计量经济学第3章-多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型第一节二元线性回归模型第二节一般线性回归模型第三节非线性模型回归第四节偏相关第五节方差分析第六节几种常用的F检验第六节虚拟变量模型第七节案例分析1本课件的所有权属于熊义杰3.1.1正规方程及回归参数假定模型为同时假定不存在多重共线性（或不完全共线），即自变量虽互相影响，但相关系数不等于1样本方程为要使最小其中需使§3.1二元线性回归模型2整理后得到：由方程1得：（3－2）3本课件的所有权属于熊义杰证明（3－4）应有这也就是离差正规方程4根据离差正规方程应有（3－5）5本课件的所有权属于熊义杰

3.1.2多重可决系数

在二元模型中，可决系数表示由回归平面解释的Y的总变差的百分比，如图3－1所示。

定义

因为：

(两项均为0)（参3－4）6本课件的所有权属于熊义杰3.1.3的均值与方差

均值

方差7本课件的所有权属于熊义杰的方差证明（参3－5）8本课件的所有权属于熊义杰（参3－5）9本课件的所有权属于熊义杰3.2.1正规方程的推广

总体方程

样本方程

根据

应有

同时依据

即可得到观测值正规方程和离差正规方程分别为：3.2一般线性回归模型注意：必须成立k<(n-1)10本课件的所有权属于熊义杰观测值正规方程：离差正规方程：11本课件的所有权属于熊义杰3.2.2可决系数的推广12本课件的所有权属于熊义杰调整的可决系数：证明其中：n－样本容量

k－解释变量数目13本课件的所有权属于熊义杰

其中，

是离差正规方程中系数矩阵主对角线上第j个元素的子行列式。如二元模型中3.2.3回归参数方差公式的推广在一元中在二元中在多元中14本课件的所有权属于熊义杰3.3.1具有常弹性的曲线函数三方面的优越特性：（1）当其中任何一个自变量为0时，依变量就为0，因而常用来研究必要生产因素与产出的关系。（2）分别表示了产出变化对相应投入的弹性（系数）弹性=边际值/平均值

3.3非线性模型回归15本课件的所有权属于熊义杰（3）反映产出变化的规模报酬当时，Y为递增规模报酬当时，Y为不变规模报酬当时，Y为递减规模报酬16本课件的所有权属于熊义杰其中

e为自然对数的底（e=2.718）参数估计令对此二元线性模型应用最小平方方法即可17本课件的所有权属于熊义杰在抛物线中,当时,有当K=3时，3.3.2抛物线型及其它k阶多项式(假定X为必要生产因素)

在现实的经济生活中，抛物线型的经济关系很多，如变动资源的投入与产出的关系，“浴盆定律”等等。假定：18本课件的所有权属于熊义杰在估计参数时，对于k阶多项式：在一般情况下，具体可参考下页的附图。19本课件的所有权属于熊义杰生产函数三阶段示意图20本课件的所有权属于熊义杰3.3.3指数曲线及变种函数在这里，B可看作Y的发展速度，不难看出Yt/Yt-1=B。即B＝（ABt）/(ABt-1)而b可近似地看作是Y的增长速度（因为b＝lnB）。指数曲线常用来描述生长情况。估计参数时两端同时取对数即可。两端取对数后即：即：y＝a＋bt21本课件的所有权属于熊义杰指数曲线的变种函数除了用来反映某些经济变量的变化趋势外，也还可用来考察商品的寿命周期，一般可以将考察的对象分为：引入期（或成长期）、成熟期、衰退期和消亡期。指数曲线的变种函数即其曲线图分两种形式22本课件的所有权属于熊义杰参数估计可采用分组累加法根据应有于是同时可得到23本课件的所有权属于熊义杰3.4偏相关

3.4.1偏相关及相关系数矩阵

偏相关分析，就是在控制或消除其他变量影响的条件下，分析多个变量中某两个变量的相关程度，这种相关程度一般用偏相关系数表示。偏相关系数的计算常常要用到相关系数矩阵。三个变量的相关系数矩阵即：其特点是：(1)是一个主对角线均为1的对称矩阵(2)行列式的值域为，为0时所有的变量均为函数关系，为1时所有的变量互相独立。24本课件的所有权属于熊义杰3.4.2偏向关系数的定义对于二元模型一般地有式中，Rij表示相关系数矩阵中相应元素的代数余子式；i,j均为相应标号，s是所有标号中不包括i、j的集合。25本课件的所有权属于熊义杰

3.4.3偏相关系数的证明(以r01.2为例)假定真实的关系为:同时假定于是,根据26本课件的所有权属于熊义杰再根据：可得到：连同上述y*和x1*一起代入r01.2的表达式，得到：在上式中根据简单相关系数与回归系数的关系，代如：即不难得到最后的结果。273.5.1单因素方差分析引例1：有一种汽油，采用不同的配比（辛烷值含量）进行燃烧值试验。假定有三种不同的配比，分别进行了5次实验，实验结果如下：问三种配比究竟有没有明显的条件差异?3.5方差分析28本课件的所有权属于熊义杰其中：亦即：TSS＝ESS＋RSS第一步：把Y的总变差分为两部分：29在引例1中：检验的原假设和被择假设分别为:H0:无条件差异;H1:有条件差异∵F>Fα(V1，,V2)∴应接受H1Excel求解演示303.5.2

双因素方差分析引例2：汽油的燃烧值与辛烷值和含硫量有关。假定选择的两因素的水平为：将两种不同水平交叉分组，然后进行试验，得出结果为：31本课件的所有权属于熊义杰第一步：先对Y的总变进行分解：

平方后加总即：TSS=ASS+BSS+ESS其中：自由度为：k－1自由度为：n－1自由度为：

(k－1)(n－1)自由度为：nk－132本课件的所有权属于熊义杰在本例中误差绝对值表：33本课件的所有权属于熊义杰Excel求解演示第二步，分别计算F比：34本课件的所有权属于熊义杰3.5.3方差分析与回归分析的比较例：以单因素方差分析为例Excel求解演示

[-77.5，39.2][1.045，1.555]在方差分析中：467.7=426.5+41.235本课件的所有权属于熊义杰

结论（1）：在回归分析中，回归平方和就相当于方差分析的条件变差，误差平方和就相当于方差分析中的试验误差。因此，对回归分析也可进行F-检验。在多元线性回归分析中，F检验多用于检验模型的总显著性水平，或可决系数的可靠性。36本课件的所有权属于熊义杰

结论（2）：在一元线性回归中，假设检验中的F-检验等价于t-检验。证（1）37本课件的所有权属于熊义杰证（2）所以，在一元模型中，对于回归系数或相关系数的t-检验与F-检验通常只进行其中之一就可以了。

[补充]关于多元模型(以二元模型为例)的表达:F=____()()()()[][][]____38本课件的所有权属于熊义杰3.6几种常用的F检验3.6.1由于增添新解释变量而使拟合改进的检验第一步：假定完整模型为：先对其中m个变量回归，得到：分别用表示总变差中被解释的部分和未被解释部分。39本课件的所有权属于熊义杰第二步：在m个变量回归的基础上，引进其余的k-m个变量进行回归。同时得到相应的第三步：计算合适的F比，并进行假设检验在Eviews1.0中，这种增加解释变量是否使拟合得到改进的检验可以通过键入命令Add进行。40本课件的所有权属于熊义杰3.6.2对由不同样本求得的系数差异性的检验（Chow检验）第一步：合并两个样本，构成一个有个观测值的新样本，对新样本回归得，(p代表合并)，自由度为第二步：分别对每个样本回归，得到各自的自由度为，记回归系数分别为41本课件的所有权属于熊义杰第三步：计算，其自由度为（k+1）；根据散点图知，大样本的误差平方和必大于小样本的误差平方和，所以，除非两个小羊本的分布趋势完全一致（这时，合并样本的误差与两个小样本的误差之和相等），否则，绝对不会出现两个样本的误差之和大于合并样本误差的情况。因为，划小了样本只能使得估计的回归直线与观测值更贴近，估计的误差会变得更小。这实际也正是这种检验得以进行的基本原理。第四步：求F比：42本课件的所有权属于熊义杰3.6.3当样本容量增大时，回归系数稳定性的检验当增加样本点大于k个时，应用Chow检验。当增加样本点小于或等于k个时，按以下步骤：第一步：由容量为n1的原样本进行回归，得到，自由度为，记回归系数为第二步：由扩大的样本回归，得到，自由度为，记回归系数为43本课件的所有权属于熊义杰第三步：计算，其自由度为第四步：求F比H0：H1：44本课件的所有权属于熊义杰3.6.4对模型中参数所加约束的检验给模型中施加一些约束，可明显地减少需要估计的参数数目。以道格拉斯生产函数为例：取对数后得到:这时：即45本课件的所有权属于熊义杰显然，施加约束以后都明显地减少了需要估计的参数数目。然而所加约束是否真实则必须进行检验。再比如：如果已知：则：46本课件的所有权属于熊义杰第一步：对原来未加约束的关系式估计参数，得到，其自由度是第二步：对约束关系式估计参数，得到，其自由度为第三步：计算,其自由度为c第四步：计算F比，在Eviews1.0中，这种检验可通过键入Wald命令进行（常参数规定为C1）。47本课件的所有权属于熊义杰3.7虚拟变量模型3.7.1虚拟变量及其作用虚拟变量跟实在变量相对应，主要用来描述质量属性，所以也叫质量属性变量或一位二进制变量。虚拟变量在实际应用中的例子很多，比如：

虚拟变量的主要作用包括：1分离异常因素影响；如分析新中国建国后的经济发展，可设：2反映不同的属性类型对因变量的影响，如上述两类变量。3提高模型精度引入虚拟变量就相当于将一个被解释变量分若干种情况来考虑，因而也就相当于对某一个变量按不同属性分层抽样，因而方差会大大减小（这是因为，在x～N（μ，σ2）的条件下，）。483.7.2虚拟变量的引入(1)加法方式设某地区的居民消费Y与收入X间的关系为：其中：这实际上相当于两个函数：前者D＝1，后者D＝0。从图中不难看出，加法方式引入的虚拟变量通过调整截距区分异常情况。49本课件的所有权属于熊义杰比如，如果在在§2.8的案例中，采用加法方式引入虚拟变量，则可得到：

显然，模型的精度提高了许多（其中，1、4、5、8号变量取零，其余取1）。原对照模型是：50其中：XY的含义与上述相同。运用OLS方法估计后得到：这同样也可以看作两个函数：前者D＝1，后者D＝0。从图中不难看出，乘方方式引入的虚拟变量通过调整斜率来反映异常情况。(2)乘法方式：51本课件的所有权属于熊义杰

对上述案例采用乘法方式引入虚拟变量得到的结果是：原对照模型为：52本课件的所有权属于熊义杰该模型回归后可分解为：前者D=1，后者D＝0。显然，这种方式加入的虚拟变量是截距和斜率一起调整的。53本课件的所有权属于熊义杰注意！防止跌入“虚拟变量陷阱”。因为，一旦违反虚拟变量设置的原则，把虚拟变量设成了m个，就导致了模型的不唯一性。3.7.3虚拟变量设置的原则如果有m种互斥的属性类型，则引入模型的虚拟变量数应为m-1个。比如54§3.8案例分析下表是我国1984一1991年三种宏观数据的统计数据(引自《中国统计年鉴1992》)，试估计社会商品零售总额的二元回归模型。查看研究论文55本课件的所有权属于熊义杰应用Eviews10进行经济计量分析的步骤：

EViews10通常需要先安装，然后使用。其步骤是：（1）建立工作文件（使用菜单命令File/New，或用create命令，同时确定样本容量或数据起止点）；（2）输入数据（使用Data命令，注意带上变量参数。也可以由Excel中复制粘贴数据）；（3）进行回归分析（使用Ls命令，一般格式为：lsy（被解释变量）c（常参数）＋解释变量。运用Eviews的显著有点是：生成新序列（运用Genr命令）、引入之后变量（用变量名x（－1）即可）都很方便。而且，由于EViews为经济计量学的专用软件，因而其输出信息比Excel更丰富。关于Eviews的常用命令参教材97页。56本课件的所有权属于熊义杰先作出社会商品零售总额对于每一解释变量的散点图：57本课件的所有权属于熊义杰EView10的输出结果（1）LS//DependentVariableisYSample:19841991Includedobservations:8VariableCoefficientStd.ErrorT-Statistic Prob.C 544.4771 1399.072 0.389170 0.7132X1 1.794231 0.733709 2.445424 0.0583X2 11.59356 11.94230 0.970798 0.3762R-squared 0.981594Meandependentvar6462.750AdjustedR-squared 0.974231S.D.dependentvar2157.581S.E.ofregression 346.3474Akaikeinfocriterion 11.97488Sumsquaredresid 599782.7Schwartzcriterion 12.00467Loglikelihood -56.25103 F-statistic 133.3246Durbin-Watsonstat 0.805191

Prob(F-statistic) 0.00004658本课件的所有权属于熊义杰EView10的输出结果（2）LS//DependentVariableisYDate:04/05/03Includedobservations:8VariableCoefficient Std.ErrorT-Statistic Prob.C -18223.46 10561.71 -1.725427 0.1450X1 1.384292 0.595185 2.325818 0.0676X3 4104.694 2156.967 1.902993 0.1154R-squared 0.987313Meandependentvar 6462.750AdjustedR-squared0.982239S.D.dependentvar 2157.581S.E.ofregression287.545Akaikeinfocriterion 11.60276Sumsquaredresid413411.4Schwartzcriterion 11.63255Loglikelihood -54.76254 F-statistic 194.5561Durbin-Watsonstat1.02942Prob(F-statistic) 0.00001859EView10的输出结果（3）LS//DependentVariableisXSample:19851991Includedobservations:7VariableCoefficientStd.Error T-Statistic Prob.C 2990.703 842.7764 3.548631 0.0238Y 2.799708 0.487246 5.745983 0.0045Z(-1) -7.741557 7.957735 -0.972834 0.3857R-squared 0.985720 Meandependentvar 6903.714AdjustedR-squared 0.978580 S.D.dependentvar 1901.619S.E.ofregression 278.3098 Akaikeinfocriterion 11.55500Sumsquaredresid 309825.3 Schwartzcriterion 11.53182Loglikelihood -47.37506 F-statistic 138.0591Durbin-Watsonstat 1.519159

Prob(F-statistic) 0.00020460本课件的所有权属于熊义杰EView10的输出结果（4）LS//DependentVariableisXSample:19861991Includedobservations:6Variable Coefficient Std.Error T-Statistic Prob.C 3664.560 515.6031 7.107327 0.0057Y 3.019564 0.320000 9.436130 0.0025Z(-2) -13.95224 5.423149 -2.572720 0.0823R-squared 0.993496 Meandependentvar7336.833AdjustedR-squared 0.989161 S.D.dependentvar 1662.412S.E.ofregression 173.0782 Akaikeinfocriterion10.61434Sumsquaredresid 89868.21 Schwartzcriterion 10.51022Loglikelihood -37.35665 F-statistic 229.1388Durbin-Watsonstat 3.270882

Prob(F-statistic) 0.00052461本课件的所有权属于熊义杰EView10的输出结果（5）LS//DependentVariableisXSample:28Includedobservations:7Variable Coefficient Std.Error T-Statistic Prob.C 1586.415 813.5123 1.950081 0.1463Y 2.114253 0.434317 4.867991 0.0166Z 17.04250 7.069770 2.410615 0.0950Z(-1) -13.40505 5.853874 -2.289945 0.1060R-squared 0.995138 Meandependentvar 6903.714AdjustedR-squared 0.990276 S.D.dependentvar 1901.619S.E.ofregression 187.5185 Akaikeinfocriterion10.76331Sumsquaredresid 105489.6 Schwartzcriterion 10.73241Loglikelihood -43.60417 F-statistic 204.6784Durbin-Watsonstat 1.707478 Prob(F-statistic) 0.00057562本课件的所有权属于熊义杰本章应完成作业二版书第110页第5、第6