四川省蓉城名校高中2015级高三4月份联考数学（理）试题

蓉城名校联盟高中2015级高三4月联考试卷数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.下列有关命题的说法一定正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．若向量，则存在唯一的实数使得C．若函数在上可导，则是为函数极值点的必要不充分条件D．若“”为真命题，则“”也为真命题3.某学校在高一新生入学后的一次体检后为了解学生的体质情况，决定从该校的名高一新生中采用系统抽样的方法抽取名学生进行体质分析，已知样本中第一个号为号，则抽取的第个学生为（）A．B．C．D．4.已知，是两条直线，，是两个平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则5.从名男生和名女生中随机选取名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的抽法共有多少种（）A．B．C．D．6.已知等差数列的首项和公差均不为，且满足，，成等比数列，则的值为（）A．B．C．D．7.已知，求的值是（）A．B．C．D．8.某程序框图如图所示，则输出的结果为（）A．B．C．D．9.已知函数为定义上的奇函数，且在上为增函数，从区间上任取一个数，则使不等式成立的概率为（）A．B．C．D．10.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．11.已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（）A．B．C．D．12.若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）13.已知复数满足（为虚数单位），则．14.已知点，点满足，则在方向上的投影的最大值是．15.已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是．16.已知，若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若函数图象上最高点与该最高点相邻的图象的对称中心的距离为.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）把图象上所有的点先横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象.在中，，，分别是角，，的对边，若，的面积为，，，成等差数列，求的周长.18.某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取名了解情况并给予物质奖励.调查发现抽取的名会员消费金额（单位：万元）都在区间内，调查结果按消费金额分成组，制作成如下的频率分布直方图.（1）求该名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）若再从这名会员中选出一名会员参加幸运大抽奖，幸运大抽奖方案如下：会员最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖概率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖.规定：抛出的硬币，若反面朝上，则会员获得元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，会员需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，如果中奖，则获得奖金元，如果未中奖，则所获得的奖金为元.若参加幸运大抽奖的会员所获奖金（单位：元）用表示，求的分布列与期望值.19.如图，在一个由等边三角形和一个平行四边形组成的平面图形中，，，将沿边折起，使得，在四棱锥中.（1）求证：平面平面；（2）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.20.已知椭圆：的长轴长为，，是其长轴顶点，是椭圆上异于，的动点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若动点在直线上，直线，分别交椭圆于，两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若有两个零点，求实数的范围；（3）已知函数与函数的图象关于原点对称，如果，且，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线的参数方程为（为参数），，当直线被曲线截得的弦长最小时，求的值.23.选修45：不等式选讲已知函数，若，成立，且.（1）求的值；（2）若，且，，，求的最小值.

蓉城名校联盟高中2015级高三4月联考数学参考答案（理科）一、选择题15:CCDBA610:ACBBA11、12：CB二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.（1）由题意知，根据可得.根据，所以，则，根据解得，.综上：最小正周期，单调递增区间为，.（2）由题意可知，根据，可得.由，则.由，则.由，，成等差数列，则，由，则，则，，所以周长.18.解：（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为（万元），设所求中位数为万元，由，解得，所以该名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为万元，万元.（2）由题意可知，可能取值为，，.则，，.的分布列为：（元）.19.（1）证明：取中点为，连接，，根据是等边三角形可得且，由，则，根据可得，由，∴平面，∴平面平面.（2）连接交于，连接，因平面，∴，又为中点，∴为中点，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的一个法向量为，由，得，取，得.由图可知，平面的一个法向量，∴，∴二面角的余弦值为.20.解：（1）由题意知则，设，，，则，由，则，则，则，由此可得椭圆的标准方程为.（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得：，则，即代入直线的方程得，故.联立得消去得：，则，即代入直线的方程得，故.当，即，则与轴交点为，当，即时，下证直线过点，由，故直线过定点.21.（1）根据，令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：递减递增∴函数的增区间为，减区间为；函数在处取的极小值，无极大值.（2）由，则，当时，，易知函数只有一个零点，不符合题意，当时，在上，单调递减；在上，单调递增，又，，当时，，所以函数有两个零点，当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.又，所以函数至多一个零点，不符合题意，当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.又，所以函数至多一个零点，不符合题意，当时，，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围是.（3）由，，令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：递增递减由，不妨设，根据结合图象可知，，令，，则，∵，，∴，则，∴在单调递增，