2021-2022学年河北省石家庄市十五中高二下学期期中数学试题解析版

2021-2022学年河北省石家庄市十五中高二下学期期中数学试题一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.【详解】∵∴，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.2．若的展开式中的常数项为－20，则a=（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，可得展开式的常数项为：，解得：.故选：D.3．已知高三5班男、女同学人数相同，有5％的男同学和0.25％的女同学患色盲，现随机选一名同学，这位同学恰好患色盲的概率是（

）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02625 D．0.02865【答案】C【分析】利用全概率公式可求解.【详解】用事件表示“随机选一名同学是男生”，用事件表示“随机选一名同学是女生”，用事件B表示“这位同学恰好患色盲”，则，且，互斥，由题意知，％，％，由全概率公式得％％＝0.02625．故选:C．4．已知三棱锥，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为(

)A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】第1步和最后一步位置都是A，中间两步位置可从B、C、D三个点中选两个排列即可.【详解】可以看成先后顺序为1、2、3、4的四个座位，第1和第4个座位都是A，第2和第3两个座位从B、C、D三个字母选两个进行排列，共种排法.故选：B.5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.6．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．180【答案】B【分析】不同的安排方式分成两类，再求出每一类中的安排方式即可作答.【详解】不同的安排方式有两类办法，有3人参加接种工作的安排方式有种，有2人参加接种工作的安排方式有种，由分类加法计数原理得不同的安排方式有：种.故选：B.7．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（

）A．72种 B．36种 C．12种 D．60种【答案】A【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计故选：A．8．函数，的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】C【分析】根据题意设，根据和得到，结合导数知识求解即可.【详解】设，则所以，，所以，令，得，此时单调递减，令，得，此时单调递增，所以，则，则.故选：C二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A正确；PBA由全概率公式可知：所以BC错误，D正确.故选：AD10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（

）A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有种，D不正确.故选：BC11．函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为的零点 B．2为的极小值点C．在上单调递减 D．是的最小值【答案】BC【分析】根据导数的图象可判断出函数的单调性，即可判断出每个选项的正误.【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，且2为的极小值点，所以选项B和C均正确；是的零点，但不一定是的零点，即A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，即D错误.故选：BC.【点睛】本题考查由导数图象解决函数性质问题，属于基础题.12．已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为C．的极小值为 D．方程有两个不同的解【答案】AB【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断.【详解】解：对于A，由（），得，所以，，所以在处的切线方程为，所以A正确；对于B，由，得，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确；对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C不正确；对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，，所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D不正确，故选：AB.三、填空题13．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）【答案】144【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.故答案为：144.14．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】利用导数研究单调性，根据函数有极值求出实数a的取值范围.【详解】函数定义域为R，.令，则.当时，有，，即恒成立，所以在R上单增，无极值；当时，有，有两个根（不妨设），令解得：；令解得：，所以在上单增，在上单减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.故实数a的取值范围是.故答案为：15．的展开式中，常数项为___________.【答案】16【分析】结合二项式展开式的通项公式求得常数项，【详解】的展开式中，常数项为.故答案为：16．函数的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.四、解答题17．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市场占有率50％30％20％优质率95％90％70％在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．【答案】【分析】用事件、、分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，事件表示“买到的是优质品”，分别计算，，，则.【详解】用事件、、分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，事件表示“买到的是优质品”，则，且，，两两互斥，依据已知可得，，，且，，，因此，由全概率公式得．18．已知（n为正整数）.(1)若，求n的值；(2)若，，，求和的值（结果用指数幂的形式表示）.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由列方程可求出n的值，（2）分别令，求出，，进而可求出的值，【详解】(1)二项式展开式的通项公式为，则，因为，所以，化简得，，得或（舍去），(2)当时，，令，得，令，得，因为，，所以，，所以，19．已知函数在时有极值0.(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.【详解】(1)由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.所以常数a，b的值分别为.所以.(2)由（1）可知，，令，解得，当或时，当时，，的递增区间是和，单调递减区间为，当有极大值，当有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得.20．用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的(1)无重复数字的三位数？(2)小于500且没有重复数字的自然数？【答案】(1)648(2)379【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案.（2）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案.【详解】(1)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．(2)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．21．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所