2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一下学期期末数学试题解析版

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat15页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一下学期期末数学试题一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，即，解得或，即或由即，所以，解得，所以，所以故选：C2．的共轭复数的虚部为（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出，则答案可求．【详解】解：，所以，故其虚部为，故选：A3．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出的范围即可求解.【详解】因为，，，所以，故选：D.4．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么.A．3 B．-3 C． D．【答案】D【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】解析：.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.5．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】B【分析】根据线面垂直的判定定理，平行传递性等依次判断选项中的线面、线线的位置关系即可.【详解】根据线面垂直的判定定理，要使，则，必须相交，故A错误；由，可知，又，所以，故B正确；由，可知，结合得，故C错误；由，可知，又，则，可能平行、相交或异面，故D错误．故选：B6．已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，直接代入求函数值即可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【详解】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故③错误．故选：．7．已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为A． B． C．6 D．【答案】B【分析】将所求表示转化为，由于乘以1不变，故原式可化为，将其整理化简后由基本不等式求得最小值即可.【详解】由题可知，（当且仅当时取等号）所以x＋y的最小值为故选：B【点睛】本题考查由基本不等式求和的最小值，属于中档题.8．在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先用基底，表示，再利用向量数量积公式表示，利用的范围求数量积的取值范围.【详解】因为在平行四边形中，，，，，所以.因为是边的中点，所以.又点在边上，设（），则，所以.又，所以，故的取值范围是.故选:B.【点睛】关键点点睛：本题关键点是对动点引入参数，设（），这样所求数量积就可表示为关于的函数，进而求得其范围.二、多选题9．下列说法正确的是（）A．已知，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件B．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C．若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D．在中，是的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据圆台的定义判断B，根据面面垂直的性质定理判断C，根据正弦定理判断D；【详解】解：对于．若与为非零向量，则“”与的夹角为锐角或为0，所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，因此A正确；对于B：只有用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故B错误；对于C：若点恰好在交线上，则不一定垂直于另一个平面，当且仅当点不在交线上时，根据面面垂直的性质定理，才可得得到垂线垂直于另一个平面，故C错误；对于D：根据三角形的性质，大角对大边可知，当，则，由正弦定理可得，所以，若，则，所以，所以，故是的充要条件，故D正确；故选：AD10．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（）A．为偶函数 B．在上单调递减C．关于对称 D．【答案】ACD【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可；【详解】解：对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称所以，又，所以所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；对于B：因为，所以，即所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；对于D：，又时，，所以，故D正确；故选：ACD11．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8【答案】ABD【分析】根据题意举例判断即可【详解】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确；对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误；对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为，方差为，所以可以出现点6，所以D正确，故选：ABD12．如图，正方体的棱长为2，则下列四个命题正确的是（）A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱外接球表面积为【答案】BC【分析】根据线面角的定义和求法，可判定A不正确；连接，设与交于点，可得证得平面，得到即为点到面的距离，可判定B正确；根据异面直线所成角的求法，可判定C正确；根据正方体的性质，求得外接球的半径，可判定D不正确.【详解】由题意，正方体的棱长为2，对于A中，连接，设与交于点，因为，可得证得平面，所以即为直线与平面所成的角，且，所以A不正确；对于B中，连接，设与交于点，可得证得平面，即即为点到面的距离，可得，即点到面的距离为，所以B正确；对于C中，在正方体中，连接，可得，所以两条异面直线和所成的角，即为相交直线与所成的角，又因为为等边三角形，可得，即两条异面直线和所成的角为，所以C正确；对于D中，三棱柱外接球与正方体的外接球为同一个球，由正方体的性质，可得外接球的半径为，所以外接球的表面积为，所以D不正确.故选：BC.三、填空题13．已知，，且，则的坐标为______．【答案】或【分析】设向量，利用向量的模和共线条件，列出方程组，即可求解.【详解】设向量，因为，，且，可得，即，解得或，即向量的坐标为或.故答案为：或.14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的表面积为______．【答案】【分析】由题意，设圆锥的高为，根据圆锥的底面半径为6，其体积为求出，再求得母线的长度，然后确定圆锥的表面积即可．【详解】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为，设圆锥的高为，则，解得，所以圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积，圆锥的底面积．所以圆锥的表面积．故答案为：．15．已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为______．【答案】【分析】根据三角函数的定义得到，再由正切的倍角公式和两角和的正切公式，即可求解.【详解】由题意，角的终边过点，根据三角函数的定义，可得，则，又由.故答案为：.16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．【答案】.【分析】利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、解答题17．在复平面内，复数（其中．（1）若复数为纯虚数，求的值：（2）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【详解】解：复数，实部为，虚部为；（1）因为复数为纯虚数，所以，所以（2）因为对应的点在第四象限，所以解不等式组得，，即的取值范围是．18．已知向量，，若与的夹角为．（1）求；（2）向量与互相垂直，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先求出，再根据计算可得；（2）依题意可得，根据平面向量数量积的运算律计算可得；【详解】（1）因为，，与的夹角为．所以所以（2）因为向量与互相垂直，所以，所以所以，19．已知、、是中，，的对边，，，．（1）求：（2）求的值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）首先由余弦定理求出，再利用二倍角公式计算可得；【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，或，负值舍去．（2）由已知，得20．新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在的居民有900人．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数：（2）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？【答案】（1），1500人；（2）该区防疫工作不需要进行大调整．【分析】(1)根据题意，结合频率分布直方图中的频率之和为1和频率的计算公式即可求解；(2)根据题意，计算出满意程度的平均分，即可求解.【详解】(1)由频率分布直方图知，即，解得，设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为1500人.(2)由频率分布直方图知各段的频率分别为：、、、、、，所以，所以该区防疫工作不需要进行大调整.21．已知函数的最大值为1，（1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使成立的x的取值集合.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解成立的的取值集合．【详解】（1）由题意：函数，化简得：，的最大值为1，，解得：．（2）由（1）可知．根据三角函数的性质可得：，．即，解得：，，的单调递减区间为；（3）由题意：，即，可得：．，．解得：．成立的的取值范围是．【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．22．如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）设与交于E，连接DE，则DE为的中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，由题意可得，根据线面垂直的判定及性质定理可证，所以平面，所以为直线与平面所成平面角，根据题中长度，即可求得答案；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，又，所以即为二面角所成的平面角，根据题中长度，即可求得答案；【详解】（Ⅰ）证明：设