全等三角形的判定角平分线的性质单元设计同步教研

一般观念引领，渗透研究几何图形的

基本问题和方法

——《全等三角形的判定，角平分线的性质》

单元设计此处添加副标题内容人教版数学八年级上册第十二单元同步教研（三）课例分析与教学探讨课时内容与素养要求（一）目录Contents编写解读与教学建议（二）几何压轴题010203不同版本教材比较04（一）（一）课时内容与素养要求课时内容领域分析素养发展要求分析几何研究路径分析数与代数统计与概率图形与几何综合与实践义务教育阶段4132课程内容四个学习领域课时内容图形的性质图形的变化图形与坐标（3）三角形01课时内容领域分析图形与几何（1）点、线、面、角（2）相交线与平行线（3）三角形图形的性质图形的变化图形与坐标（1）图形的轴对称（2）图形的旋转（3）图形的平移（4）图形的相似（5）图形的投影（1）图形的位置与坐标（2）图形的运动与坐标（5）圆（6）定义、命题、定理（4）四边形12.3角的平分线的性质12.2三角形全等的判定⑤掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。⑥掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。⑦掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。⑧证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。⑭探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。⑨理解角平分线的概念（新增），探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。课时内容01课时内容领域分析02素养发展要求分析核心素养背景会用数学的眼光观察现实世界会用数学的语音表达现实世界会用数学的思维思考现实世界几何直观抽象能力创新意识空间观念推理能力运算能力数据观念应用意识模型观念02素养发展要求分析几何直观

主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言的描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。建立几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。

理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯.推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。02素养发展要求分析能通过尺规作图、折纸、剪拼等操作活动，感知图形的结构特征.有助于学生认识图形的组成元素及其位置关系，对图形的结构特征形成直观感知，进而为逻辑推理奠定基础.会利用图形表示、理解和解释几何概念与命题，进行几何推理初中的几何课程主要是基于图形全等与相似的综合几何.所有几何概念、性质、命题都可以通过图形做出直观表示，这也是几何直观在几何研究中的基本表现形式.几何直观

具体表现形式基于操作经验的感悟基于概念的推理过渡初步的形成逐步······（1）能用直尺和圆规作出基本图形，感悟尺规作图的合理性及图形的几何特征.（2）能利用尺规作图探讨几何图形的存在性与结构特征.（3）能利用折纸、剪拼等操作活动对简单图形进行变换、分解与组合，解释操作过程的几何原理及操作前后图形的关系.02素养发展要求分析理解数学概念的定义过程，能够利用概念的定义过程进行简单的推理.推理能力具体表现形式理解归纳和类比推理是一种从特殊到一般的思维方式，是发现、提出、形成数学概念、法则、关系、猜想的重要途径.理解推理在数学中的意义与作用理解演绎推理是从一般到特殊的思维方式，是形成数学命题、判断命题真伪和进行证明的基本工具.理解命题的含义与结构，能够用不同的方式表述命题.感悟推理是数学学习中的一种基本活动，是理解数学和解决问题的主要方式.能够运用基本的推理形式和逻辑规则，进行数学推理与证明感悟三段论的推理方式.知道从条件推出结论的过程必须依据已知的概念定义、事实与命题；要判定一个命题为“真”需要通过证明，而要判断一个命题为“假”只需举出一个反例；能够根据命题的特点选择和运用各种恰当的推理和论证方法，探索并表述论证过程；能够用反证法的思想证明简单的命题；等等.03不同版本教材比较人教版（八上）浙教版（八上）华师版（八上）第12章全等三角形（共11课时）第1章三角形的初步知识（共17课时）第13章全等三角形12.1全等三角形（1课时）1.1认识三角形（2课时）13.1命题、定理与证明（2课时）12.2全等三角形的判定（6课时）1.2定义与命题（2课时）13.2三角形全等的判定（6课时）12.3角的平分线的性质（2课时）1.3证明（2课时）13.3等腰三角形（2课时）数学活动，小结（2课时）1.4全等三角形（1课时）13.4尺规作图（4课时）1.5三角形全等的判定（4课时）13.5逆命题与逆定理（3课时）1.6尺规作图（1课时）复习（2课时）人教版、浙教版顺序：

“SSS-SAS-ASA-AAS-HL”复习评价（4课时）+机动（1课时）*注：角平分线在13.5节华师版顺序：“SAS-ASA-AAS-SSS-HL”2.8直角三角形全等的判定（1课时）01代数式知识结构分析04几何研究路径分析（一般观念引领）一般观念:对数学的对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。首先，数学教材的体系结构遵循了“一定之规”，一般按“背景（实际背景、数学背景)——定义(内含、表示)——分类(以要素为标准)——性质（要素、相关要素的相互关系)——特例（性质和判定)——联系（应用)”的逻辑展开。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“讲理”的关键之一。如：三角形性质的研究思路和方法是:以它的要素（三条边、三个内角)、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。章建跃：《一般观念的思维引领作用》

其次，有效的数学学习需要两个基本条件:一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。（二）编写解读与教学建议1.重视渗透研究几何图形的

基本问题和方法1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学一般观念引领实际情境（实物）几何图形定义（要素）抽象性质（特征）从组成图形的元素出发，位置、大小关系去研究研究的一般路径（类比方法贯穿）图形性质（定义）提出猜想操作验证推理论证应用从定义出发弱化条件，从性质出发研究逆命题真假研究的一般路径（类比方法贯穿）互逆关系（如：角的平分线，筝形）（二）编写解读与教学建议2.注重设计让学生自主探究的活动2.让学生充分经历探究过程第12.

2

节设计了一个完整的探究活动，提出了探究目标（在三条边分别相等，三个角也分别相等的六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等）和探究思路（从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，对“一个条件”“两个条件”“三个条件”……的情形分别进行探究）在“活动

2用全等三角形研究‘筝形’”中，提出了探究的手段-用画图、测量、折纸等方法猜想，用全等三角形的知识证明猜想的结论

，

以及探究的对象一一筝形的角、对角线的性质学生可以利用已有研究几何图形的经验自主探究.让学生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的边、角条件与两个三角形全等之间的关系，在充分探索的基础上感受结论的合理性．（既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形．）（二）编写解读与教学建议3.注重体现知识间的联系3.重视对学生推理论证能力的培养平移、翻折、旋转全等三角形线段相等和角相等教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤．问题为载体分析由已知推出结论的思路示范证明的格式学生独立分析、写出完整的证明过程．（三）课例分析与教学探讨

12.2.1全等三角形的判定图形判定教学（三）课例分析与教学探讨内容和内容解析内容构建三角形全等条件的探索思路,“边边边”判定方法。2.内容解析三角形全等的判定是指三角形中的边、角满足什么条件可以推断两个三角形全等．全等三角形的性质和判定是研究全等三角形的两个重要方面。根据全等三角形的定义，三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等．本节主要探索能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等．为此构建了三角形全等条件的探索思路，即从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，从“一个条件”“两个条件”“三个条件”分别进行探究，最后通过作图实验，概括出一种判定方法——“边边边”.“边边边”判定方法的探索过程也为其他判定方法的探索提供了策略和思路。基于以上分析，确定本节课的教学重点：构建三角形全等条件的探索思路，“边边边”判定方法。

12.2.1全等三角形的判定（三）课例分析与教学探讨目标和目标解析目标（1）构建三角形全等条件的探索思路，体会研究几何问题的方法。（2）探索并理解“边边边”判定方法,会用“边边边”判定方法证明三角形全等。(3)会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的道理。2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生知道判定三角形全等的含义。为了寻求比六个条件更简捷的判定方法，从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，依次探究”一个条件”“两个条件”“三个条件“能否保证两个三角形全等．在探索判定方法的过程中，体会作图、观察、分析、猜想等研究几何问题的方法。达成目标(2)的标志是：学生能在教师的引导下作两个三边分别相等的三角形，通过观察、比较、分析，概括出全等三角形的“边边边”判定方法．学生能理解“边边边”判定方法的含义，会用“边边边”判定方法进行一些简单的证明。达成目标(3)的标志是：学生能正确使用直尺和圆规作一个角等于已知角，并能用“边边边”判定方法解释作法的合理性。

12.2.1全等三角形的判定（三）课例分析与教学探讨教学问题诊断分析探索三角形全等的条件是一个开放性的问题，如何从六个条件中选择部分条件简捷地判定两个三角形全等、怎样通过逐渐增加条件的数量构建出三角形全等条件的探索思路，这些对于思维水平正在逐渐提高的八年级学生来说会有一定的难度．探索三角形全等的条件和运用“边边边”判定方法作一个角等于已知角的过程，涉及到尺规作图，而学生只在初一学习了用尺规作最简单的图形，作图技能还不高教学时，教师要从三角形全等的判定的含义出发，以在六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等为目标，引导学生逐步探索三角形全等的条件．对于作一个角等于已知角的尺规作图，则分别以作一条线段等于已知线段的尺规作图和三角形全等的“边边边”判定方法来引导学生思考作图的思路。基于以上分析本节课的教学难点是：构建三角形全等条件的探索思路、用尺规作一个角等于已知角。

12.2.1全等三角形的判定（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.2.1全等三角形的判定1.类比平行学习指明探究路径问题1.我们在学习了两直线平行的性质后，是怎样研究两直线平行的判定的？两直线平行内错角相等性质

判定同位角相等同旁内角互补问题2.上节课我们学习了全等三角形的概念与性质，类比平行线的研究我们怎么开展全等三角形判定的研究？全等三角形对应边相等性质

判定对应角相等设计意图：通过类比两直线平行的判定的研究，引出全等三角形判定的研究，渗透几何判定教学的一般路径.（三）课例分析与教学探讨教学过程设计2.创设学生活动经历探究过程

12.2.1全等三角形的判定问题3：是否一定要满足三条边分别相等、三个角分别相等这六个条件，才能保证两个三角形全等呢？师生活动：教师提出问题，学生独立思考．追问1:上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在这六个条件中选出部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？你想从哪儿入手开始研究？师生活动：学生独立思考，然后小组交流，并派代表发言，教师适时点拨，最后达成共识：按满足“一个条件”“两个条件”“三个条件”……的顺序探索三角形全等的条件．（三）课例分析与教学探讨教学过程设计2.创设学生活动经历探究过程

12.2.1全等三角形的判定师生活动：学生发现需要再分两种情况进行说明，即一条边分别相等、一个角分别相等．在探究过程中，可以通过画图加以说明，也可以利用三角尺等进行说明．追问2:当满足一个条件时，两个三角形全等吗？一条边相等ABCA'B'C'一个角相等ABCA'B'C'（三）课例分析与教学探讨教学过程设计2.创设学生活动经历探究过程

12.2.1全等三角形的判定师生活动：学生独立思考，教师适时点拨，最后达成共识：满足“两个条件”分两边、一边一角或两角分别相等三种情况．学生分三组分别进行探究，通过画图、展示交流，最后得出结论：只满足“两个条件”的两个三角形不一定全等。追问3:当满足两个条件时，两个全等吗？两边相等ABCA'B'C'两角相等ABCA'B'C'A一边及一角相等BCA'B'C'（三）课例分析与教学探讨教学过程设计2.创设学生活动经历探究过程

12.2.1全等三角形的判定追问4:当满足三个条件时两个三角形全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？师生活动：学生回答问题，并相互补充，发现需要分四种情况进行研究，即三角、三边、两边一角、两角一边分别相等．设计意图：先提出“全等判定”问题，构建出三角形全等条件的探索路径，然后以问题串的方式呈现探究过程，引导学生层层深入地思考问题．×？。。。。。（三）课例分析与教学探讨教学过程设计2.创设学生活动经历探究过程

12.2.1全等三角形的判定问题4：我们先研究两个三角形三边分别相等的情况（其他几种情况以后研究）先任意画出一个△ABC，再画出一个△A'B'C'，使A'B'=AB，B'C'=BC，A'C'=AC.把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ACB师生活动：师生共同用尺规作图，作出△A'B'C'剪下，看能否完全重合。追问5：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？师生活动：学生回答问题，并相互补充．教师板书：三边分别相等的两个三角形全等.(可简写成“边边边”或“SSS”)及几何语言（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.2.1全等三角形的判定3.判定初步应用规范推理书写例1：如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD

是连接点A

与BC

中点D

的支架，求证：△ABD≌△ACD.ADCB师生活动：师生共同分析解题思路，即要证明△ABD

≌△ACD

.只需看这两个三角形的三条边是否分别相等，题中有一个隐含条件——AD，是两个三角形的公共边．学生口述证明过程，教师板书规范书写．设计意图：运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性，体会证明过程的规范性．跟进教材练习1，及时作好评价（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.2.1全等三角形的判定3.判定初步应用规范推理书写问题5：你能用“三边分别相等判定三角形全等”的结论，用直尺和圆规作一个角等于已知角吗？师生活动：（1）引导学生得到“作一个角等于已知角”转化为“作全等三角形”回到前面问题4的SSS作三角形的操作；

（2）再优化操作，得到尺规作一个角等于已知角的简捷作法。设计意图：让学生运用“SSS”条件进行尺规作图，体会转化化归的思想，经历优化的过程，增强作图技能，体会作图的合理性，理解作法的原理。（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.2.1全等三角形的判定4.导图梳理结构关注思想方法性质

两直线平行内错角相等；同位角相等；同旁内角互补判定全等三角形对应边相等；对应角相等性质

判定（类比）AAA、SSS、SAS、SSA、ASA、AAS1个条件2个条件3个条件×√。。。。应用作一个角等于已知角。。。。A；SAA；SS；SA（转化）设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——构建三角形全等条件的探索思路，几何图形判定探究的一般路径，类比、化归等思想方法的应用，以及判定三角形全等的“边边边”方法．5.课时作业布置指向教学目标（三）课例分析与教学探讨

12.3.1角的平分线的性质图形性质教学（三）课例分析与教学探讨

12.3.1角的平分线的性质内容和内容解析1.内容角的平分线的性质。2.内容解析角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法本节内容是全等三角形知识的运用和延续。用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质。角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。（三）课例分析与教学探讨

12.3.1角的平分线的性质目标和目标解析1.目标（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；（2）探索并证明角的平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题。2.目标解析达成目标（3）的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。达成目标（1）

的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线。达成目标（2）的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测最等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。（三）课例分析与教学探讨

12.3.1角的平分线的性质教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤。基于以上分析本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.3.1角的平分线的性质1.创设情境提出问题问题1：如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D追问1：若没有平分角的仪器，你能画出一个角的角平分线吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理。（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.3.1角的平分线的性质2.合作探究生成作法ABC(E)D追问2：我们能否从平分角的仪器得到启发，得出利用尺规作角的平分线的具体方法？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，亦或可能用尺规等作图，然后回答问题，交流不同方法的可行性与优劣。设计意图：让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中荻得启发，生成用尺规作角的平分线的方法，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中，体会作法的合理性．提示：(1)已知什么？求作什么？(2)怎样在作图中体现AD=AB?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？

（三）课例分析与教学探讨教学过程设计

12.3.1角的平分线的性质3.经历实验得出性质问题2：利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？（1）操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长，你有什么发现？（2）你能得出什么猜想？猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（3）你能用学过的知识证明你的猜想吗？师生活动：学生经历动手操作发现，猜想论证的全过程。若在论证环节学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．BADOPEC（类比两直线平行性质的操作