正方形的性质与判定 数学北师大版九年级上册

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定初中数学北师大版九年级上册第1课时正方形的性质矩形变正方形一组邻边相等菱形变正方形一个角是90°探究新知，经历过程图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？你能总结出正方形的定义吗？正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.议一议（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角相关图形性质的关系平行四边形的性质对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形的性质四条边相等对角线互相垂直四个角都是直角对角线相等矩形的性质正方形的性质正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.AB=BC=CD=DA∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°AO=BO=CO=DO，AC⊥BD想一想正方形有几条对称轴？正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.正方形有4条对称轴.

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.（2）延长BE交DF于点M.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗？与同伴交流.平行四边形矩形菱形正方形如图，在正方形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O，图中有多少个等腰三角形？【选自教材P21随堂练习】巩固练习，深化提高解：图中共有8个等腰三角形.△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB2.如图，在正方形ABCD

中，点F为对角线AC

上一点，

连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其

中一对进行证明.解：图中的全等三角形共有3对，分别是△ADC

与△ABC,△FCD与△FCB,△FAD与△FAB．【选自教材P21随堂练习】2.如图，在正方形ABCD

中，点F为对角线AC

上一点，

连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其

中一对进行证明.选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB.【选自教材P21随堂练习】【选自教材P22习题1.7第1题】3.对角线长为2cm的正方形，边长是多少？解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°△ABC是等腰直角三角形，AB2+BC2=AC2=4，∴AB=【选自教材P22习题1.7第2题】4.如图，四边形ABCD

是正方形，△CBE是等边三角形，

求∠AEB

的度数.证明:∵△BEC是等边三角形，∴BE=EC=BC=AB，∴△ABE

是等腰三角形，∴∠ABE=90°-60°=30°∴∠AEB==75°【选自教材P22习题1.7第3题】5.如图，A，B，C，D

四家工厂分别坐落在正方形城镇的四

个角上.仓库P

和Q

分别位于AD和DC

上，且PD=QC.

证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ.证明:如图,AQ

与BP

交于点O．在正方形ABCD

中,∵PD

＝QC,∴DQ＝AP．又∵AB＝AD,∠D

＝∠PAB＝90°,∴△ABP≌△DAQ．∴BP

＝AQ,∠DAQ＝∠ABP

．∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．∴∠AOP

＝90°．∴BP

＝AQ且BP⊥AQ．6.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条

直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）.你有几种方法？【选自教材P22习题1.7第4题】课堂小结这节课你们都学会了哪些知识？状元成才路正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边相等.第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定初中数学北师大版九年级上册第2课时正方形的判定创设情境，导入新课正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边相等.将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？探究新知，经历过程提示：剪口线与折痕成45°角即可。有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？判断四边形是正方形有哪些方法？1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.

例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF

是平行四边形.∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定义）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=______.②若EF=8cm,则AC=______.你还记得三角形的中位线定理吗？30°16cm一般四边形的中点四边形如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？任意四边形的中点四边形

是平行四边形.几何画板.GSP

如果四边形

ABCD

变为特殊的四边形，中点四边形

EFGH会有怎样的变化呢？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形？菱形？正方形？平行四边形的中点四边形平行四边形的中点四边形会是什么形状？平行四边形的中点四边形是平行四边形.你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）几何画板.GSP矩形的中点四边形矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形.你能试着证明这个结论吗？几何画板.GSP已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为菱形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）菱形的中点四边形菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形.几何画板.GSP你能试着证明这个结论吗？已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）正方形的中点四边形正方形的中点四边形会是什么形状？几何画板.GSP原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再证明.已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的对角线相等）

AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2=90°.∴四边形EFGH

为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形归纳

决定中点四边形

EFGH

的形状的主要因素是原四边形

ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形已知：如图，E，F

是正方形ABCD

的对角线BD

上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF

是菱形.【选自教材P25习题1.8第2题】巩固练习，深化提高证明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四边形AECF是菱形．2.如图，在正方形ABCD

中，E，F，G，H

分别在它的

四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是

什么特殊四边形？你是如何判断的？解：四边形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝