四川省川大附中2024-2025学年高二数学上学期期中试题理

II卷（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上。）已知直线与抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为__________．已知点及圆，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________．已知函数若，使，则实数m的取值范围是______．已知抛物线的焦点为F，双曲线C：的右焦点为，过点F和的直线l与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线垂直，当取最大值时，双曲线C的方程为______．三、解答题（本题共6小题，共70分）（本小题12分）命题，，命题，使得成立．

若为真，为假，求实数a的取值范围；

已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．（本小题12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．求抛物线C的方程及的值；设点O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线l交抛物线于两点，点Q为抛物线C上异于M、N的一点，若，求实数t的值．（本小题12分）已知动点P与两个定点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．求曲线C的轨迹方程过点作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为，求面积的最大值．

（本小题12分）已知圆C1：(x＋eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(25,8)，圆C2：(x－eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(1,8)，动圆P与已知两圆都外切．(1)求动圆的圆心P的轨迹E的方程；(2)直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹E交于不同的两点A，B，AB的中垂线与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．

（本小题12分）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点在椭圆E上，过点作相互垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点

求椭圆的方程；

求证：直线MN过定点；

求面积的最大值．

（本小题10分）已知命题p：实数m满意，命题q：实数m满意方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围。数学答案1--12BBBAADDCABAD13．814．15．16．17解：对随意，不等式

恒成立，

，解得，即

p

为真命题时，；

存在：，使得成立，即成立，，即命题q

为真时，；

为真，为假，、q

一真一假，

当

p

真q

假时，则，且，即，

当p假q

真时，则或，且，即，

综上所述，实数a的取值范围为．

若，r是q的充分不必要条件，则，所以实数k的取值范围．18解：由题意知，抛物线的准线方程为：，依据抛物线的定义，，

所以，故抛物线方程为，当时，

由知，焦点，故直线l的方程为，联立，得，解得，．所以，

设点Q的坐标为，则由，

得，所以又因为点Q在抛物线上，所以，解得或舍去．故

19解：设点，，即，即，

化为，曲线C的方程为．

解法一：由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l方程为，

由可知，点M是圆的圆心，点M到直线l的距离为，由得，即，又，

所以，令，所以，，，

当，即，此时，符合题意，即时取等号．

所以面积的最大值为2．

解法二：由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l方程为，

设直线l与x轴的夹角为，其中，圆心M到直线到直线l的距离为，

，，

当且仅当时取等号．所以面积的最大值为2．20解:(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(－eq\f(\r(6),2)，0)，r1＝eq\f(5\r(2),4)；C2(eq\f(\r(6),2)，0)，r2＝eq\f(\r(2),4).设动圆P的半径为r，由题意知|PC1|＝r＋eq\f(5\r(2),4)，|PC2|＝r＋eq\f(\r(2),4)，则|PC1|－|PC2|＝eq\r(2)<|C1C2|＝eq\r(6).所以点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，其中2a＝eq\r(2)，2c＝eq\r(6)，所以b2＝1.故轨迹E的方程为2x2－y2＝1(x>0)．(2)将直线y＝kx＋1代入双曲线方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,x1＋x2＝－\f(2k,k2－2)>0，,x1x2＝\f(2,k2－2)>0.))所以－2<k<－eq\r(2).且x0＝eq\f(－k,k2－2)，y0＝kx0＋1＝eq\f(－2,k2－2)，则AB的中垂线方程为y＋eq\f(2,k2－2)＝－eq\f(1,k)(x＋eq\f(k,k2－2))．令x＝0，得yN＝eq\f(3,2－k2).∵－2<k<－eq\r(2)，∴yN<－eq\f(3,2).21解：椭圆E：经过点

且，与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则，，

，解得，，椭圆方程为；

Ⅱ证明：设直线AB的方程为，，则直线CD的方程为，

联立，消去x得，，

设，，则，，

，由中点坐标公式得，

将M的坐标中的m用代换，得CD的中点，，

直线MN的方程为，即为，

令，可得，即有，则直线MN过定点R，且为，

面积为

令，由于的导数为，且大于0，即有在递增．

即有在递减，

当，即时，S取得最大值，为；则面积的最大值为．22.已知命题