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PAGEPAGE6静电场参考习题三、计算题1.如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度.PLddqx(L+d-x)dExO解:设杆的左端为坐标原点O,x轴沿直杆方向.带电直杆的电荷线密度为=q/L,在x处取一电荷元dq=PLddqx(L+d-x)dExO总场强为方向沿x轴,即杆的延长线方向.2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,沿其上半部分均匀分布有电荷+Q,沿其下半部分均匀分布有电荷-Q,如图所示.试求圆心O处的电场强度.解:把所有电荷都当作正电荷处理.在处取微小电荷dq=dl=2Qd/它在O处产生场强按角变化,将dE分解成二个分量:对各分量分别积分,积分时考虑到一半是负电荷=0OR’O'所以OR’O'3.“无限长”均匀带电的半圆柱面,半径为R,设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为,试求轴线上一点的电场强度.解:设坐标系如图所示.将半圆柱面划分成许多窄条.dl宽的窄条的电荷线密度为取位置处的一条,它在轴线上一点产生的场强为如图所示.它在x、y轴上的二个分量为:dEx=dEsin,dEy=-dEcos对各分量分别积分场强4.实验表明,在靠近地面处有相当强的电场,电场强度垂直于地面向下,大小约为100N/C;在离地面1.5km高的地方,也是垂直于地面向下的,大小约为25N/C.(1)假设地面上各处都是垂直于地面向下,试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度;(2)假设地表面内电场强度为零,且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生,求地面上的电荷面密度.(已知:真空介电常量=8.85×10-12C2·N-1·m-2解:(1)设电荷的平均体密度为,取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面,底面S平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2,则通过高斯面的电场强度通量为:·=E2S-E1S=(E2-E1)S高斯面S包围的电荷∑qi=hS由高斯定理(E2-E1)S=hS/0∴=4.43×10-13C/m3(2)设地面面电荷密度为.由于电荷只分布在地表面,所以电力线终止于地面,取高斯面如图(2)由高斯定理·=-ES=∴=-0E=-8.9×10-10C/m35.一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为=Ar(r≤R),=0(r>R),A为一常量.试求球体内外的场强分布.解:在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳,该壳内所包含的电荷为在半径为r的球面内包含的总电荷为(r≤R)以该球面为高斯面,按高斯定理有得到 ,(r≤R) 方向沿径向,A>0时向外,A<0时向里.在球体外作一半径为r的同心高斯球面,按高斯定理有得到,(r>R)方向沿径向,A>0时向外,A<0时向里.6.如图所示,一厚为b的“无限大”带电平板,其电荷体密度分布为=kx(0≤x≤b),式中k为一正的常量.求:(1)平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小;(2)平板内任一点P处的电场强度;(3)场强为零的点在何处?解:(1)由对称分析知,平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面.设场强大小为E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小为S,如图所示.按高斯定理,即得到E=kb2/(40)(板外两侧)(2)过P点垂直平板作一柱形高斯面,底面为S.设该处场强为,如图所示.按高斯定理有得到(0≤x≤b)(3)=0,必须是,可得7.一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为.如图所示,试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).解:将题中的电荷分布看作为面密度为的大平面和面密度为-的圆盘叠加的结果.选x轴垂直于平面,坐标原点O在圆盘中心,大平面在x处产生的场强为圆盘在该处的场强为∴该点电势为8.一半径为R的“无限长”圆柱形带电体,其电荷体密度为=Ar(r≤R),式中A为常量.试求:(1)圆柱体内、外各点场强大小分布;(2)选与圆柱轴线的距离为l(l>R)处为电势零点,计算圆柱体内、外各点的电势分布.解:(1)取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示).面上各点场强大小为E并垂直于柱面.则穿过该柱面的电场强度通量为:为求高斯面内的电荷,r<R时,取一半径为r,厚dr、高h的圆筒,其电荷为则包围在高斯面内的总电荷为由高斯定理得解出(r≤R)r>R时,包围在高斯面内总电荷为:由高斯定理解出(r>R)(2)计算电势分布r≤R时r>R时9.一真空二极管,其主要构件是一个半径R1=5×10-4m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.5×10-3m的同轴圆筒形阳极B,如图所示.阳极电势比阴极高300V,忽略边缘效应.求电子刚从阴极射出时所受的电场力.(基本电荷e=1.6解:与阴极同轴作半径为r(R1<r<R2)的单位长度的圆柱形高斯面,设阴极上电荷线密度为.按高斯定理有2rE=/0得到E=/(20r)(R1<r<R2)方向沿半径指向轴线.两极之间电势差得到,所以在阴极表面处电子受电场力的大小为=4.37×10-14N方向沿半径指向阳极.四研讨题1.真空中点电荷q的静电场场强大小为式中r为场点离点电荷的距离.当r→0时,E→∞,这一推论显然是没有物理意义的,应如何解释?参考解答:点电荷的场强公式仅适用于点电荷,当r→0时,任何带电体都不能视为点电荷,所以点电荷场强公式已不适用.若仍用此式求场强E,其结论必然是错误的.当r→0时,需要具体考虑带电体的大小和电荷分布,这样求得的E就有确定值.2.用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场.参考解答:证:在电场中作如图所示的扇形环路abcda.在ab和cd段场强方向与路径方向垂直.在bc和da段场强大小不相等(电力线疏密程度不同)而路径相等.因而按静电场环路定理应有,此场不满足静电场环路定理,所以不可能是静电场.3.如果只知道电场中某点的场强,能否求出该点的电势?如果只知道电场中某点的电势,能否求出该点的场强?为什么?参考解答:由电势的定义:式中为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强,所以,如果只知道电场中某点的场强,而不知道路径上各点的场强表达式,不能求出该点的电势。由场强与电势的关系:场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只知道电场中某点的电势值,而不知道其表达式,就无法求出电势的空间变化率,也就不能求出该点的场强。4.从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘,它们严重污染了环境,影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程,在模拟烟囱内,可以看到,有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源,烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源,烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工作电压,即当工作电压达到什么数量级时,可以实现良好的静电除尘效果。参考解答:先来看看静电除尘装置的结构:在烟囱的轴线上,悬置了一根导线,称之谓电晕线;在烟囱的四周设置了一个金属线圈,我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上,负极接在电晕线上,如右上图所示。可以看出,接通电源以后,集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场,电晕线周围电场最大。改变直流高压电源的电压值,就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场相近时空气发生电离,形成大量的正离子和自由电子。自由电子随电场向正极飘移,在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞,这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了荷电粒子,这样就使原来中性的尘埃带上了负电。在电场的作用下,这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动,并最后附着在集电极上。(集电极可以是金属线圈,也可以是金属圆桶壁)当尘埃积聚到一定程度时,通过振动装置,尘埃颗粒就落入灰斗中。这种结构也称管式静电除尘器。如右中图所示。对管式静电除尘器中的电压设置,我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示,ra与rb分别表示电晕极与集电极的半径,L及D分别表示圆筒高度及直径。一般L为3-5m,D为200-300mm,故L>>D,此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。设单位长度的圆柱面带电荷为。用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r处点P的场强为:式中为沿径矢的单位矢量。内外两极间电压U与电场强度E之关系为,将
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