；①AB是直径；②AC＝AB；③DC＝DB．（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AB＝5，连接BE，求BE的长．解析：解：（1）①②为条件，③为结论，连接AD，如图：∵AC＝AB，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴DC＝BD；（2）连接BE，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝4，∴S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE，即×6×4＝×5×BE，解得BE＝．23．（12分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？解析：解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，整理得：y2﹣113y+3150＝0，解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．24．（12分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y＝ax2﹣x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．​（1）如图2，两墙AB，CD的高度是4米，抛物线的顶点坐标为（4，1.4）；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当时，求m的取值范围．解析：解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为x＝4，则x＝4＝﹣＝﹣，解得：a＝0.1；则抛物线的表达式为：y＝0.1x﹣0.8x+3，则点A（0，3），即AB＝CD＝3（米），当x＝4时，y＝0.1x﹣0.8x+3＝1.4，即顶点坐标为：（4，1.4），故答案为：3，（4，1.4）；（2）设抛物线的表达式为：y＝a′（x﹣2）2+2，将点A的坐标代入上式得：3＝a′（0﹣2）2+2，解得：a′＝，则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2，当x＝3时，y＝（x﹣2）2+2＝2.25（米），即点M到地面的距离为2.25米；（3）由题意知，点M、C纵坐标均为4，则右侧抛物线关于M、C对称，则抛物线的顶点的横坐标为：（m+8）＝4+m，则抛物线的表达式为：y＝（x﹣4﹣m）2+n，将点C的坐标代入上式得：3＝（8﹣4﹣m）2+n，整理得：n＝﹣m2+m﹣；当n＝2时，即2＝﹣m2+m﹣，解得：m＝8﹣（不合题意的值已舍去）；当n＝时，同理可得：m＝8﹣，故m的取值范围为：8﹣≤m≤8﹣．25．（12分）如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D平面内的一点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°得到CE，连接BD，AE．（1）【问题发现】如图1，若点D为△ABC内的一点，线段BD与AE的数量关系是BD＝AE，线段BD与AE位置关系是BD⊥AE；（2）【问题探究】如图2，若点D为△ABC外的一点，连接BE，若AB＝BE，探究线段AD与CD的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点D为△ABC外的一点，且BC＝2，．∠ACD＝α（0＜α＜180°），当△BDE是以BE为腰的等腰三角形时，求BD2的值．​解析：解：（1）延长BD交AC于T，交AE于K，如图：∵将线段CD绕点C顺时针方向旋转90°得到CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，在△BC