河北省高三上学期大数据应用调研联合测评（I）数学

绝密★启用前河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I）数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集，则（）A.B.C.D.2.设为虚数单位，复数满足，则（）A.2B.C.4D.3.已知向量，且，则（）A.2B.2C.D.4.已知正项等比数列满足，则数列前10项和为（）A.255B.511C.1023D.20475.已知，则（）A.B.C.D.6.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为（）A.B.C.D.7.现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲､乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为（）A.B.C.D.8.给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（）A.B.1C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.设函数为函数的极大值点，则下列结论正确的是（）A.B.若为函数的极小值点，则C.若有三个解，则的取值范围为D.当时，11.已知曲线（如图所示）过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长的最小值为8D.的面积最大值为2三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线右支上点满足，则该双曲线的离心率为__________.13.若为函数图象上的一点，，则的最小值为__________.14.已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是__________.（用数字作答）四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，底面，是的中点，点在棱上，且.（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求.17.（本小题满分15分）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）求证；（2）求方程解的个数；（3）设，证明.19.（本小题满分17分）定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.（1）求；（2）对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）若，求.河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I）数学参考答案及解析题号1234567891011答案BACCACDBACDABCABD1.B【解析】因为，所以，又因为，所以，故选B.2.A【解析】因为，所以，所以，故选A.3.C【解析】因为，又因为，所以，所以，故选C.3.C【解析】设等比数列的公比为，由，得又因为各项均为正数，所以所以.故选C.5.A【解析】，等号两边同时除以，得到，即，故选A.6.C【解析】由已知圆台的体积为，设该球的半径为，则，，所以该球的表面积，故选C.7.D【解析】6名教师选出3人分别到，三所学校的方法共有种.甲､乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的第一种情况：若丙去校，有种选法；第二种情况，若丙不去校，则校有种选法，校有种选法，校有种选法，共有种，所以一共有种.所以概率，故选D.8.B【解析】，即恒成立，设恒成立，设，令，则，解得单调递减，时，单调递增，.，令时，单调递减，时，单调递增，.所以实数的最大值为1.故选B.9.ACD【解析】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；对于C，由正态分布的对称性得，，所以，故C正确；对于D，由，则，根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确.故选ACD.10.ABC【解析】因为为函数的零点，且为函数的不变号零点，由数轴标根法可得，故A正确.，，所以B正确.由以上分析可得当时取得极小值，且，的大致图象如图，由有三个解，则，解得，故C正确.由以上分析可得时，单调递增，因为时，，所以，所以D错误.故选ABC.11.ABD【解析】由题意，已知过坐标原点，将代入，得，所以A正确.由图象，令，得，或，所以B正确.由，当且仅当时等号成立，周长的最小值为，而此时，不能构成三角形，即最小值不是8，所以C错误.因为，则，则，即，得，设，所以，则当时，有最大值1，所以有最大值为，所以，所以D正确.故选ABD.12.【答案】【解析】，所以，又因为，所以离心率.13.【答案】【解析】，设，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，当曲线在点处的切线与直线垂直时，最小，即，即，设因为，在上单调递增，时最小，最小值为.所以答案为.14.【答案】1024【解析】考虑将集合划分为4个集合，，接下来将集合中的元素逐一安排到集合中即可得所求总数为.故答案为1024.15.【解】（1）由，，又，，所以.（2）由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化简得，，联立解得，所以的周长为.16.【解】（1）证明：因为底面底面，所以.因为四边形为矩形，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.在中，是的中点，则.因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）方法一：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因为平面平面，所以.所以为二面角的平面角.所以，设，则，所以，解得，.17.【解】（1）依题意，可设椭圆的方程为.由又因为，所以，，椭圆经过点，代入上述方程解得，则，椭圆的方程为.（2）由（1）可知：，当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时.若点与重合，与重合，则.当直线斜率存在时，设直线，联立得消去可得，显然，则，可得，整理可得，因为，可得，令，则，解得，即，所以.综上，的取值范围为.18.【解】（1）令，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，单调递增，所以，所以得证.（2）由得，即，令，所以函数的零点个数，即为方程解的个数，，令，即，解得，0+单调递减单调递增因为，所以在上有唯一一个零点，又，所以在上有唯一一个零点.综上所述，方程有两个解.（3）由（1）知，，令，则，即，设，则满足，所以，即，所以所以即.19.【解】（1）