2021-2022学年新教材苏教版选择性必修第一册-5.2.2-函数的和差积商的导数-学案

5．函数的和、差、积、商的导数新课程标准解读核心素养能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么，求简单函数的导数数学运算f(x)＝x，g(x)＝eq\f(1,x).Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)．[问题](1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？(2)试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．知识点函数的和、差、积、商的求导法那么1．条件：f(x)，g(x)是可导的．2．结论：(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)；(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f〔x〕,g〔x〕)))eq\s\up12(′)＝eq\f(f′〔x〕g〔x〕－f〔x〕g′〔x〕,g2〔x〕)(g(x)≠0)．eq\a\vs4\al()应用导数公式的考前须知(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)；(2)两个函数可导，那么它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)；②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)·v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．(3)假设两个函数不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导；(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2xC．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinx答案：B2．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．答案：－xsinx3．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在x＝1处的导数是________．解析：因为f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(′)＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(′)＝1－eq\f(1,x2)，所以f′(1)＝1－1＝0.答案：0利用函数的和、差、积、商的求导法那么求导[例1](链接教科书第190页例2，例3)求以下函数的导数：(1)f(x)＝x2＋log3x；(2)f(x)＝x3·ex；(3)f(x)＝eq\f(cosx,x).[解](1)f′(x)＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)f′(x)＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(〔cosx〕′·x－cosx·〔x〕′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).eq\a\vs4\al()利用导数运算法那么的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法那么，每一局部式子是由哪种根本初等函数组合成的，确定求导法那么，根本公式；(2)如果求导式比拟复杂，那么需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；(3)利用导数运算法那么求导的原那么是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法那么求导的，尽量少用积、商的求导法那么求导．[跟踪训练]求以下函数的导数：(1)f(x)＝sinx－2x2；(2)f(x)＝cosx·lnx；(3)f(x)＝eq\f(ex,sinx).解：(1)f′(x)＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)f′(x)＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋eq\f(cosx,x).(3)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,sinx)))′＝eq\f(〔ex〕′·sinx－ex·〔sinx〕′,sin2x)＝eq\f(ex·sinx－ex·cosx,sin2x)＝eq\f(ex〔sinx－cosx〕,sin2x).与切线有关的综合问题[例2]直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．[解]∵y′＝2x＋1，∴直线l1在点(1，0)处的斜率为2×1＋1＝3，由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，那么曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－eq\f(1,3)，即b＝－eq\f(2,3)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(20,9)))，故直线l2的方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).[母题探究](变设问)假设本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．解：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)，))∴直线l1和l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0))，故所求三角形的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)))))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝eq\f(125,12).eq\a\vs4\al()导数应用主要有：求在某点处的切线方程，切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．解决此类问题的方法为先求出函数的导数，假设切点那么求出切线斜率、切线方程；假设切点未知，那么先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[跟踪训练]1．假设存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，那么a的值为()A．－1或－eq\f(25,64) B．－1或eq\f(21,4)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64) D．－eq\f(7,4)或7解析：选A设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，xeq\o\al(3,0))，那么切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).当x0＝0时，直线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64).当x0＝eq\f(3,2)时，直线方程为y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4).由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1.2．函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．(1)求f(1)＋f′(1)；(2)假设曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0).利用函数的导数求参数[例3](1)(2021·全国卷Ⅲ)曲线y＝f(x)＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，那么()A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1(2)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图，那么函数f(x)的解析式为________________．[解析](1)y′＝f′(x)＝aex＋lnx＋1，k＝f′(1)＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))即a＝e－1，bD.(2)因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0，,12a＋4b＋c＝0，,a＋b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－9，,c＝12.))故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.[答案](1)D(2)f(x)＝2x3－9x2＋12xeq\a\vs4\al()利用导数求参数的常见题型利用导数求参数，常涉及(1)曲线的切线(导数的几何意义)求参问题；(2)导函数的图象求原函数问题(或某点处的函数值)，这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程(组)求解参数．特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响．[跟踪训练]如图有一个图象是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，那么f(－1)＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析：选Bf′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)]·[x＋(a－1)]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图③知f′(0)＝0，由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－〔a＋1〕－〔a－1〕>0，,〔a＋1〕〔a－1〕＝0，))解得a＝－f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).1．函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，那么a的值为()A．1 B.eq\r(2)C．－1 D．0解析：选A∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2.物体的运动方程为s(t)＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，那么物体在时刻t＝2时的速度为()A.eq\f(19,4) B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4) D.eq\f(13,4)解析：选D∵s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′(2)＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).3．求以下函数的导数：(1)f(x)＝(x－2)(x2＋2x＋4)；(2)f(