2-2直线的方程解析版-2022-2023学年高二数学新教材题型能力素养练人教A版2019选择

2.2直线的方程一维练基础一维练基础题型一：直线的点斜式方程1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据倾斜角的定义确定直线的倾斜角.【详解】因为直线过点，且垂直与轴，所以直线的倾斜角为，故选：C.2．在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【点拨】根据题意求直线的方程，由方程判断直线不经过第一象限，也可以直接作图判断．【详解】∵直线的倾斜角为，则直线的斜率∴直线的方程：即直线不经过第一象限．故选：A．3．过点且平行于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【点拨】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A4．直线的倾斜角为（

）A． B．C． D．【答案】B【点拨】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】解：由题知直线的斜率为，由于直线的倾斜角为.故选：B5．方程表示的直线可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【点拨】直接判断出直线经过点，对照四个选项，即可求解.【详解】因为，所以，代入直线方程，可得，即．所以直线过点，故选：B．题型二：直线的两点式方程1．若直线过点和点，则该直线的方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】解：（法一）因为直线过点和点，所以直线的方程为，整理得；（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得；故选：A．2．经过，两点的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【详解】由两点式直线方程可得：化简得：故选：C3．过两点，的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【点拨】根据直线方程的两点式,即可求得答案.【详解】根据直线方程的两点式将两点,代入可得:整理可得:过两点,的直线方程为:故选:A.4．已知，则△的边上的中线所在的直线方程为A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意边的中点为，∴中线方程为，整理得．故选：C．5．过点和点的直线的两点式方程是A． B． C． D．【答案】B【点拨】设，，当，时，直线的两点式方程为，将点和点代入即可得解.【详解】解：因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得：所求直线方程为.故选B.题型三：直线的截距式方程1．过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【点拨】分类讨论，截距相等且不过原点有一条，截距相反有一条，过原点有一条.【详解】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.故选：C．2．若直线过第一､三､四象限，则（

）A． B． C． D．【答案】B【点拨】根据直线截距式，结合直线所过的象限，判断坐标轴截距的符号即可.【详解】∵直线过点第一､三､四象限，∴它在轴上的截距为正，在轴上的截距为负，即.故选：B3．直线在两坐标轴上的截距之和是（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【点拨】本题先直接求两坐标轴上的截距，再求截距之和即可解题.【详解】解：由，令可得，令可得，故在两坐标轴上的截距之和是.故选：D.4．直线在x轴，y轴上的截距分别为()A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3【答案】D【点拨】分别令等于0，即可求出结果.【详解】因为，当时，，即在轴上的截距为；当时，，即在轴上的截距为；故选D5．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是A． B．C． D．【答案】B【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.题型四：直线的一般式方程1．如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【点拨】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.2．直线的斜率为，在y轴上的截距为b，则有（）A． B．C． D．【答案】A【点拨】将直线方程化为斜截式，由此求得正确答案.【详解】，所以.故选：A3．在平面直角坐标系中，直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【点拨】将直线转化成斜截式方程，即得得出斜率.【详解】解：由题得，原式可化为，斜率.故选：A.4．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【点拨】根据倾斜角和斜率的关系求解.【详解】由已知得，故直线斜率由于倾斜的范围是，则倾斜角为.故选：B.5．直线的倾斜角为（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【点拨】根据直线的一般式求得直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.【详解】设直线的倾斜角为，由，又，所以．故选：A.二维练能力二维练能力1．若方程表示定直线l，为不在l上的定点，则方程一定是（

）A．过点M且与直线l相交的直线 B．过点M且与直线l平行的直线C．过点M且与直线l垂直的直线 D．以上均不对【答案】B【点拨】根据两直线的方程即得.【详解】因为为不在l上的定点，∴，又，方程表示定直线l，所以方程一定是过点M且与直线l平行的直线.故选：B.2．已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【点拨】先求出，进而得到，再由点斜式写出直线方程即可.【详解】由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即.故选：D.3．已知直线：和直线：互相垂直，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【点拨】利用两直线垂直的充要条件即得.【详解】∵直线：和直线：互相垂直，∴，即.故选：B.4．已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（

）A． B．C． D．【答案】D【点拨】分倾斜角和两种情况讨论，利用点斜式即可求解.【详解】解：当倾斜角时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，此时选项A，B，C没有意义，选项D符合题意；当倾斜角时，直线l的斜率为，所以由点斜式有直线l的方程为，即；综上，直线l的方程为，故选：D.5．直线过点且与点的距离最远，那么的方程为______．【答案】【点拨】当时，点B到直线l距离最远，求得l的斜率，利用点斜式表达l即可.【详解】直线过点且与点的距离最远，则直线与直线AB垂直，直线的斜率为：，直线的方程为，即．故答案为：.6．若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.【答案】【点拨】设直线的截距式为，即可得到，解得即可.【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为，∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，∴，解得，或，或，所以直线的条数为条．故答案为：7．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．【答案】【点拨】由点斜式求得方程，化为一般式即可.【详解】由题知，直线斜率为，则直线点斜式方程为：故答案为：8．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．【答案】【点拨】通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.【详解】设直线l的斜率为，因为直线l过，所以直线方程为，由，由，由题意可知：是截得的线段的中点，所以，即，故答案为：9．根据所给条件求直线方程.(1)直线过点，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；(3)直线过点，.【答案】(1)或(2)或(3)【点拨】（1）利用点斜式方程可得答案；（2）利用截距式方程可得答案；（3）先求出斜率再用点斜式方程可得答案.【详解】(1)，，则直线方程为，即或.(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为，可设直线方程为，代入点，可得，解得或，所以所求直线方程为或，即所求直线方程为或.(3)直线斜率，则所求直线方程为，整理得.10．已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【答案】(1)证明见解析(2)【点拨】（1）列出方程，分别令，可求出定点；（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.【详解】(1)证明：原方程整理得：．由，可得，不论为何值，直线必过定点(2)解：设直线的方程为．令令．．当且仅当，即时，三角形面积最小．则的方程为．三维练素养三维练素养1．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【点拨】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有，解得，因此，，因当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选：D2．直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（

）A．与相交 B．与平行C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关【答案】B【点拨】根据直线平行的充要条件判定即可.【详解】由：，可得，因为且，所以与平行故选：B3．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【点拨】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案.【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线方程为，，所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为所以面积为，即，所以或,解方程，即，解得，解方程，即，解得所以这样的直线有3条.故选：C4．（多选题）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（

）A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点【答案】BD【点拨】对A，令即可判断正误；对B，化简直线方程，根据定点满足的系数为0，且满足方程即可；对C，令即可判断正误；对D，根据B可得过定点判断即可【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；对B，，解可得，故过定点，故B正确；对C，当时，，显然与重合，故C错误；对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确；故选：BD5．已知直线，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【点拨】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；对于选项B，通过斜率相等可以求解；对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.【详解】直线，则，由，得，所以恒过定点，所以A错误；由可得：，所以，B正确；由可得：，，所以C错误；由，当时，，不过第三象限；当时，，不过第三象限，只需要，解得，所以的取值范围为，所以D正确；故选：BD.6．下列说法正确的是（

）A．直线一定经过第一象限B．经过点，倾斜角为的直线方程为C．经过两点，的直线方程为D．截距相等的直线都可以用方程表示【答案】AC【点拨】求出直线过的定点可判断A；当时可判断B；由直线的点斜式方程以及斜率公式可判断C；当横纵截距都等于时可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由可得，由可得，所以该直线恒过定点，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；对于B：当时，直线的斜率不存在，所以不能写成的形式，故选项B不正确；对于C：因为，所以过点，两点的直线斜率为，所以直线的方程为，故选项C正确；对于D：当直线的横纵截距都等于时，直线的方程为，不可以用方程表示，故选项D不正确；故选：AC.7．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________．【答案】【点拨】先求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：8．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.【答案】【点拨】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.【详解】∵直线，∴，由，得，∴直线恒过定点，可设直线方程为，则，，又，即，当且仅当时取等号，∴，当面积最小时，直线的方程为，即.故答案为：.9．已知直线均过点P(1，2).(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.【答案】(1)(2)【点拨】（1）易得，由，得到，写出直线的方程；（2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解.【详解】(1)解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)，所以，因为，所以，则直线的方程，即；(2)如图所示：由题意得：直