2024-2025学年新教材高中数学第7章三角函数测评含解析苏教版必修第一册1

PAGE6-第7章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M,则()A.M=B.M=C.M=D.M=答案D解析终边在y轴的负半轴上的角为-+2kπ,k∈Z,所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为αα=-+2kπ,k∈Z.故选D.2.下列函数中,周期为4π的是()A.y=sin4x B.y=cos2xC.y=tan D.y=sin答案D解析D中,T==4π,故选D.3.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sinα-cosα的值等于()A. B.- C. D.-答案A解析∵角α的终边经过点P(-2,4),∴sinα=,cosα==-,则sinα-cosα=,故选A.4.(2024新高考Ⅰ,6)若tanθ=-2,则=()A.- B.- C. D.答案C解析=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=.故选C.5.化简等于()A.cos3-sin3 B.sin3-cos3C.-sin3-cos3 D.sin3+cos3答案C解析由题意,==|sin3+cos3|,∵<3<π,∴sin3+cos3<0,∴原式为-sin3-cos3,故选C.6.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象如图所示,则φ=()A. B. C. D.答案C解析依据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象,可得A=4,,∴ω=.再依据五点法作图可得+φ=π,∴φ=,故选C.7.已知函数f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象()A.关于点,0对称 B.关于直线x=对称C.关于点,0对称 D.关于直线x=对称答案A解析由已知可得ω==2,所以f(x)=cos2x+.因为f=0,所以点,0是对称中心,直线x=不是对称轴,所以A正确,B错误;因为f≠0,所以点,0不是对称中心,所以C错误;因为f=-≠±1,所以直线x=不是对称轴,所以D错误.故选A.8.如图,某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10答案C解析由题意可知当sinx+φ取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,∴y=3sinx+φ+5,当sinx+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列等式正确的是()A.sin+α=cosα B.cos(α-π)=-cosαC.sin600°= D.tan-αtanα=1答案ABD解析A,B,D由诱导公式可知正确;sin600°=sin240°=-sin60°=-,C不正确.故选ABD.10.函数y=2sin在下列区间上为增函数的有()A.-,- B.C. D.,π答案AC解析y=-2sin,由+2kπ≤2x-π+2kπ(k∈Z),可得+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).当k=1时,函数y的增区间为;当k=-1时,函数y的增区间为-,-.11.函数f(x)=在区间[-π,π]内的大致图象不行能的是()答案ABD解析x∈[-π,π],故不行能为B,D,当x∈-π,-时,cosx<0,f(x)==-tanx,故A不行能.12.若θ∈,π,则下列各式中正确的有()A.sinθ+cosθ<0 B.sinθ-cosθ>0C.|sinθ|<|cosθ| D.sinθ+cosθ>0答案ABC解析若θ∈,π,则sinθ∈0,,cosθ∈-1,-,∴sinθ+cosθ<0,故A成立;sinθ-cosθ>0,故B成立;|sinθ|<|cosθ|,故C成立;sinθ+cosθ<0,故D不成立.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知α∈π,,tanα=2,则cosα=.

答案-解析由tanα==2,sin2α+cos2α=1,联立得cos2α=,由α∈π,知cosα<0,所以cosα=-.14.函数y=的定义域为.

答案[-4,-π]∪[0,π]解析依题意,得∴如图,可得函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].15.已知函数f(x)=2tanaπx+(a>0)的最小正周期是3,则a=,f(x)的对称中心为.

答案k-,0,k∈Z解析函数f(x)=2tanaπx+(a>0)的最小正周期是3,则3=,得a=,所以函数f(x)=2tanπx+,由πx+kπ,k∈Z,得x=k-,故对称中心为k-,0,k∈Z.16.已知sin(540°+α)=-,若α为其次象限角,则=.

答案-解析因为sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)=sin(180°+α)=-sinα=-,所以sinα=,又因为α为其次象限角,所以cosα=-=-,tanα=-,所以==-.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知角α的终边上一点P(m,),且cosα=-.(1)计算m及tanα;(2)求的值.解(1)∵角α的终边上一点P(m,),且cosα=-,∴m=-1,∴tanα==-.(2)=-.18.(12分)已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=90°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是肯定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=90°=,R=10,l=×10=5π(cm),S弓=S扇-S△=×5π×10-×102=25π-50(cm2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=,∴S扇=αR2=.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值.19.(12分)(1)已知α∈,且sinαcosα=,求sinα+cosα的值;(2)假如sinα+3cosα=0,求sin2α+2sinαcosα的值.解(1)因为α∈,所以sinα+cosα>0,sinα+cosα=.(2)因为sinα+3cosα=0,所以tanα=-3,sin2α+2sinαcosα=.20.(12分)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:ωx+φ0π2πxf(x)2-2(1)先将表格补充完整,再写出函数f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;(2)若方程f(x)=m在上存在两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.解(1)ωx+φ0π2πx-f(x)020-20依据,解得T=π,所以ω=2.当x=时,2×+φ=,解得φ=,由于函数的最大值为2,故A=2.所以函数的解析式为f(x)=2sin.所以函数的最小正周期为π.(2)由于f(x)=2sin,当x∈-,0时,整理得2x+.所以f(x)∈[-2,1].所以函数的值域为[-2,1],①当m=-2时,函数的图象与直线y=m有一个交点.②当-2<m<-1时,函数的图象与直线y=m有两个交点.③当m=-1时,函数的图象与直线y=m正好有两个交点.④当m>-1时,函数的图象与直线y=m有一个交点.故m的取值范围是(-2,-1].21.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象,且图象关于原点对称.(1)求f(x)的解析式并求其增区间;(2)求实数m的最小值,并写出此时g(x)的表达式;(3)在(2)的条件下,设t>0,关于x的函数h(x)=g在区间上的最小值为-2,求实数t的取值范围.解(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一段图象可知,A=2,,∴ω=2.∵,依据“五点法”作图可得2·+φ=,∴φ=,f(x)=2sin2x+.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,求得kπ-≤x≤kπ+,可得f(x)的增区间为,k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)=2sin的图象.∵g(x)的图象关于原点对称,∴-2m+=kπ(k∈Z),∴m的最小值为,故g(x)=2sin2x.(3)∵t>0,函数h(x)=g=2sintx在区间上的最小值为-2,∴,∴t≥,∴t的取值范围是.22.(12分)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上匀称设置了36个座舱(如图).开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周须要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱起先计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满意H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>0,|φ|≤,求摩天轮转动一周的解析式H(t);(2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解(1)H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B,由解得A=40,B=50.又t=0时,H(0)=40sinφ+50=10,解得sinφ=-1,所以φ=-.又T=30,所以ω=,所以摩天轮转动一周的解析式为H(t)=40sint-+50.(2)令H(t)=30,得40sint-+50=30,即sint-=-,所以c