2022届陕西省高三下学期二模预测数学理试题解析版

2022届陕西省高三下学期二模预测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．且 C． D．【答案】D【分析】分别解一元二次不等式以及分式不等式得集合A，B，再进行并集运算即可.【详解】因为，，所以，故选：D.2．已知复数z满足，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设且，结合共轭复数的概念写出，利用复数相等及乘法运算求出参数a、b，即可得.【详解】令，则，且，所以，则，所以，可得，即，所以.故选：C3．命题，命题，则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过恒能成立问题分别判断命题的真假，结合复合命题的真假性即可得结果.【详解】当时，为假命题，故命题为假，为真；当时，成立，故命题为真命题，为假；所以为假，为假，为真，为假，故选：C.4．若的展开式中的系数为12，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由二项式定理写出展开式通项，根据乘积形式确定含的项，结合其对应系数求出参数m.【详解】由的展开式通项为，含的项包含了和两项，所以含的项为，即，可得.故选：B5．已知是上的奇函数，当时，，则（

）A． B．8 C．6 D．【答案】B【分析】由奇函数的性质可求解.【详解】由奇函数的性质，可得.故选：B6．把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上是减函数，则实数a的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用倍角余弦公式可得，根据函数平移写出的解析式，利用余弦函数的性质求的减区间，结合已知区间求a的最大值即可.【详解】由题设，，则，又上递减，即上递减，由在上是减函数，则，故a的最大值为.故选：A7．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.【详解】若是中点，连接，直三棱柱中且，则为平行四边形，所以，故直线与所成角即为，令，又，则且，则，又，故，又，所以.故选：A8．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.【详解】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；当插入后2个空有种，再把甲插入有种；所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，而六位同学任意安排的方法数为种，所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.故选：B9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（

）A．49 B．7 C． D．【答案】D【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得，根据余弦定理即可求得，结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为，故可得，根据余弦定理可得，故，不妨取中点为，故，故.即边上的中线长为.故选：.10．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选：C.11．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线联立抛物线并应用韦达定理求出、、、关于k的表达式，根据求出k值，即可写出直线方程.【详解】由题设，直线l的斜率存在且不为0，令，联立抛物线并整理得：，则，，所以，，又，综上，，可得，故直线，即.故选：D12．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中m，n为正实数），则的最小值为（

）A．9 B．7 C． D．4【答案】A【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得的值，最后由基本不等式即可得结果.【详解】当时，恒成立，∴在上单调递减，∴，当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调，∴，即，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，由此作出函数的草图如下所示，由函数恰有三个零点可得，即，所以，即的最小值为9，当且仅当，时，等号成立，故选：A.二、填空题13．已知向量与的夹角为，且，，则________．【答案】1【分析】求出，再利用给定等式及向量夹角，结合数量积运算律列式计算作答.【详解】依题意，，则有，由两边平方得：，即，解得：，所以.故答案为：114．已知为锐角，若，则_________．【答案】【分析】由诱导公式可得，再由平方关系求得，最后应用差角余弦公式求目标函数值.【详解】由题设，，即，又为锐角，则，而.故答案为：.15．已知是双曲线C的左右焦点，P为C上一点，，且，则C的离心率为_________．【答案】【分析】由双曲线定义及已知条件可得，再应用余弦定理构造a、c的齐次方程即可求离心率.【详解】由题设，，又，则，而，所以，则，所以，故.故答案为：16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切的球的体积为________________．【答案】【分析】先确定四棱锥外接球的球心，再利用等体积法求球体的半径即可求解问题.【详解】将四棱锥放入如下图所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心为与的交点，因此以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切，其半径为点到平面的距离.由题意可知，此正四棱柱的高，即为等腰直角三角形斜边上的高，此高为，所以由，即，解得，所以此球的体积为.故答案为：三、解答题17．已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)记为数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用等比数列的基本量求得以及，结合已知条件求得，利用等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；（2）根据（1）中所求求得，利用裂项求和法求得，根据其单调性即可容易证明.【详解】(1)设等比数列的公比为，因为，故，解得或（舍），故，，因为，故，又，故数列是公差为的等差数列.(2)因为，故，又是单调增函数，且，又当时，，故，即证.18．随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜欢．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量y（单位：万辆）数据如表所示．年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号x12345销售量y/万辆1718202223参考数据：含，，，．参考公式：相关系数，，，其中为样本平均值，线性回归方程也可写为．(1)根据数据资料，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车销售企业的销售量为多少万辆？【答案】(1)答案见解析；(2)24.8【分析】（1）由参考数据及公式得相关系数，由非常接近1，可得结论；（2）由表中的数据求得：，，及，，得所求y关于x的回归直线方程为，再由由2017年为第1年，则2022年为第6年，将代入线性回归方程中可预计2022年新能源汽车销量.【详解】(1)解：由参考数据及公式得相关系数，显然非常接近1，故y与x有很好的相关关系，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)解：由表中的数据得：，，设y关于x的线性回归方程为，则，而，所以所求的回归直线方程为，由2017年为第1年，则2022年为第6年，将代入线性回归方程中得：，由此预计2022年新能源汽车销量约为24.8万辆.19．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为和的中点，P为棱上的动点．(1)是否存在点P使平面？若存在，求出满足条件时的长度并证明；若不存在，请说明理由；(2)当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小．【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理计算作答.（2）利用（1）中坐标系，借助空间向量计算锐二面角的余弦值，推理判断作答.【详解】(1)在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，因E，F分别为和的中点，P为棱上的动点，则，设，，，显然，，即，由得，此时有，而，且平面，因此，平面，所以存在点P(0,0,2)，使平面，.(2)在（1）的空间直角坐标系中，，令平面的法向量为，则，令，得，而平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，当且仅当时取“=”，因此，当，即时，，，当且仅当时取“=”，所以当，即时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小.20．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2)【分析】（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定的单调性；（2）当时，，当时，参变分离得，构造函数求导得，再构造函数确定单调性后，即可求出实数a的取值范围．【详解】(1)当时，，，易得在上递增，又，故当时，，单调递增；故当时，，单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，不等式恒成立，可得；当时，由恒成立可得恒成立，设，则，可设，可得，设，由，可得恒成立，可得在递增，即在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在上递增，当时，，在递减，所以，所以；综上可得.【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为，再把分子的因式构造成函数，确定后，即得的正负，进而求解.21．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为，且到直线的距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点作l的垂线，垂足为Q，(1)求椭圆C的方程；(2)求面积的最大值．【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）根据已知条件，求得的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）根据题意，设出直线方程，根据其与椭圆相切求得关系，分类讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时求得点的坐标以及其对应的轨迹，结合三角形的面积公式即可求得其最大值.【详解】(1)由四个顶点围成的四边形的面积为可得：，由到直线的距离为可得：，结合可得：，故椭圆方程为：.(2)根据题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，联立椭圆方程可得：，因为直线与椭圆只有一个交点，故，整理得：.又因为与直线垂直，故当斜率不存在时，已知点，故的面积；当其直线斜率存在时，斜率为，又其过点，故直线的方程为：，联立可得：，，故点的坐标为，此时有，故点的轨迹是以以原点为圆心，半径为2的圆，则，故的面积；综上所述，面积的最大值为.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的范围问题，其中解决第二问的关键是求得点的轨迹方程，属综合困难题.22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t是参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求l的极坐标方程和C的直角坐标方程；(2)若l与C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）将直线l的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解作答.（2）由（1）的结论，联立直线l与曲线C的极坐标方程，求出点A，B的极径即可计算作答.【详解】(1)消去直线l参数方程中的参数t得：，显然