2-1-3方程组的解集-2022-2023学年高一数学上学期知识梳理考点精讲精练人教B版2019必

第二章等式与不等式2.1等式2.1.3方程组的解集知识梳理1．方程组的解集：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为{(x,y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数．常见考点考点一方程组的解集典例1．方程组的解集为_________.【答案】【分析】利用加减消元法求得方程组的解集.【详解】依题意，两式相加得，所以方程组的解集为.故答案为：变式1-1．方程组的解集为___________.【答案】【分析】解二元一次方程组即可求解.【详解】由①②，可得，解得，所以不等式组的解集为.故答案为：变式1-2．求方程组的解集（1）&x+2y=1&2x-y=2（【答案】（1）;（2）【分析】（1）先解方程组，再写出集合形式;（2）先解方程组，再写出集合形式.【详解】（1）∵所以方程组解集为;（2）∵&x+y=0&所以方程组解集为;【点睛】本题考查解方程组、列举法表示集合，考查基本分析求解能力，属基础题.变式1-3．求下列方程组的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）中由第一个式子可得代入第二个、第三个式子，再作差求解即可；（2）中由第一个式子可得代入第二个式子求解即可；（3）由第一个式子可得代入第二个式子求解即可.【详解】（1）由第一个式子可得代入第二个、第三个式子可得：，两个式子作差可得代入可得故方程组的解集为（2）由第一个式子可得代入第二个式子可得解得代入，可得故方程组的解集为（3）由第一个式子可得代入第二个式子可得即解得代入可得故方程组的解集为考点二利用方程组的解集求参数例2．若关于，的方程组的解集为，则（）A．4 B．-4 C．6 D．-6【答案】D【分析】由题可得，即得.【详解】∵关于，的方程组的解集为，∴，解得，，∴.故选：D.变式2-1．设．若关于x与y的二元一次方程组的解集为，则______．【答案】【分析】根据题意得到的解集为空集，得出，即可求解.【详解】由二元一次方程组，可得，因为由题意，二元一次方程组的解集为，所以，即.故答案为：.变式2-2．若关于，的方程组与的解集相等，则______.【答案】【分析】由题可知方程组，代入即求.【详解】∵方程组与的解集相同，∴方程组的解也是它们的解，由得，∴即，∴.故答案为：变式2-3．已知，满足方程组且，则______.【答案】或0【分析】由题得，代入方程组，解方程组即得.【详解】∵，∴代入得，消去得，，∴或.故答案为：或0.考点三方程组解决实际应用问题例3．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元【答案】D【分析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8x＝a－32，由此得解.【详解】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则，两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选：D.变式3-1．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，即可列出两个方程，即可得答案.【详解】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程，列方程组为故选：C【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用.找出本题中的等量关系是解题的关键，属于基础题.变式3-2．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由题意建立方程即可.【详解】设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，属于基础题.变式3-3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________.【答案】【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题目所给条件列出方程组.【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：故答案为：【点睛】本小题主要考查根据实际问题列方程组，属于基础题.巩固练习练习一方程组的解集1．方程组的解集是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】解方程组求得，根据解集为点集可得结果.【详解】由得：，方程组的解集为.故选：C.2．方程组的解集是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程组，再将方程组的解用集合表示.【详解】由，解得，所以方程组的解集是，故选：D3．方程组的解集的是（）A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}【答案】A【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解【详解】由题意将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得：代入第一个式子，可得故方程组的解集为：{(1，－2，3)}故选：A4．若，则（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】消元可得二元方程组，再消元可得的值.【详解】由方程组，①②得，代入③得，再代入①得，即原方程组得解为:或，故选:C【点睛】代入消元是解方程组得基本方法，此题为基础题.练习二利用方程组的解集求参数5．若关于，的方程组的解集为，则______.【答案】【分析】利用方程组的解集，构建关于的方程组，解之即可.【详解】∵方程组的解集为，∴，∴，故答案为：6．已知方程组的解也是方程的解，则的值为________．【答案】.【分析】先解出原方程组的解，然后代入中解得.【详解】由原方程组可得：，即，则，解得.把代入得,.故原方程组的解是代入，得，解得.【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，考查学生利用加减消元法解方程组的能力，较简单.7．已知关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为________．【答案】【分析】由解出的值，代入中，得出，即可得出的值.【详解】因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①②解方程组①，得代入方程组②，得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了由方程组的解求参数的值，属于中档题.8．已知是方程组的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】【分析】将代入方程组求得，从而得到二元二次方程组，利用代入消元法可求得结果.【详解】将代入方程组中得：即原方程组化为：由得：将代入方程中可得：，即解得：或，将代入中可得：方程组的另一组解为：【点睛】本题考查根据二元二次方程组的求解问题；关键是能够将方程组的一组解代入方程组中，从而求得参数的值.练习三方程组解决实际应用问题9．“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）.其每件产品的成本和售价信息如下表：成本（单位：万元/件）24售价（单位：万元/件）57问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【答案】产品160件，产品180件.【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件，依题意列出方程组，解得即可；【详解】解：设，两种产品的销售件数分别为件、件；由题意得：，解得：；答：,两种产品的销售件数分别为160件、180件.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，属于基础题.10．某商场计划购进、两种型号的手机，已知每部型号手机的进价比每部型号手机进价多元，每部型号手机的售价是元，每部型号手机的售价是元，若商场用元共购进型号手机部，型号手机部，求、两种型号的手机每部进价分别是多少元.【答案】型手机每部进价为元，型手机每部进价为元.【分析】设、两种型号的手机每部进价分别是元、元，根据题意列出关于、的方程组，解出即可.【详解】设、两种型号的手机每部进价分别是元、元，根据题意得，化简得，两式相减得，解得，则，答：、两种型号的手机每部进价分别是元、元.【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是______，物价是______（钱）．【答案】【分析】设人数为，物价是（钱），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解.【详解】设人数为，物价是