第一章 特殊平行四边形 单元检测2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形单元检测一、单选题1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线平分组对角 D．四个角都是直角2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，以下结论错误的是（）A． B． C． D．3．如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（）A．48° B．66° C．72° D．78°4．如图，已知菱形的周长为8，若，则对角线的长为（）A． B．3 C．4 D．5．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC边的中点则对角线BD上的动点P到E，C两点的距离之和的最小值为（）．A． B． C． D．6．如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，若，，则折痕的长为（）A． B． C． D．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4 C．4 D．288．在四边形中，给出下列四个条件：①四边都相等，有一个内角是直角；②四个内角都相等，有一组邻边相等；③对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直平分且相等；其中能判定这个四边形为正方形的所有条件分别为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④9．如图，已知线段AB，按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交AB于点O，分别连接MA、MB、NA、NB，如果四边形MANB是正方形，需要添加的条件是（）A．AO＝MO B．MA∥NB C．MA＝NB D．AB平分∠MAN10．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（）A． B． C． D．311．如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（）

A．9 B．18 C．12 D．1512．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（）A．14 B．15 C．16 D．17二、填空题13．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是cm；14．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．16．如图，已知，，以，为边作矩形，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点为，则的坐标为，的坐标为．17．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为．三、解答题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．19．已知，如图所示的矩形中，，，将此长方形折叠，使点D与B重合，折痕为，求的长．20．如下图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC.（1）求证：.（2）若，，求的度数.21．如图，已知四边形是正方形，是正方形内一点，以为斜边作直角三角形，又以为直角边作等腰直角三角形，且，连接．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求点到的距离．22．课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角三角形的直角顶点；过点作于点，过点作于点研究图形，不难发现：．（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，C0,−1,A2,0，求点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，将直线绕点顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点Qa,a+2位于第一象限（且在上方）．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出Q点的坐标；若不能，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.故答案为：B.【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断.2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C【解析】【解答】解：如图，作点E关于BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P1．∵BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，∴E1是边AB的中点．∵PE+PC=PE1+PC≥CE1，∴等号在点P与P1重合时成立又∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴CE1=

【分析】此题为“将军饮马”题型，因为四边形ABCD是菱形，故点E关于BD的对称点E1恰好落在AB的中点处，连接CE1与BD的交点就是所求点P处，此时PE+PC=PE1+PC=CE1最小；连接AC，因为∠ABC=60°，且BA=BC，可知△ABC为正三角形，由“三线合一”可知，CE1垂直平分AB，所以CE1=.6．【答案】A7．【答案】C【解析】【解答】∵E，F分别是AB，BC边上的中点，

∴EF=AC，

又∵EF=

∴AC=2，

又∵四边形ABCD是菱形，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=2，AO=，

∴AB==，

∴C菱形ABCD=4.

故答案为：C.【分析】由三角形中位线定理得EF=AC，根据EF的值得AC=2，再由菱形性质得AC⊥BD，根据勾股定理得AB=，再由菱形性质得出其周长.8．【答案】C【解析】【解答】①四边相等的四边形是菱形，有一个内角是直角的菱形是正方形，故符合题意；②四个内角都相等的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，故符合题意；③可得到该四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的是菱形，对角线相等的菱形是正方形，故符合题意；所以正确的有①②④，故答案为：C．【分析】根据正方形的判定定理逐一判断条件是否成立.9．【答案】A【解析】【解答】解：由作图方法得AM=BM=AN=BN，

∴四边形AMBN为菱形，

∴OM=ON，OA=OB，

∴当OA=OM时，可得AB=MN，

∴四边形AMNB为正方形.故答案为：A.【分析】利用作图方法得到AM=BM=AN=BN，从而可判断四边形AMBN为菱形，得到OM=ON，OA=OB，然后当OA=OM时可得对角线相等，根据正方形的判定方法即可求解.10．【答案】C11．【答案】A【解析】【分析】矩形是中心对称图形．根据中心对称图形的性质易知阴影面积是矩形面积的一半．【解答】因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．

因为矩形的面积为18，所以其面积为9．

故选A．【点评】此题主要考查学生对矩形的性质的运用．12．【答案】D【解析】【解答】解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，∵四边形ABDE为正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠BAC=90°，∴∠AEF=∠BAC，在△AEF和△BAC中，，∴△AEF≌△BAC（AAS），∴EF=AC=8，AF=BC=7，在Rt△ECF中，EF=8，FC=FA+AC=8+7=15，根据勾股定理得：．故答案为：D．

【分析】根据正方形的性质以及同角的余角相等，即可得到△AEF≌△BAC，根据全等三角形的性质，根据勾股定理计算得到EC的长度即可。13．【答案】20【解析】【解答】由题意画出图形可知：，∵四边形是菱形∴，，∴在中，∴菱形的周长为：故答案为20

【分析】根据菱形的性质求出菱形的边长，再利用菱形的周长公式计算即可。14．【答案】815．【答案】∠DAB=90°【解析】【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．

【分析】根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，故只需该平行四边形中有一个直角或角平分线相等即AC=BD.16．【答案】；17．【答案】13【解析】【解答】解：在AD上截取DH=EF=1，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H交BC于点E，在EC上截取EF=1，则AE+DF的值最小，

∵DH=EF=1，DH∥EF，

∴四边形EFDH是平行四边形，

∴DF=EH，

由对称性知：AE=A'E，

∴AE+DF=A'E+EH=A'H，即AE+DF的最小值为A'H的长，

∵正方形的边长为6，DH=1，

∴A'A=2AB=12，AH=5，

∴A'H==13，

即得AE+DF的最小值为13，

故答案为：13.【分析】在AD上截取DH=EF=1，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H交BC于点E，在EC上截取EF=1，则AE+DF的值最小，其最小值为A'H的长，利用勾股定理求解即可.18．【答案】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，∴BE2+EF2＝BF2，∴∠BEF＝90°，即△BEF是直角三角形．【解析】【分析】利用正方形的性质和勾股定理先分别求出BE2、EF2、BF2的值，然后利用勾股定理得逆定理判定△BEF的形状即可.19．【答案】长20．【答案】（1）证明：（2）解：设，则

由得，解得

即21．【答案】（1）解：四边形是正方形，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；（2）解：由知≌，

，

又都是的余角，

，

；（3