高二数学（江苏理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-“圆锥曲线”的全国

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第14讲“圆锥曲线”的复习要紧抓定义、方程与性质圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是历年高考重点考查的内容之一，复习时紧紧抓住椭圆、双曲线、抛物线的定义、图形、标准方程、几何性质，用代数方法系统研究圆锥曲线的其他重要性质,渗透研究圆锥曲线问题的基本方法．1．紧抓定义、方程与性质，熟练掌握基础知识．通过复习，要对椭圆、双曲线、抛物线的定义、图形、标准方程、几何性质，了然于胸．对于椭圆，搞清楚标准方程的代数特点:mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），明确决定焦点位置的因素，清楚a，b，c，e的关系．对于双曲线，搞清楚标准方程的代数特点：mx2＋ny2＝1（mn<0)，明确决定焦点位置的因素，清楚a，b，c，e的关系，标准方程与渐近线方程的关系,渐近线方程与离心率e的关系．对于抛物线，能从标准方程中确定焦点位置(看一次项)，开口方向(看一次项系数符号）,焦点坐标，准线方程．2．能熟练地求圆锥曲线的标准方程．立足课本，梳理出求圆锥曲线标准方程的基本类型,会选择最适当的方法,熟练地利用定义、几何性质、待定系数法求圆锥曲线的标准方程，焦点位置不确定时，注意分类讨论，对有些问题能合理的避免分类讨论．3．立足椭圆，用代数方法研究性质,渗透基本方法,提高运算能力．解析几何问题的突出特点，一是运算量大，二是变形技巧强．要提高解决解析几何问题的能力，一要提高运算能力，二要掌握解决问题的基本方法．立足椭圆,对椭圆的一些性质,如椭圆上的点到中心、焦点的最大（小）距离，过焦点的弦长最大(小）值，椭圆上的点与两焦点所连线段夹角的最大值等，不要只记结论，要利用函数、方程思想动手解决，从问题解决的过程中体会函数、方程思想,设而不求的方法，提高运算与变形能力．例1（1）求满足下列条件的椭圆的标准方程．①经过点（3，0），离心率e＝eq\f(\r(6),3）；②经过两点P1（eq\f(1,3），eq\f(1,3）)，P2(0，－eq\f(1，2））．(2)求满足条件：渐近线方程为y＝±2x，且过点（2，2）的双曲线的标准方程．解后反思求圆锥曲线的标准方程时，要根据条件灵活地选择定义、几何性质、待定系数法求解．焦点位置不确定时,注意分类讨论，但尽量避免分类讨论．例2如图，F1,F2是椭圆C1：eq\f(x2，4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．解后反思1．由矩形的几何特征联想其性质，将几何关系转化为代数关系：AFeq\o\al（2，1）＋AFeq\o\al（2，2)＝F1Feq\o\al(2,2），是解决问题的关键；2．与焦点三角形（椭圆、双曲线上的点与两焦点连结而成的三角形）有关的问题，往往要利用椭圆、双曲线的定义解决问题．例3设F1、F2分别是椭圆E：eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a〉b〉0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点,且AF2,AB，BF2成等差数列．（1)求E的离心率;(2)设点P（0，－1)满足PA＝PB，求E的方程．解后反思1．焦点三角形与椭圆、双曲线的定义紧密联系；2．弦长问题、弦中点问题是直线与圆锥曲线相交时的基本问题．弦长公式是两点间距离公式的变形．当直线与圆锥曲线相交时,让直线方程与圆锥曲线方程联立，得到关于x或y的二次方程，对交点坐标一般是设而不求，而是整体利用x1＋x2，x1x2（y1＋y2，y1y2)．3．不直接利用几何条件PA＝PB，而是联想几何性质：点P在弦AB的垂直平分线上，继而得到代数关系,给解决问题带来很大方便．总结感悟1．求圆锥曲线的标准方程时，要根据条件灵活地选择定义、几何性质、待定系数法求解．焦点位置不确定时，注意分类讨论，但尽量避免分类讨论．2．一般用设而不求的方法解决弦长问题、弦中点问题．直线与圆锥曲线的交点坐标是直线方程与圆锥曲线方程联立，得到关于x或y的二次方程的解，对交点坐标设而不求，利用根与系数的关系求解．3．由图形的几何特征联想几何性质，将几何关系转化为代数关系，是解决解析几何问题的重要手段．【误区警示】对于弦中点问题，也可将所设交点A（x1,y1），B（x2，y2）的坐标代入曲线方程，两式相减，就可得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，此法称为“点差法”,合理应用此法可简化有关计算，但需注意，在双曲线中应用此法，最后应检验所求得直线与曲线是否相交．A级1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1），则该抛物线焦点坐标为__________．2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于eq\f(3,2）,则双曲线C的方程是____________．3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍，则m＝________．4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝eq\f(5,4）x0，则x0＝________．5．已知F1(－1，0）,F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB＝3，则C的方程为______________．6．设AB是椭圆Г的长轴,点C在Г上，且∠CBA＝eq\f(π,4），若AB＝4,BC＝eq\r（2),则Г的两个焦点之间的距离为________．7。抛物线x2＝2py（p〉0)的焦点为F,其准线与双曲线eq\f（x2，3)－eq\f(y2，3)＝1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形，则p＝________．B级8．已知双曲线C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b〉0）的离心率为eq\f（\r(5),2），则C的渐近线方程为__________．9．点P是椭圆eq\f（x2，25）＋eq\f(y2，16)＝1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．10．过抛物线y2＝2px（p〉0）的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M,N向准线l作垂线,垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1＝________．11．设F为抛物线C:y2＝4x的焦点,过点P（－1，0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2,则直线l的斜率等于________．12．（2016·全国Ⅱ改编)已知F1,F2是双曲线E：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦点,点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1，3），则E的离心率为________．13。如图所示，点A、B分别是椭圆eq\f(x2，36）＋eq\f(y2，20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.（1）求点P的坐标；(2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

第14讲“圆锥曲线”的复习要紧抓定义、方程与性质题型分析例1解（1）①当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆性质知，a＝3,由eq\f(c,a）＝eq\f（\r（6),3）,得c＝eq\r（6)，故b2＝a2－c2＝9－6＝3,椭圆的标准方程为eq\f（x2,9)＋eq\f(y2,3）＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆性质知，b＝3，由eq\f（c,a)＝eq\f（\r(6),3),即eq\f(a2－b2,a2）＝eq\f（2,3),得a2＝27，椭圆的标准方程为eq\f（y2,27）＋eq\f(x2,9）＝1.综上，椭圆的标准方程为eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，3)＝1或eq\f(y2,27）＋eq\f（x2，9）＝1.②方法一当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a〉b〉0)，依题意，知eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(（\f(1，3）)2,a2）＋\f(（\f（1，3))2，b2）＝1，,\f（(－\f(1，2))2，b2）＝1，)）⇒eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1，4）.））∵a2＝eq\f(1，5)〈eq\f（1,4)＝b2,∴方程无解．当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为eq\f（y2,a2）＋eq\f(x2,b2）＝1（a>b〉0），依题意，知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(（\f（1,3)）2，a2）＋\f（（\f（1,3））2，b2)＝1，,\f（(－\f（1，2)）2,a2）＝1，))⇒eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4），，b2＝\f(1,5)。))故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2，\f（1,4))＋eq\f(x2，\f（1，5)）＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A>0,B>0，A≠B）．依题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A(\f（1,3））2＋B（\f（1,3)）2＝1，,B(－\f(1，2)）2＝1，））⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（A＝5，，B＝4.))故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2，\f（1,5)）＋eq\f（y2，\f(1，4）)＝1.（2）方法一当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b〉0），则eq\f（b,a）＝2，且eq\f(4,a2)－eq\f(4,b2)＝1,解得a2＝3，b2＝12.双曲线的标准方程为eq\f(x2，3)－eq\f(y2,12）＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(y2，a2）－eq\f(x2,b2)＝1（a>0,b〉0)，则eq\f(a,b)＝2，且eq\f（4，a2）－eq\f(4，b2)＝1，无解．综上,双曲线的标准方程为eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1.方法二依题意设双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4）＝λ（λ≠0），将点(2，2）代入求得λ＝3,所以所求双曲线的标准方程为eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1。例2eq\f（\r（6），2)解析F1F2＝2eq\r(3)。设双曲线的方程为eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1.∵AF2＋AF1＝4，AF2－AF1＝2a,∴AF2＝2＋a，AF1＝2－a。在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴AFeq\o\al（2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al（2，2)，即（2－a）2＋(2＋a）2＝(2eq\r(3))2，∴a＝eq\r（2），∴e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r（3),\r(2)）＝eq\f（\r(6)，2）。例3解(1)由椭圆定义知AF2＋BF2＋AB＝4a,又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝eq\f（4,3)a.l的方程为y＝x＋c,其中c＝eq\r（a2－b2).设A（x1，y1），B（x2,y2)，则A、B两点坐标满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,，\f（x2,a2）＋\f（y2，b2）＝1。）)化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝eq\f(－2a2c，a2＋b2）,x1x2＝eq\f（a2（c2－b2)，a2＋b2).因为直线AB的斜率为1，所以AB＝eq\r(2）｜x2－x1｜＝eq\r(2［(x1＋x2）2－4x1x2]），即eq\f(4，3)a＝eq\f（4ab2，a2＋b2)，故a2＝2b2，所以椭圆E的离心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f(\r（a2－b2），a）＝eq\f（\r(2）,2).(2)设线段AB的中点为N(x0，y0),由（1）知x0＝eq\f（x1＋x2，2）＝eq\f(－a2c,a2＋b2)＝－eq\f（2,3）c，y0＝x0＋c＝eq\f(c，3)。由PA＝PB得kPN＝－1，即eq\f(y0＋1,x0）＝－1，得c＝3，从而a＝3eq\r(2），b＝3。故椭圆E的方程为eq\f（x2,18)＋eq\f（y2,9)＝1.线下作业1．(1，0）解析由于抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－eq\f(p，2)，由题意得－eq\f(p，2）＝－1，p＝2，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1,0）)。2。eq\f(x2，4)－eq\f（y2，5）＝1解析由题意知：c＝3，e＝eq\f（c，a）＝eq\f（3,2)，∴a＝2;b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为eq\f（x2，4）－eq\f（y2,5）＝1.3．44．1解析由抛物线的定义，可得AF＝x0＋eq\f（1，4)，∵AF＝eq\f(5，4)x0，∴x0＋eq\f（1，4)＝eq\f(5，4)x0，∴x0＝1。5.eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,3）＝1解析设椭圆C的方程为eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a〉b〉0)，则c＝1。因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且AB＝3,所以eq\f(b2,a）＝eq\f（3,2），b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为eq\f（x2,4）＋eq\f(y2，3)＝1。6.eq\f（4\r(6)，3)解析不妨设椭圆Г的标准方程为eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,b2）＝1，于是可算得C(1，±1），得b2＝eq\f（4,3)，2c＝eq\f(4\r（6),3）。7.6解析由题意知Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(p,\r(3)），－\f(p，2))），代入方程eq\f（x2，3)－eq\f(y2,3）＝1得p＝6.8．y＝±eq\f（1,2)x解析由e＝eq\f（c，a)＝eq\f(\r（5）,2)知，a＝2k,c＝eq\r（5)k(k∈R＋),由b2＝c2－a2＝k2知b＝k。所以eq\f(b，a)＝eq\f(1,2）.即渐近线方程为y＝±eq\f（1,2)x。9。eq\f(8，3)解析PF1＋PF2＝10,F1F2＝6，S△PF1F2＝eq\f（1,2)(PF1＋PF2＋F1F2）·1＝8＝eq\f（1，2）F1F2·yP＝3yP.所以yP＝eq\f（8，3).10．90°解析如图,由抛物线的定义，得MF＝MM1，NF＝NN1。∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.设准线l与x轴的交点为F1，∵MM1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1,∠NN1F＝∠N1FF1。而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°,即∠M1FN1＝90°。11．±1解析设直线l的方程为y＝k（x＋1)，A（x1，y1)、B(x2，y2)、Q（x0，y0)，解方程组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y＝k(x＋1),,y2＝4x。））化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0∴x1＋x2＝eq\f(4－2k2,k2），y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝eq\f（4，k）.∴x0＝eq\f（2－k2,k2)，y0＝eq\f（2,k).由eq\r（（x0－1）2＋（y0－0）2)＝2得：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1