高考数学二轮复习 专题1 第2讲 函数的概念、图象与性质素能训练（文、理）

【成才之路】届高考数学二轮复习专题1第2讲函数的概念、图象与性质素能训练（文、理）一、选择题1．(文)(·朝阳一模)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx，则f(f(eq\f(1,100)))的值等于()A.eq\f(1,lg2) B．－eq\f(1,lg2)C．lg2 D．－lg2[答案]D[解析]当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)．又函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(－x)．∴f(eq\f(1,100))＝lgeq\f(1,100)＝－2，f(f(eq\f(1,100)))＝f(－2)＝－lg2.(理)(·辽宁文，7)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lgeq\f(1,2))＝()A．－1 B．0C．1 D．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1＝－ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋1，f(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋1，∴f(x)＋f(－x)＝2，又lgeq\f(1,2)＝－lg2，∴f(lg2)＋f(lgeq\f(1,2))＝2，故选D.2．已知f(x)＝2x，则函数y＝f(|x－1|)的图象为()[答案]D[解析]法一：f(|x－1|)＝2|x－1|.当x＝0时，y＝2.可排除A、C.当x＝－1时，y＝4.可排除B.法二：y＝2x→y＝2|x|→y＝2|x－1|，经过图象的对称、平移可得到所求．3．(·新课标Ⅰ文，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[答案]C[解析]本题考查函数的奇偶性．由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选C.4．(·山东文，5)函数f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1][答案]A[解析]本题考查了定义域的求法．由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0，,x＋3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤1，,x>－3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x>－3，))∴3<x≤0，∴f(x)定义域为(－3,0]．5．(文)(·北京东城区模拟)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{xn}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x＋x的值为()A．9394 B．9380C．9396 D．9400[答案]A[解析]∵点(n，xn＋1))在函数y＝f(x)的图象上，∴xn＋1＝f(xn)，n∈N*，∵x1＝2，∴x2＝f(x1)＝f(2)＝4，x3＝f(4)＝8，x4＝f(8)＝2，x5＝f(2)＝4，即数列{xn}为周期数列，周期为3，∴x1＋x2＋…＋x＝671×(2＋4＋8)＝9394.(理)(·和平区质检)已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递减，设a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(3)，c＝f(0)，则a、b、c的大小关系为()A．b<a<c B．c<b<dC．b<c<a D．a<b<c[答案]A[解析]∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(3)＝f(－1)，∵x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，∴x∈(－∞，1)时，f(x)单调递增，∴f(－1)<f(－eq\f(1,2))<f(0)，∴b<a<c.6．(文)(·霍邱二中模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间(1,2)上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][答案]D[解析]由f(x)在(1,2)上为减函数得a≤1；由g(x)＝eq\f(a,x＋1)在(1,2)上为减函数得a>0，∴0<a≤1.(理)(·江西师大附中、鹰潭一中联考)函数f(x)＝(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1的单调增区间与值域相同，则实数m的取值为()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]B[解析]∵－x2＋2mx－m2－1＝－(x－m)2－1≤－1，∴(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞)，∵y＝(eq\f(1,2))x单调递减，y＝－(x－m)2－1的单调减区间为[m，＋∞)，∴f(x)的单调增区间为[m，＋∞)．由条件知m＝2.二、填空题7．(文)(·上海黄浦区模拟)设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3，若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵f(x)＝x2－4x＋3在[2，＋∞)上为增函数，f(x＋a)在[0，＋∞)上为增函数，∴应将f(x)的图象至少向左平移2个单位得到f(x＋a)的图象，∴a≥2.(理)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.[答案]－1[解析]令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)＝x(1－x)，当a≥0时，f(a)＝a(a＋1)＝－2，无解；当a<0时，f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2(舍去)，综上知a＝－1.8．(·吉林市质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log4x，x>0,3x，x≤0))，则f[f(eq\f(1,4))]＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]f(eq\f(1,4))＝log4eq\f(1,4)＝－1，∴f[f(eq\f(1,4))]＝f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3).9．(·唐山市一模)函数y＝log3(2cosx＋1)，x∈(－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3))的值域为________．[答案](－∞，1][解析]∵x∈(－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3))，∴cosx∈(－eq\f(1,2)，1]，∴2cosx＋1∈(0,3]，∴log3(2cosx＋1)≤log33＝1.10．(·北京海淀区期中)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,x2－3ax＋a，x>0))有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[答案]eq\f(4,9)<a≤1[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a＝0，,x≤0，))且方程x2－3ax＋a＝0有两不等正根，∴0<a≤1，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a>0，,a>0，,9a2－4a>0，))∴eq\f(4,9)<a≤1.一、选择题11．(·吉林省吉大附中二模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8x－8，x≤1，,0，x>1，))g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]画出两函数的图象知，当0<x<1时，有一个交点，又f(1)＝g(1)＝0；当x>1时，f(x)>g(x)恒成立，故选C.12．(文)(·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]C[解析]本题考查函数的奇偶性．分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1－g1＝3，,f1＋g1＝1.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,g1＝－1.))⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.(理)(·江西八校联考)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2－x，x<0,fx－5，x≥0))，则f()等于()A．－1 B．2C．0 D．1[答案]D[解析]∵＝403×5－2，∴f()＝f(－2)＝log22＝1.13．(文)(·福建质检)函数f(x)＝logeq\f(1,2)cosx(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))的图象大致是()[答案]C[解析]解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，排除A，B；又x∈[0，eq\f(π,2)]时，cosx∈(0,1]，f(x)＝logeq\f(1,2)cosx>0，排除D，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u＝cosx在区间(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分别为增函数和减函数，而y＝logeq\f(1,2)u为减函数，故复合函数f(x)＝logeq\f(1,2)cosx在区间(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分别为减函数和增函数，故选C.(理)(·北京东城训练)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3.若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为()A．2或－7 B．2或－8C．1或－7 D．1或－8[答案]A[解析]∵f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，∴f(x)在(1,2)上有零点，又f(x)的图象关于直线x＝－3对称，∴f(x)在(－8，－7)上有零点，∴k＝2或－7.14．(·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x＋1)为偶函数，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f(eq\f(1,2))，则有()A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<c<b[答案]D[解析]∵f(x＋1)为偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，∵2>eq\f(1,2)>0>log32，∴f(2)<f(eq\f(1,2))<f(log32)，∴a<c<b.15．(文)(·长春市三调)已知函数f(x)＝eq\f(2,2x＋1)＋sinx，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝()A.eq\f(5,2) B.eq\f(2,5)C．4 D．5[答案]D[解析]∵f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,2x＋1)＋sinx＋eq\f(2,2－x＋1)－sinx＝eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2x＋1,1＋2x)＝2，且f(0)＝1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝5.(理)(·东北三省三校第一次联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x＋1，－1≤x<k,x5－3x＋2，k≤x≤a))，若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是()A．[eq\r(3)，＋∞) B．[eq\f(1,2)，eq\r(3)]C．(0，eq\r(3)] D．{2}[答案]B[解析]当a＝2时，f(x)＝x5－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合题意，∴a≠2，排除A、D；当a＝eq\f(1,3)时，∵k≤x≤a，∴k≤eq\f(1,3)，当k＝eq\f(1,3)时，－1≤x<eq\f(1,3)，eq\f(2,3)<1－x≤2，∴log2eq\f(2,3)<log2(1－x)≤1，又log2eq\f(2,3)<0，∴不合题意，排除C，故选B.16．(文)(·沈阳市质检)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝eq\r(1－x2).若函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(exx≤0,lnxx>0))，则函数y＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上零点的个数是()A．7 B．8C．9 D．10[答案]D[解析]如图，当x≤0时，y＝f(x)与y＝ex的图象有6个交点；当x>0时，y＝f(x)与y＝lnx的图象有4个交点．故选D.(理)(·河北衡水中学模拟)设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)＝，且对任意x∈R，满足f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则f()＝()A．2＋ B．2＋C．2＋ D．2＋[答案]C[解析]由题意f()≤f()＋3×2≤f()＋3×2＋3×2≤…≤f(0)＋3×(2＋2＋…＋22＋20)＝＋3×eq\f(221004－1,22－1)＝＋2①f()≥f()＋63×2≥f(1996)＋63×21996≥…≥f(4)＋63×(2＋21996＋…＋24)＝f(4)＋63×eq\f(24[26344－1],26－1)＝f(4)＋2－24②又由条件f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，可得f(x＋6)－f(x＋2)≥60·2x＝15·2x＋2即f(x＋4)－f(x)≥15·2x再由f(x＋2)－f(x)≤3·2x得f(x＋4)－f(x＋2)≤3·2x＋2两式相加得f(x＋4)－f(x)≤15·2x，∴f(x＋4)－f(x)＝15·2x∴f(4)－f(0)＝15，∴f(4)＝f(0)＋15＝2023，代入②解得f()≥＋2③由①③得f()＝＋2.二、填空题17．(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围是________．[答案](－1，eq\f(2,3))[解析]f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即eq\f(2a－3,a＋1)<－1，解得－1<a<eq\f(2,3).(理)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案]②④[解析]对于①，方程eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x)＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝eq\f(1,2)，显然存在x使等式成立，故填②④.18．(·眉山市二诊)如图所示，f(x)是定义在区间[－c，c](c>0)上的奇函数，令g(x)＝af(x)＋b，并有关于函数g(x)的四个论断：①若a>0，对于[－1,1]内的任意实数m、n(m<n)，eq\f(gn－gm,n－m)>0恒成立；②函数g(x)是奇函数的充要条件是b＝0；③∀a∈R，g(x)的导函数g′(x)有两个零点；④若a≥1，b<0，则方程g(x)＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________．[答案]①②③[解析]①∵g(x)＝af(x)＋b，∴eq\f(gn－gm,n－m)＝eq\f(a[fn－fm],n－m)，由图知对于f(x)在[－1,1]上任意两点A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB＝eq\f(fn－fm,n－m)>0，又a>0，∴eq