统计学第9章(时间序列)

第九章时间序列分析第一节时间序列的编制一、时间序列的概念和作用

1、定义：通常把反映某种事物在时间上变化的统计数据，按照时间顺序排列起来得到的序列称为时间序列，也称动态序列。时间序列的两个基本要素：一个是被研究现象所属时间，另一个是该现象在一定时间条件下的统计指标数值。年份年末人口数（万人）年平均人口数（万人）国内生产总值（亿元）人均国内生产总值（元/人）国内生产总值发展速度环比速度（%）定基速度（%）

19781980198519901991199219931994199519969625998705105851114333115823117171118517119850121121122389—981241051041135191150781164971178441191841204861217553624.14517.88964.418547.921617.826638.134634.446759.458478.168593.8—4608531634187922872939392348545634111.7107.8113.5103.8109.2114.2113.5112.6110.5109.6100116.0192.9281.7307.6351.4398.8449.3496.5544.2

我国人口和生产总值时间数列2、编制时间数列的作用1）描述事物的发展状况和结果。2）研究事物的发展趋势和发展速度。3）探索事物发展变化的特点和规律。4）建立数学模型，对事物发展的未来状况进行科学的预测。

时间序列的分析目的分析目的分析过去描述动态变化认识规律揭示变化规律预测未来未来的数量趋势二、时间数列的种类

按指标表现形式的不同，时间数列可分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。

(一)绝对数时间数列：是由一系列绝对数指标，即总量指标，按时间顺序排列而成的数列。它是时间数列中最基本的表现形式，用以反映事物在不同时间上所达到的绝对水平。

1．时期数列：反映现象在各段时期内发展过程的总量2．时点数列：反映现象在各时点所达到的水平(二)相对数时间数列：是由一系列相对数指标按时间顺序排列而成的数列。反映现象之间相互关系的发展变化过程。1.静态相对数时间数列是由两个指标相应时期的水平值对比计算形成的；如，人均国内生产总值。2.动态相对数时间数列是由同一指标不同时期水平值对比计算形成的；如，国内生产总值发展速。

(三)平均数时间数列：是由一系列平均数按时间顺序排列而成的数列

。它反映现象一般水平的发展过程和发展趋势。三、时间数列的编制原则

1．时间数列中的各个指标所属时间长短应前后一致。2．时间数列中各指标所反映现象的总体范围应一致。

3．时间数列中各指标的经济内容应一致。4．时间数列中各指标的计算口径应该相同。计算口径主要是指计算方法、计算价格和计量单位等。

第二节

时间数列的基本分析指标

动态分析：现象发展的水平分析、现象发展的速度分析。水平分析是速度分析的基础，速度分析是水平分析的深入和继续。一、时间数列的水平分析指标(一)发展水平在时间数列中，指标在不同时间上的数值称为发展水平，它表明某一事物在各个时期达到的实际水平。通常用a0，al，…，an表示。a0称为期初水平，an称为期末水平，其余为中间水平。所研究的时期称为报告期，相应的水平称为报告期水平。用于作比较的时期称为基期，相应的水平称为基期水平。

(二)平均发展水平

平均发展水平是各个时期发展水平的平均值，又称序时平均数或动态平均数，它表明社会经济现象某一标志值在不同时间上发展状况的一般水平。序时平均数与一般平均数(也称静态平均数)不同（1）一般平均数是总体各单位之间标志值的平均，而序时平均数则是时间数列中各时间单位间发展水平的平均；（2）一般平均数是从静态上说明现象的一般水平，是根据变量数列计算的，而序时平均数是从动态上说明现象的一般水平，是根据时间数列计算的。1．绝对指标时间数列序时平均数的计算(1)时期数列序时平均数的计算

(2)时点数列序时平均数的计算①连续时点数列序时平均数的计算

第一种情况：资料逐日登记且逐日排列，用简单算术平均数计算

第二种情况：资料不是逐日登记，只在数值发生变动时才登记，需用加权算术平均数的方法计算。

日期1-45-78-1314-2021-2324-2829-30库存（台）49523929433851某商品6月份库存量记录该商品6月份平均日库存量为时间

4月5月6月7月期初商品库存额（万元）180200220230某企业期初商品库存额1)间隔相等第二季度平均商品库存额为一般计算公式为(首末折半法)②连续时点数列序时平均数的计算时间12月31日1月31日5月31日8月31日10月31日12月31日存款余额（百万元）9080110120100130某储蓄所1997年储蓄存款余额2)间隔不相等本年度该储蓄所平均存款余额为2．相对或平均指标时间数列序时平均数的计算由相对数时间数列计算序时平均数，必须根据时间数列指标的分子和分母资料，分别计算子项数列和母项数列的序时平均数，然后将这两个序时平均数对比求得。计算公式为：式中，为相对数或静态平均数时间数列的序时平均数：分子数列的序时平均数：分母数列的序时平均数分子、分母数列序时平均数的计算，根据指标类型的不同采用相应的方法。时间1月2月3月4月A商品销售额（万元）100012001100B期初商品库存额（万元）

600

500

400600C商品流转次数

1.8

2.7

2.2该企业第一季度月平均商品流转次数为:第一季度商品流转次数为:2.2×3=6.6（次）某商业企业商品流转情况(三)增长水平

增长水平是两个不同时期发展水平之差，又称增长量，表明现象在一定时期内增长的绝对数量

增长量＝报告期水平－基期水平

逐期增长量＝报告期水平－前一期水平

累积增长量＝报告期水平－某一固定时期水平(四)平均增长水平平均增长水平是时间数列中各逐期增长量的序时平均数

二、时间数列的速度分析指标(一)发展速度——两个不同时期发展水平的比值，是用相对数形式表示的现象发展程度的动态相对指标。环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，说明现象逐期发展程度

定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在较长一段时期内总的发展程度(二)增长速度增长速度是增长量与基期水平的比值，是表明现象增长程度的相对指标

增长1%绝对值：1%的增长速度带来的绝对效果(三)平均发展速度:

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，说明现象在一定时期内逐期平均发展变化的程度。

平均增长速度=平均发展速度-1(或100％)1．几何平均法(水平法)简单几何平均法加权几何平均法。若已知一个较长时期内各段的平均发展速度，则可用各段年份数为权数进行加权几何平均，得出整个时期的年平均发展速度。设各年段份数为则总平均发展速度为：加权几何平均法:年份1978-1980年1980-1985年1985-1990年1990-1995年平均发展速度(%)106.3110.8109.2105.22．方程式法（累计法）基本思路：假定现象从最初水平a0出发，每期按平均速度发展，计算的各期水平之和等于实际各期水平之和，即：解这个高次方程式比较麻烦，在实际工作中，通常是通过查《平均增长速度查对表》来求平均发展速度。

3.不同方法计算的平均速度指标的比较几何平均法（水平法）方程式法（累计法）计算简单求解方程难与中间水平无关，只与期初、期末水平有关，关注期末水平与各水平值有关，关注各期水平的累计适用于发展比较平衡的数列如，国民生产总值水平指标平均发展速度的计算适用于侧重于观察全期累计总量指标平均发展速度的计算如，基建投资总额第三节时间数列构成因素分析一、时间数列的构成因素及分析模型

按作用特点和影响效果大体可分为四种

(1)长期趋势(T，Trend)：指现象在一段较长时间内，由于普遍的、持续的、决定性的基本因素的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐向上或向下变动的趋势。(2)季节变动(S，SeasonalVariation)：现象受自然因素或人文习惯因素影响，一年内随季节交替和天气变化而表现出的具有季节性特征的周期变动。

(3)循环波动(C，CyclicalVariation)

：事物受非季节的周期性因素作用而表现出的一种周期较长(通常为一年以上)的涨落起伏的波动。

(4)不规则变动(I，IrregularVariation)（又称随机变动）：现象在发展过程中受各种偶然的随机因素影响而表现出的不规则波动。

现象变动趋势分析就是要把动态数列受各类因素的影响状况分别测定出来，搞清研究对象发展变换的原因及其规律，为预测未来和决策提供依据。按四种因素对时间数列的影响方式不同，可以提出多种分析模型，常用的有以下两种加法模型：假定时间数列的实际观测值是由各种变动因素以总和形式叠加组合构成的

Y=T+S+C+I乘法模型：假定时间数列的实际观测值是由各种变动因素以乘积形式叠加组合构成的

Y=T×S×C×I

等价于二、长期趋势分析

排除一些偶然因素的影响，研究现象发展变化的规律，并对其发展变化的总趋势做出判断。（一）长期趋势的修匀法1．随手描绘法随手描绘法是将时间数列的数据描绘在平面坐标图上，然后在实际资料曲线图上随手画出趋势直线或趋势曲线，使趋势线穿插于实际曲线之中。2．时距扩大法时距扩大法是将时间数列中各期指标数值按较长的时距加以归并，列成一个新的简化的时间数列，以消除原数列中其他因素的影响，从而显示出长期趋势的变动。

时间销售量时间销售量时间销售量时间销售量19931季2季3季4季122191819941季2季3季4季1633132219951季2季3季4季1633173019961季2季3季4季24412130合计60—84—96—116平均15—21—24—29某商品销售量单位：吨

3.移动平均法：选定时距项数N，逐步递移，对原序列中递移的N项计算一系列序时平均数，得到一个新的时间序列，即是长期趋势时间序列。特点：（1）N越大，修匀作用越强，但N大，又会失去较多信息（2）N为奇数时，只需一次移动平均；N为偶数时，需再进行一次两项移动平均（3）对于没有周期性变动的资料，一般多采用奇数项移动平均，这样可以不必进行二次平均；对于具有周期性变动的资料，应以周期的长度作为移动平均的项数；对于存在季节性变动的月份或季度资料，最好采用四项或十二项移动平均；

年份季度销售量3期移动4期移动（1）4期移动（2）199312341221918—141614－－15161920212121222426232424－－——15.517.519.520.521.021.021.52325.024.523.524.0——1994123416331322222123171995123416331730242227241996123424212130252224—某商品销售量移动平均计算表（二）数学模型法数学模型法是在对时间数列进行分析判断或对曲线进行修匀观察，确定其性质和特点的基础上，利用数学模型对其进行描述，并根据时间数列中的数据将模型中的参数估计出来，从而求出趋势方程，并推算出各期的趋势值。1、常用的趋势模型：（记时间为t，长期趋势为T（t））（1）直线趋势模型：（2）指数曲线趋势模型：（3）修正指数曲线趋势模型：（4）二次曲线趋势模型：（5）龚珀茨曲线趋势模型：（6）逻辑曲线趋势模型：2、直线趋势模型的最小二乘估计对称取t使得∑t=0，时间序列为奇数期时，时间t的取值为：…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…。时间序列为偶数期时，时间t的取值为：…，-5，-3，-1，1，3，5，…。上面的公式可简化为3、指数曲线趋势模型参数a、b的估计4、二次曲线趋势模型参数a、b、c的估计5、趋势线类型的选择

对时间序列拟合其长期趋势方程时，通常可参考以下作法：(1)绘制散点图，确定趋势方程。(2)分析时间序列的数据特征,选择趋势方程。K次差大致为一常数时，配合k次曲线；各环比发展速度大致为一常数时，配合指数曲线。(3)用一个方程不能较好拟合时，可采用分段拟合的方法。(4)对一个时间数列，如果采用上述方法，仍难以判断选择何种趋势方程，这时可将各种趋势线都配合出来，以估计的标准误差最小者为最合适的趋势方程。估计标准误差的计算公式：

n为序列的项数，k为曲线参数的个数。三、季节变动分析

季节变动的规律通过用季节指数或称季节比率来反映。季节比率大于100％，说明现象处在“旺季”；季节比率小于100％说明现象处于“淡季”。（一）同期直接平均法1．将各年同季或同月数据按年顺序排列2．各年同期数值求和平均，得各季或各月平均数3．各季或各月平均数求和平均，得全部数据的总平均数4．各期平均数除以总平均数，得季节指数使用这种方法的基本条件是：第一，要有至少连续三年以上各季或各月的数据资料；第二，实际时间数列中没有明显的长期趋势和循环波动。年份一季度二季度三季度四季度合计19941995199649484498105100159158171494955355360370合计1413034881531085平均47101162.75190.4季节指数（%）52111.718056.4400.1(二)长期趋势剔除法

考虑长期趋势的影响，先将时间数列中长期趋势剔除，再计算季节指数，这种方法叫长期趋势剔除法。基本思路是：先测定时间数列的长期趋势，将趋势值从原时间数列中消除，然后再测定季节变动。长期趋势值的测定，可用最小二乘法，也可用移动平均法。因此也有了趋势比率法和移动平均比率法的区别.实际中，考虑到计算方便，常用移动平均法测长期趋势值。设给定的时间数列为y1,y2,y3,…，其乘法模型为：y(t)=T(t)·

S(t)·

C(t)·

I(t)，则用移动平均法测定季节变动的步骤为：1．求各期移动平均数，得趋势循环值T·C。

4个季度或12个月移动平均，可以使季节变动和随机变动大致正负相抵，从而得到相应各期的趋势循环值，即移动平均数2．各期实际观测值除以其移动平均数，得各期季节随机值。即：3．各年同期季节随机值求和平均，使随机变动大致正负相抵，得各期季节指数S(t)。即：

4．分摊计算误差

由于计算过程中小数的四舍五入，可能产生一定的计算误差，使得各期季节指数之和不等于400%或1200%，这时需将累计误差分摊到各季或各月中去。其方法是：（1）计算调整系数：（2）计算修正季节指数：修正季节指数=各期季节指数×调整系数年份季度销售量yt移动平均数季节随机值199312341221918——15.517.5——58.06102.86199412341633132219.520.521.0