2022-2023学年苏教版江苏高一数学上学期同步讲义第03讲 对数函数(详解版)

第6章幕函数、指数函数和对数函数

第03讲对数函数

号目标导航

课程标准重难点

1.理解对数函数的概念；

1.了解对数函数的概念

2.掌握对数函数的图象和性质；

2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3.会利用对数型函数的单调性比较大小；

3.对数函数y=logax与指数函数y=(/互为反函数(a>

4.会解对数不等式，会求对数函数的定义

0,且aWl).

域.

4..能够对指数大小进行比较

知识精讲

一、对数函数的概念

1.一般地，函数y=log,H”>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是-

2.对数函数的解析式有何特征？

二、对数函数的图象及性质

1.对数函数的图象及性质

a的范围OVaVla>\

X=1

%=1y=l0glix(a>l)

图象Tc厂

1°Z(1,O)i

7=10^(0<0<1)

定义域—

性值域R

质定点____,即x=l时，y=0

单调性在(0,+8)上是____在(0,+8)上是____

2.反函数

指数函数y="(a>0,且和对数函数y=logd(a>0,且aWl)互为反函数.两者的和—正好互换.

3.底数a的取值与对数函数y=log4(a>0且1)的图象有什么关系？

4.对数函数〉=10&即/>0且aWl)与y=k)g〕x(a>0且aWl)有什么关系？

a

I名师点津I

1.对数函数的图象和性质

(1)讨论对数函数的性质时，若底数”的大小不确定，必须分和0<。<1两种情况进行讨论.

(2)对数函数图象的“记忆”

根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点—1),(1,0),3,1),且图象都在第一、四象限内，

据此可以快速地画出对数函数y=logax(a>0,且a#l)的草图.

(3)在对数函数y=log„x(a>0,且aWl)中，①若0Va<1且0<x<1,或”>1且x>l,则有y>0；②若0

且x>l,或且0<x<l,则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负.有了这

个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了.

2.反函数的性质

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.

运•。运.♦富。.♦运…：<.««莪♦"魂S*.Bg<；"«•*.<

参考答案

一、1.(0,+°0)

2.在对数函数的定义表达式y=log°x(o>0,且“1)中，log°x前边的系数必须是1,自变量x在真数的位置上,

否则就不是对数函数.

二、1.(0,+8)(1,0)减函数增函数

2.定义域值域

3.底数a与！的大小关系决定了对数函数图象的"升降J当a>l时，对数函数的图象"上升"；当0<a<l

时，对数函数的图象"下降

4.在同一坐标系内，y=log°x(a>0且axl)的图象与y=logjx(a>0且"1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.

Q能力拓展

考法01对数函数的概念

判断一个函数是对数函数的方法

对数符号前面的系数为1

(

对

数

同时函

对数的底数是不等于1的正的常数

成立数

一

对数的真数仅有自变量4

指出下列函数哪些是对数函数？

(l)y=31og2X:(2)y=logg

(3)y=k>&5;(4)y=log2%+1.

【跟踪训练】1.函数八^)=(层—〃+1)108“+13是对数函数，则实数〃=,

2.若对数函数兀v)=log〃x的图象过点(2,1),则式8)=.

考法02对数函数的定义域

求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负.

(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

(链接教材P13O例1)求下列函数的定义域:

(l)y=log5(l—%);

ln(4-x)

(2)y=

无一3

⑶尸^A

|X|一X

【跟踪训练】

函数火x)=■-J——+lg(10—X)的定义域为________

Vx-1

考法03对数函数的图象

有关对数型函数图象问题的应用技巧

(1)求函数y=，"+log”/(x)(a>0,且aWI)的图象过定点时，只需令./(x)=1求出x,即得定点为(x,m).

(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的

特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决

此类题目常采用排除法.

(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y=l与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根

据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.

(1)当。＞1时，在同一坐标系中，函数与＞=iogd的图象为()

y\l

~~x~~x

AB

y

t\/tL

上r

cD

(2)已知/U)=k＞助国，满足大-5)=1,试画出函数7U)的图象.

【跟踪训练】1.函数y=logM,y=log成，y=logcX,y=log,优的图象如图所示，则。，b,c,d的大小顺序

是()

A.c<d<\<a<b

C.c<d<\<b<aD.d<c<\<a<b

%

2.函数凡0=—10gM(0<a<l)的图象大致为()

\x\

3.若函数y=loga(x+b)+c(a＞0,且aWl)的图象恒过定点(3,2),则实数4c的值分别为

4.作出函数y=|log2a+1)|的图象.

考法04比较对数值的大小

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增

大画出对数函数的图象，再进行比较.

(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.

(链接教材PI33例3)比较下列各组中两个值的大小：

(l)ln0.3,In2；

(2)log«3.l,log«5.2(tz>0,且a¥l)；

(3)loga0.2,log40.2；

(4)log3兀，log。.

【跟踪训练】1.下列式子中成立的是()

A.logo.44<logo,46B.1.0134>1.0135

C.3.5°-3<3.403D.log76Vlog67

C=,

2.己知a=2-//?=log21,'°§23则()

A.a>b>cB.a>c>h

C.c>b>aD.c>a>b

考法05求解对数不等式

常见对数不等式的2种解法

(1)形如logaX>log看的不等式，借助y=logG的单调性求解，如果a的取值不确定，需分”>1与0<〃<1

两种情况讨论.

(2)形如log环>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=log〃的单调性求解.

解不等式：

(l)log2(2x+3)210g2(5x—6)；

(2)log«(x—4)—loga(2x—1)>0(6/>0且aWl).

【跟踪训练】

1.不等式logi(5+x)<logl(1—x)的解集为.

2.若lo&(3〃一1)恒为正，则。的取值范围为.

高分层提分

题组A基础过关练

1.已知函数“X)为R上的奇函数，当x>()时，/(x)=r^a=0.3-°25,A=k>go.250.3,c=logo,32.5,

则()

A./(fe)</(a)</(c)B./(c)</(/?)</(«)

C./(c)</(«)<./(/?)D.

01

2.若。=lgO.3,h=log32,c=3,则()

A.b<a<cB.c<b<a

c.b<c<aD.a<b<c

3.已知。=log43,b=log53,c=log45,贝|J()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

4.函数y=[logo5(2x-l)]。的定义域为()

A.B.

C.（l，+8）D.

5.设函数则（）

A.是偶函数，且在（1,讨）上单调递增B.是奇函数，且在（-11）上单调递减

C.是偶函数，且在（-8,-1）上单调递增D,是奇函数，且在上单调递减

6.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜.绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进

行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格.农药的安全残留量是其很重要的

一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准.为

了防止一种变异的蛎虫，某农科院研发了一种新的农药"蛎清三号"，经过大量试验，发现该农药的安全残

留量为0.001mg/kg,且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y=ae'的函数关系降解，其中x的单

位为小时，y的单位为mg/kg.该农药的喷洒浓度为2mg/kg,则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量

标准，至少需要（）小时.（参考数据lnl0=2.3）

B.6C.7D.8

7.设/（x）=10g,（」一+1）是奇函数，若函数g（x）图象与函数/（X）图象关于直线y=x对称，则g（x）的

-x+a

值域为（）

C.(V,-2)U(2,E)D.(-2,2)

8.我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理

想状态下，可以用公式v=vln—计算火箭的最大速度口(m/s),其中%(m/s)是喷流相对速度，优(kg)

om

M

是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，一称为〃总质比〃,已知甲型火箭的总质

m

19

比为400,经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的喷流相对速度提高了工，最大

o3

速度增加了900(m/s),则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为()(参考数据：

In2ko.7,In5«1.6)

A.1200m/sB.1500m/sC.I800m/sD.2100m/s

题组B能力提升练

1.函数/(x)=lnS+l)—ln(e*—l),下列说法正确的是()

A./W的定义域为(0,+8)

B./(x)在定义域内单调递增

C.不等式/(加一1)>/(2加)的解集为(-1,+8)

D.函数/(x)的图象关于直线)=》对称

2.为了得到函数y=ln(ex)的图象，可将函数y=lnx的图象()

A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍

B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，

e

C.向上平移一个单位长度

D.向下平移一个单位长度

3.设函数/(x)=ig(G7T+x),则()

A./^>/(log85)B.-/|^-|^</(log85)

C./(log85)>/Q>-(扑/⑶

Inx,x>0((1、、

4.已知函数."，则//一=______.

2,尤<。\JJ

5.已知函数〃x)=log1是R的递减函数，则实数。的取值范围是.

2\7

6.已知函数〃x)=log“(x+l),函数y=g(x)的图象上任意一点p关于原点的对称点Q的轨迹恰好是

函数/(%)的图象.

(1)写出g(x)的解析式：

(2)若a>l,xe［O,l)时，总有/(x)+g(x)Zw成立，求实数m的取值范围.

7.已知函数〃x)=log“x(a>0且awl)的图象过点(9,2).

(1)求a的值.

⑵若g(x)=/(2-x)+/(2+x).

(i)求g(x)的定义域并判断其奇偶性；

(ii)求g(x)的单调递增区间.

8.已知/(x)=logi(f-6x+10)

2

(1)解不等式：/«<-1；

(2)若y=/(x)在区间［a,a+l］上的最小值为—2,求实数a的值.

题组C培优拔尖练

1.设了(X)定义域为R,已知/(X)在［1,+8)上单调递减，/(X+1)是奇函数，则使得不等式

/(Iog2(x—3))+〃log2X)>()成立的X取值范围为.

2.某同学向王老师请教一题：若不等式xYe'-alnxZx+l对任意xe(l,+8)恒成立，求实数。的取值

范围.王老师告诉该同学：“/Nx+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g(x)=x-41nx在(L+oo)有

零点根据王老师的提示，可求得该问题中。的取值范围是.

3.已知函数/(x)=|log3x|的定义域为口,句，值域为［0,H,用含f的表达式表示A—。的最大值记为W),

最小值记为N(t),设g(f)=M«)—NQ).

(1)若f=l,则爪1)=；

(2)当时，也⑺丁+15的取值范围为__________.

g«)+l

4.已知定义在R上的偶函数/(x)满足”l—x)+/(l+x)=O,且当0WXW1时，/(x)=log3(a-x).

(1)a=；

(2)若对于任意xw[T,0],都有/一a-g)2i-]og35,则实数f的取值范围为.

V

5.已知函数/(X)=入+10g2(4+l)(^eR)是偶函数.

(1)求k的值；

(2)若/(x)-6＞()对于任意x恒成立，求实数b的取值范围.

6.若函数/(x)与g(x)对任意芭w。，总存在唯一的々e。，使/(X1)g(X2)=机成立，则称f(x)是g(x)

在区间。上的“〃?阶伴随函数"；当/(x)=g(x)时，则称/(X)为区间。上的“机阶自伴函数”.

(1)判断/(x)=log2(f+l)是否为区间上的"2阶自伴函数"？并说明理由；

(2)若函数/(x)=4i为区间[原目(匕＞。＞0)上的“1阶自伴函数”，求幺*的最小值；

ab

(3)若/(x)=J是8(幻=/-2℃+/一1在区间[(),2]上的"2阶伴随函数"，求实数a的取值范围.

第6章幕函数、指数函数和对数函数

第03讲对数函数

0目标导航

课程标准重难点

1.理解对数函数的概念；

1.了解对数函数的概念

2.掌握对数函数的图象和性质；

2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3.会利用对数型函数的单调性比较大小；

3.对数函数y=logax与指数函数y=(/互为反函数(a>

4.会解对数不等式，会求对数函数的定义

0,且aWl).

域.

4..能够对指数大小进行比较

知识精讲

一、对数函数的概念

1.一般地，函数y=log,H”>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是-

2.对数函数的解析式有何特征？

二、对数函数的图象及性质

1.对数函数的图象及性质

a的范围OVaVla>\

X=1

%=1y=l0glix(a>l)

图象Tc厂

1°Z(1,O)i

7=10^(0<0<1)

定义域—

性值域R

质定点____,即x=l时，y=0

单调性在(0,+8)上是____在(0,+8)上是____

2.反函数

指数函数y="(a>0,且和对数函数y=logd(a>0,且aWl)互为反函数.两者的和—正好互换.

3.底数a的取值与对数函数y=log4(a>0且1)的图象有什么关系？

4.对数函数〉=10&即/>0且aWl)与y=k)g〕x(a>0且aWl)有什么关系？

a

I名师点津I

1.对数函数的图象和性质

(1)讨论对数函数的性质时，若底数”的大小不确定，必须分和0<。<1两种情况进行讨论.

(2)对数函数图象的“记忆”

根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点—1),(1,0),3,1),且图象都在第一、四象限内，

据此可以快速地画出对数函数y=logax(a>0,且a#l)的草图.

(3)在对数函数y=log„x(a>0,且aWl)中，①若0Va<1且0<x<1,或”>1且x>l,则有y>0；②若0

且x>l,或且0<x<l,则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负.有了这

个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了.

2.反函数的性质

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.

运•。运.♦富。.♦运…：<.««莪♦"魂S*.Bg<；"«•*.<

参考答案

一、1.(0,+°0)

2.在对数函数的定义表达式y=log°x(o>0,且“1)中，log°x前边的系数必须是1,自变量x在真数的位置上,

否则就不是对数函数.

二、1.(0,+8)(1,0)减函数增函数

2.定义域值域

3.底数a与！的大小关系决定了对数函数图象的"升降J当a>l时，对数函数的图象"上升"；当0<a<l

时，对数函数的图象"下降

4.在同一坐标系内，y=log°x(a>0且axl)的图象与y=logjx(a>0且"1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.

Q能力拓展

考法01对数函数的概念

判断一个函数是对数函数的方法

对数符号前面的系数为1

(

对

数

同时函

对数的底数是不等于1的正的常数

数

一

对数的真数仅有自变量4

指出下列函数哪些是对数函数？

(l)y=31og2X:(2)y=logg

(3)y=k>&5;(4)y=log2%+1.

【解析】(l)log2X的系数是3,不是1,不是对数函数.

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数.

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数.

(4)对数式log"后又加上1,不是对数函数.

【跟踪训练】1.函数式的=(〃2—。+1)10gsM是对数函数，则实数。=1

【答案】1

【解析】a?—a+1=I,解得。=0或1.

又“+1>0,且“+1W1,：.a=\.

2.若对数函数兀v)=1og〃x的图象过点(2,1),则人8)=.

【答案】3

【解析】依题意知l=log〃2,所以。=2,

所以./U)=logM,

故H8)=k)g28=3.

考法02对数函数的定义域

求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负.

(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

(链接教材P130例1)求下列函数的定义域:

(l)y=log5(l—%);

ln(4-x)

(2)y=

x-3

lg(2+x-x2)

(3)产-------

\x\-x

【解析】(1)要使函数式有意义，需1一人>0,解得XC1,所以函数y=log5(l—x)的定义域为(-8,1).

(2)要使函数式有意义，需<4解得x<4,且xW3,所以函数)，=坦3~1的定义域为(-8,3)U(3,4).

x-3^0,x-3

(3)要使函数有意义，需满足，2+x—x〉°，即《》一“一2<°，解得_]«0,因此函数y=lg(2+r二八)

|x|-x0.[|xx,Ix|-X

的定义域为(一1,0).

【跟踪训练】

函数1x)=.二—+lg(10—x)的定义域为________.

y/x-1

【答案】(1,10)

x-1>0,,、

【解析】由题意可得《解得lVx<10,故定义域为x|1<x<10}.

10-x>0,

考法03对数函数的图象

有关对数型函数图象问题的应用技巧

(1)求函数y=〃z+k)g忒x)(a>0,且a#1)的图象过定点时，只需令_/(x)=l求出x,即得定点为(x,,〃).

(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的

特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决

此类题目常采用排除法.

(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线>=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根

据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.

►⑴当a>l时，在同-坐标系中，函数y="r与y=logax的图象为()

(2)已知_/U)=lo&|x|,满足火-5)=1,试画出函数火x)的图象.

【解析】(l)y=ar=(L>,-：a>\,.-.0<-<1,则)，=1，在(-8,十8)上是减函数，过定点(0,1);对

数函数y=logM在(0,+8)上是增函数，过定点(1,0).故选C.

flog5Mx〉0),

(2)因为穴-5)=1,所以k>g„5=1,即a=5,故y(x)=log5|x|=4'八、

log,(-x)(x<0),

所以函数y=log5|x|的图象如图所示.

【跟踪训练】1.函数y=loga%，y=log叫,y=logd，y=log叫的图象如图所示,则。，b,c,d的大小顺序

是()

A.c<d<\<a<b

C.c<d<\<b<aD.d<c<\<a<b

【答案】A

【解析】在图中作出直线y=l,则l=1ogd]J=k)gH：2j=lOg(]3]=lOg4T4,解得九l=a,X?=b,X3=C,冗4=4

由图可知X2>X]>IX4X3,即c<d<\<a<b,故选A.

2.函数4x)=—log融(0<4<1)的图象大致为()

|x|

【答案】B

X

【解析】在log«x中x>0,；.y=---log^=logox(0<a<1),故选B.

\x\

3.若函数y=log“(x+6)+c(a>0,且aWl)的图象恒过定点(3,2),则实数从c的值分别为.

【答案】-2,2

【解析】•.•函数的图象恒过定点(3,2),

二将(3,2)代入y=log“(x+份+c,得2=log“(3+〃)+<?.

又当a>0,且aWl时，log“l=0恒成立，

：.c=2,3+1=1,.,.h=-2,c=2.

4.作出函数y=|log2(x+l)|的图象.

【解析】第一步：作y=logjx的图象，如图⑴所示.

第二步：将y=log2X的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y=log2(x+1)的图象，如图⑵所示.

第三步：将)，=log2(x+l)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y=|log2(x+l)|的图象，如图(3)所示.

考法04比较对数值的大小

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增

大画出对数函数的图象，再进行比较.

(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.

(链接教材P.33例3)比较下列各组中两个值的大小：

⑴In0.3,In2；

(2)loga3.1,log„5.2(a>0,且访勺)；

(3)log30.2,log40.2；

(4)log3ic>10gli3.

【解析】(1)因为函数y=lnx在(0,+8)上是增函数，且0,3<2,所以ln0.3<ln2.

(2)当“>1时，函数y=1ogoX在(0,+8)上是增函数，

又3.1V5.2,所以log„3.1<Iog"5.2；

当0<〃<1时，函数y=log〃在(0,+8)上是减函数，

又3.1V5.2,所以log“3.1>log“5.2.

综上所述，当”>1时，log«3.1<log«5.2；

当0<a<l时，10go3.1>10go52

(3)因为0>1。勖23>1。散24,所以嬴〈康，

即log30.2<log40.2.

(4)因为函数y=logjx是增函数，且兀>3,

所以log3it>logj3=1.

同理，10gli3,所以log3兀Alog^.

【跟踪训练】L下列式子中成立的是()

A.Iog(),44<logo.46B.1.013.4>].013.5

0303

C.3.5<3.4D.log76<log67

【答案】D

【解析】因为y=logo,4X为减函数,故logo.44>logo.46,故A错；因为y=LOH为增函数，所以1.0134<1.0135,

故B错；由指数函数图象特点知，3.5°3>3.4°J,故C错.

2.己知4=2—；,b=log2g,C=log||,贝|J()

A.a>h>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】V0<tz=2—1<2°=1,/?=log21<log21=0,c=log^|>log1^=1,.故选D.

考法05求解对数不等式

常见对数不等式的2种解法

(1)形如log融>log法的不等式，借助y=log尔的单调性求解，如果。的取值不确定，需分〃>1与0<。<1

两种情况讨论.

(2)形如log“x>b的不等式，应将匕化为以“为底数的对数式的形式，再借助y=log“x的单调性求解.

(l)log2(2r+3)》log2(5x—6)；

(2)loga(x—4)—log„(2x—1)>0(6/>0且"W1).

'2x+3>0,

【解析】(1)原不等式等价于<5x—6>0,

・2r+3》5x—6,

解得,VxW3.

6

-

所以不等式的解集为54W3

(2)原不等式化为log«(x-4)>log«(2A-1).

当^>1时，

工一4>0,

不等式等价于<2x-l>0,无解.

3一4>2x—1,

x-4>0,

当OV4Vl时，不等式等价于｛21一1>0,解得R>4.

X—4<2x—1,

综上可知，当。>1时，解集为0；当OVaVl时，解集为{和>4}.

【跟踪训练】

1.不等式log>(5+x)<log；(1—X)的解集为

【答案】(-2,1)

【解析】因为函数y=log%在(0,+8)上是减画数,

‘5+》>0,

所以解得一2Vxe1.

5+x>1—x,

2.若lo&(3。-1)恒为正，则。的取值范围为

【答案】G，|)u(l,+8)

【解析】由题意知1og〃(3。-l)>0=log“l.

当a>1时，y=logM是增函数，

3a-l>l,2

解得1:

3〃一1>0,3，

当OV〃V1时，y=logd是减函数,

3a—1<1,1212

解得？V"V,V,

3«-1>0,

综上所述，〃的取值范围是(；，|)U(1,+8).

鬲分层提分

题组A基础过关练

1.已知函数/(X)为R上的奇函数，当x>0时，/(x)=T；若a=0.3«25,b=loga250-3,c=log032.5,

则()

A./(&)</(a)</(c)B./(c)</(/?)</(a)

C./(c)</(«)</(/?)D./(«)</(/>)</(c)

【答案】D

【解析】当x〉0时，/(x)=-x,由奇函数的性质知，

f(x)--%,XGR,函数单调递减；

又a=0.3425>i，Z?=log0250.3e(0,1),c=log032.5<0

则a>b>c

由函数单减知，/(«)</(/?)</(c),故选：D

2.若a=lg0.3,b=log32,c=3°/，则()

A.b<a<cB.c<b<a

C.h<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】因为y=lgx在(0,+e)上单调递增，所以lg0.3<lgl,即lg0.3<0；

因为y=log,x在(0,+oo)上单调递增，所以log?1<log32<log33,即0<log,2<1:

因为y=3*在R上单调递增,所以3°<3°在即1<3°」；

因此a<b<c,故选：D

3.已知a=log43,b=log53,c=log$5,贝！)()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【解析】首先0<a<l,0<b<\,

,口,/7IPAuu——

1g41g5lg4lg5Ig4・lg5

c=log45>l,所以匕<a<c.故选:A.

4.函数y=[logo5(2x—1)]。的定义域为()

A.(对B.(")

c.(l,+8)D.(g,l)u(L+°°)

【答案】D

2x—1>01

【解析】要使函数有意义，只需logos(2x-l)w0,即\,11，解得一<x<l或x>l.故选：D.

21wl2

5.设函数/(力=历忖一1|一加忖+1|,则/(x)()

A.是偶函数，且在(1,内)上单调递增B.是奇函数，且在(-1』)上单调递减

C.是偶函数，且在(-8,-1)上单调递增D.是奇函数，且在(-8,-1)上单调递减

【答案】B

【解析】函数/(x)的定义域为{x|x7±l},又/(一力=1!1卜+1|-111归一1|=一/(力，所以/(X)为奇函

数.当尤1)时，〃%)=由合=加(1—匕)，随着x增大，1一2增大，所以/(x)单调递增.

当时，/(x)=In=Inf-1L随着x增大，———1减小，/(x)单调递减.

x+11x+l/x+1

故选:B.

6.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜.绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进

行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格.农药的安全残留量是其很重要的

一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准.为

了防止一种变异的蛤虫，某农科院研发了一种新的农药"蜕清三号"，经过大量试验，发现该农药的安全残

留量为0.001mg/kg,且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y=aei的函数关系降解，其中x的单

位为小时，y的单位为mg/kg.该农药的喷洒浓度为2mg/kg,则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量

标准，至少需要()小时.(参考数据lnl0=2.3)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】由题意知，当x=0时，y=2,

所以2=a・e9解得a=2,

所以y—2ex,

要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e”0.001,

0.001

解得x±-In--------=3lnl0+ln2=3x2.3+ln2=6.9+ln2,

2

因为In[<ln2<lne,即0.5<ln2<l,

所以6.9+ln2W(7.4,7.9),

所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时.

故选：D.

7.设/(X)=10g,(——+1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=X对称，则g(x)的

x+a

值域为()

A.(—,一；)0(；,+°°)B,(—；［)

C.(—00,-2)U(2,+oo)D.(—2,2)

【答案】A

【解析】因为/(x)=10g,(」一+l),

x+a

所以一--1-1="'+”>0可得x<—a—l^c.x>-a,

x+ax+a

所以f(x)的定义域为{x|x<一以—1或x>-a},

因为/(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以一a—l=a,解得。=-,，

2

所以/⑶的定义域为(一00,-；)吗收)，

因为函数g(x)图象与函数.f(x)图象关于直线丁=》对称，

所以g(x)与互为反函数，

故g(x)的值域即为了(X)的定义域(-8,-g)U(g，+8).

故选：A.

8.我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理

M

想状态下，可以用公式v=vln—计算火箭的最大速度u(m/s),其中％(m/s)是喷流相对速度，加(kg)

om

是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，竺称为"总质比”.已知甲型火箭的总质

m

17

比为400,经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的J,喷流相对速度提高了工，最大

速度增加了900(m/s),则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为()(参考数据：

ln2«0.7,ln5«1.6)

A.1200m/sB.1500m/sC.1800m/sD.2100m/s

【答案】C

v=%/〃400

【解析】设改进前的速度为叭则《

v+9OO=(l+-)v/n(-x4OO)

3o8

9002700

•*VQ=~=wl80°,故选：C.

05.,.....4/〃5-7/〃2

一/"50-7/7400

3

题组B能力提升练

1.函