湖南省2024-2025学年高一数学下学期期末联考试题含解析

…………○…………外…………○…………装…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………PAGEPAGE26湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一数学下学期期末联考试题（含解析）一、单选题1.已知复数z满意(z+1)i=1+iA.

i

B.

−i

C.

1+i

D.

2−i2.已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采纳计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数：162471据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（

）A.

0.5

B.

0.55

C.

0.6

D.

0.653.已知三个函数y=aA.

a>b>c

B.

c>a>b

C.

a>c>b

D.

c>b>a4.已知函数y=ln(x2−ax+3a)A.

(−4,+∞)

B.

(0,4]

C.

[4,+∞)

D.

(−4,4]5.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30∘，若将地球看成近似球体，其半径约为6400km，则北纬A.

64003km

B.

64003πkm

C.

320036.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点P(−35,45)，角A.

−43

B.

−34

C.

−837.如图，为测量楼房的高度PQ，选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为∠PAQ=60∘，C点的仰角∠CAB=45∘,∠PAC=75∘.从C点测得A.

75m

B.

752m

C.

753m

8.在平面中的向量a,b满意|a|=|b|=1且a⋅b=0，OA.

[0,1]

B.

[2−1,2+1]

C.

[1,3]

D.

二、多选题9.下列命题中，真命题有（

）A.

若复数z1=z2，则z1⋅z2∈R

B.

若复数z1,z2满意|z1|=|z2|，则10.下列关于概率的命题，正确的有（

）A.

若事务A,B满意P(A)=13,P(B)=23，则A,B为对立事务

B.

若事务A，B满意P(A)=13,P(B)=23,P(AB)=29，则A，B相互独立

C.

若对于事务11.已知函数f(x)={−A.

方程f(x)−12=0的全部解之和为32−22

B.

若直线y=t与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点，则t∈(−∞,0)∪(1,+∞)

C.

若方程f(x)=m恰有四解x1,x12.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.

三棱锥P−A1C1D的体积为定值

B.

异面直线AP与A1D所成的角的取值范围为[45∘,90∘]

三、填空题13.已知集合A={x∈Z∣32−x∈Z}，用列举法表示集合A14.若复数z1=1+2i,z2=3−i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为OZ15.我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为________.16.已知，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为四、解答题17.某地一天的时间x(0⩽x⩽24，单位：时)随气温y(oC)（1）依据图中数据，试求y=Asin（2）该地居民老张因身体不适在家养息 ，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23o18.已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.（1）BP=12（2）当△CPQ的周长为2时，求∠PAQ的大小.19.新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2024年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按[5,10),⋯,[35,40]分组，制成以下频率分布直方图.（1）由所给的频率分布直方图：①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)②记A事务为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为激励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获得小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.20.已为a.b.c分别为△ABC三内角A,B,C的对边，且a（1）求A.（2）若c=2，B的平分线BD=6，求△ABC的面积S21.设函数f(x)=a⋅2x−（1）若不等式f(x)⩾k⋅2x−2（2）若f(sin3α−22.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，（1）摸索究在BC1上是否存在点N，使A1（2）若BC1与平面BCM所成角的正弦值为

答案解析部分一、单选题1.已知复数z满意(z+1)i=1+iA.

i

B.

−i

C.

1+i

D.

2−i【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z=1+故答案为：B

【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得出答案。2.已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采纳计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数：162471据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（

）A.

0.5

B.

0.55

C.

0.6

D.

0.65【答案】A【考点】列举法计算基本领件数及事务发生的概率【解析】【解答】基本领件的总数为20种，其中三天中至少有两天下雨的基本领件有162，151，271，932，408，471，333，730，163，039共10种，所以三天中至少有两天下雨的概率约为p=故答案为：A

【分析】经随机模拟产生的20组随机数中，利用列举法求出三天中至少有两天下雨的随机数有10组，据此以估计三天中至少有两天下雨的概率。3.已知三个函数y=aA.

a>b>c

B.

c>a>b

C.

a>c>b

D.

c>b>a【答案】C【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象【解析】【解答】由指数函数y=ax图象可知，由幂函数y=xb的图象可知，由对数函数y=logcx故可得a>c>b，故答案为：C

【分析】依据题意，结合指数函数，幂函数，对数函数图像性质，分析a，b，c的取值范围，即可得出答案。4.已知函数y=ln(x2−ax+3a)A.

(−4,+∞)

B.

(0,4]

C.

[4,+∞)

D.

(−4,4]【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】【解答】依据复合函数的单调性可知，若函数在区间[2,+∞)上单调递增，需满意{a2≤2故答案为：D

【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数，对数函数的性质，即可得出答案。5.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30∘，若将地球看成近似球体，其半径约为6400km，则北纬A.

64003km

B.

64003πkm

C.

32003【答案】B【考点】三角形中的几何计算【解析】【解答】如图所示，半径O1C=OC⋅cos故答案为：B.

【分析】利用球的截面，结合球与截面之间的关系，在直角三角形中，求出北纬

30∘纬6.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点P(−35,45)，角A.

−43

B.

−34

C.

−83【答案】B【考点】两角和与差的余弦公式，随意角三角函数的定义【解析】【解答】由P(−35因为cos(α+β)=0所以cosα即tanβ=所以sin2β故答案为：B

【分析】由三角函数定义可知，tanα=45−35=−7.如图，为测量楼房的高度PQ，选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为∠PAQ=60∘，C点的仰角∠CAB=45∘,∠PAC=75∘.从C点测得A.

75m

B.

752m

C.

753m

【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=50m，所以AC=502在△APC中，∠PAC=75°，∠PCA=60°，从而∠APC=45°，由正弦定理得，ACsin45°=在RT△PQA中，AP=503m，∠PAQ=60°得PQ=503故答案为：A

【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AP的值，在RT△PQA中，由AP=503m，8.在平面中的向量a,b满意|a|=|b|=1且a⋅b=0，OA.

[0,1]

B.

[2−1,2+1]

C.

[1,3]

D.

【答案】C【考点】向量的模，向量的减法及其几何意义【解析】【解答】∵PQ∴|∵向量a,b满意|a|=|b|=1且∴|∵θ∈[0,2π),∴sin∴|∴|PQ故答案为：C

【分析】由PQ→=OQ→−OP→=(2二、多选题9.下列命题中，真命题有（

）A.

若复数z1=z2，则z1⋅z2∈R

B.

若复数z1,z2满意|z1|=|z2|，则【答案】A,C【考点】复数相等的充要条件，复数求模【解析】【解答】A.由条件z1=z2可知，z1和z那么z1B.两个复数的模相等，不能推出两个复数相等或是共轭复数，比如，z1=1+iC.由条件z1=z2可知，z1D.若z1=1+i，z2=1−i，满意故答案为：AC

【分析】利用复数的共轭，复数的模，及复数的运算，逐项进行分析，即可得出答案。10.下列关于概率的命题，正确的有（

）A.

若事务A,B满意P(A)=13,P(B)=23，则A,B为对立事务

B.

若事务A，B满意P(A)=13,P(B)=23,P(AB)=29，则A，B相互独立

C.

若对于事务【答案】B,D【考点】互斥事务的概率加法公式，相互独立事务的概率乘法公式【解析】【解答】A.因为P(A)+P(B)=1，是A,B为对立事务的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M和区域N（不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M内记为事务A，针尖落在区域N内记为事务B，满意P(A)+P(B)=1，但A,B不是对立事务，因为针尖还有可能落在直径上，故错误；B.若P(AB)=P(A)⋅P(B)，则A，B相互独立，故正确；C.若A,B,C两两独立，则P(AB)=P(A)⋅P(B),P(AC)=P(A)⋅P(C)，P(BC)=P(B)⋅P(C)，故错误；D.若事务A与B相互独立，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.42，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.88，故正确；故答案为：BD

【分析】干脆利用对立事务的定义，相互独立事务的定义的应用推断A,B,C,D的结论。11.已知函数f(x)={−A.

方程f(x)−12=0的全部解之和为32−22

B.

若直线y=t与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点，则t∈(−∞,0)∪(1,+∞)

C.

若方程f(x)=m恰有四解x1,x【答案】A,B,D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，分段函数的应用【解析】【解答】A.首先画出函数的图象，f(x)−12=0的全部解，即y=f(x)与y=12的交点的横坐标，如图可知有4个交点，设四解x1,x2,x3,x4B.由图象可知，当直线y=t与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点，则t∈(−1,0)∪(1,+∞)，B不正确；C.由A可知x1+x2=2×(−12)=−1，D.由C的证明可知D符合题意.故答案为：ABD

【分析】画出函数的图象，依据对称性可知x1+x12.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.

三棱锥P−A1C1D的体积为定值

B.

异面直线AP与A1D所成的角的取值范围为[45∘,90∘]

【答案】A,C,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，对于A，VP−A1C1D=VC1−A1PD,因为点对于B，当点P与线段B1C的端点重合时,AP与A1对于C，因为直线BD1⊥平面A1C1D,所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大,则直线C对于D，连接B1D,由正方体可得BC1⊥B1C,且DC⊥平面B1C1CB,则DC⊥BC1,所以故答案为：ACD

【分析】在A中，由B1C//平面A1C1

D,得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P−A1C1D的体积为定值；

在B中，异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°，90°]

;

在C中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线

C三、填空题13.已知集合A={x∈Z∣32−x∈Z}，用列举法表示集合A【答案】{−1,1,3,5}【考点】集合的表示法【解析】【解答】∵A={x∈Z∣3∴A={−1,1,3,5}故答案为：{−1,1,3,5}

【分析】用特别值代入，从而得出A中的元素。14.若复数z1=1+2i,z2=3−i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为OZ【答案】7【考点】余弦定理【解析】【解答】因为OZ1=(1,2)，O所以|OZ1|=1由余弦定理可得cos∠所以sin∠所以△OZ1Z故答案为：7

【分析】由题意求出各复数的模，再依据余弦定理求出sin∠Z1OZ215.我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为________.【答案】5【考点】列举法计算基本领件数及事务发生的概率【解析】【解答】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以她们的选科至少有一科不相同的概率P=1−故答案为：5

【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法，由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，由此利用对立事务概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率。16.已知，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为【答案】2+【考点】棱柱的结构特征【解析】【解答】如图，将△D1A1P沿A1P∠D故∠AA从而，AP+D当且仅当P为AD2与故答案为：2+

【分析】将△D1A1P沿A1P翻转，使点D1转到的对应点四、解答题17.某地一天的时间x(0⩽x⩽24，单位：时)随气温y(oC)（1）依据图中数据，试求y=Asin（2）该地居民老张因身体不适在家养息 ，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23o【答案】（1）解：依题意可得{A+B=26−A+B=14解得{A=6B=20，又T2=15−3即T=24=2πω，解得ω=π12，所以y=6sin(π12x+φ)+20，又函数过点(3,14)，所以6sin(所以π解得11+24k≤x≤19+24k,k∈Z因为0⩽x⩽24所以11≤x≤19，又19−11=8即老张可在11:00∼19:00外出活动，活动时长最长不超过8小时；【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【分析】（1）利用图像中的最值求解A,B，由周期求解ω，特别点求解φ，即可得到函数解析式；（2）由（1）中的结论，建立三角不等式求解，即可得到答案。

18.已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.（1）BP=12（2）当△CPQ的周长为2时，求∠PAQ的大小.【答案】（1）因为BP=1∴==

（2）设∠CQP=θ,θ∈(0,π2)，∠DAQ=α，∠BAP=β，其中α、β则CP=PQsinθ，CQ=PQcosθ，解得PQ=则tanα=DQDA∴===1+∴α+β=π∴∠PAQ=π【考点】平面对量数量积的运算，两角和与差的正切公式【解析】【分析】（1）因为

BP=12BC,AP→⋅AQ→=AB→⋅AD→+23AB→2+12AD→2+13AD→则

CP=PQsinθ

，

CQ=PQcosθ，由△CPQ

的周长为2得PQ=

19.新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2024年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按[5,10),⋯,[35,40]分组，制成以下频率分布直方图.（1）由所给的频率分布直方图：①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)②记A事务为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为激励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获得小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.【答案】（1）①前两组的频率和是0.012×5+0.040×5=0.26>0.25，所以四分位数在其次组，设四分位数为x，满意0.012×5+(x−10)×0.040=0.25，解得：x=14.75≈14.8，所以估计该接种点市民等待时间的上四分位数是14.8；②[30,40]的频率为0.012×10=0.12，所以P(A)=1−0.12=0.88，

（2）选择1：10次都没有摸到红球的概率P=(所以至少有一次摸到红球的概率P=1−(910选择2：1次没有摸到红球的概率P=C92C102=∵1−(【考点】频率分布直方图，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【解析】【分析】（1）①依据频率分布直方图可得，前两组的频率和是

0.012×5+0.040×5=0.26>0.25

，所以四分位数在其次组，设四分位数为

x

，满意

0.012×5+(x−10)×0.040=0.25

，

解等式，即可得出；

②由

[30,40]

的频率为

0.012×10=0.12

，可得P(A)=1−0.12=0.88

；

（2）选择1：10次都没有摸到红球的概率

P=(910)10

,所以至少有一次摸到红球的概率

P=1−(910)1020.已为a.b.c分别为△ABC三内角A,B,C的对边，且a（1