吉林省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题

高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章2.3。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的斜率为A．B．2C．-2D．2．若点P（-1，2）到直线l：的距离为，则a＝A．5B．-15C．5或-15D．-5或153．已知空间向量，，且，则k＝A．-6B．-8C．2D．-104．已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．5．在空间四边形OABC中，，，，且，，则A．B．C．D．6．空间内有三点P（3，1，-4），E（2，1，1），F（1，2，2），则点P到直线EF的距离为A．B．C．D．7．在如图所示的多面体中，，，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为A．B．C．D．8．已知二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面α与β的夹角为A．30°B．60°C．120°D．135°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线l过点（0，2），，则A．直线l的倾斜角为150°B．直线l的两点式方程为C．直线l的一个方向向量为D．直线l的截距式方程为10．对于直线l：，下列选项正确的是A．直线l恒过点（2，-1）B．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为C．若直线l不经过第二象限，则D．坐标原点到直线l的距离的最大值为11．已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是A．若，则CP的最小值为2B．若，则三棱锥P-ABC的体积为定值C．若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为D．若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________．13．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为________．（用坐标表示）14．已知点P（1，4），Q（6，3），直线l：，M为直线l上一动点，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线，直线．（1）若，求，之间的距离；（2）若，求，及x轴围成的三角形的面积．16．（15分）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点．设，，．（1）用基底表示向量．（2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由．17．（15分）在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．（1）证明：．（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．18．（17分）已知△ABC的顶点A（5，1），B（4，3），直线l：过定点G．（1）若G是△ABC的重心，求△ABC三边所在直线的方程；（2）若，且，求顶点C的坐标．19．（17分）如图，，，，，，．（1）证明：．（2）若三棱锥F-BDE的体积为1，求平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值．高二数学试卷参考答案1．A直线的斜率为．2．C点P到直线l的距离，解得或-15．3．C因为，所以，解得．4．D设直线l的倾斜角为α，则．因为，且，所以．5．B．6．A因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．因为，所以点P到直线EF的距离为．7．A如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），，C（-1，0，0），Q（0，0，2），所以，，所以．8．B因为，所以．因为，，，，，，所以，所以．因为，所以，故平面α与β的夹角为60°．9．ABD因为直线l过点（0，2），，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确；直线l的两点式方程为，截距式方程为，所以B，D正确．10．ABD可变形为，由得所以直线l恒过点（2，-1），故A正确；当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；因为直线l过定点（2，-1），所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．11．BCD如图，建立空间直角坐标系，则，B（0，1，0），C（0，-1，0），，，．因为，所以，所以，所以．当，时，，所以A错误；因为，所以，所以点P到平面ABC的距离为定值，即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；因为，平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，所以，，当时，，所以C正确；因为，所以，由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，，所以D正确．12．；因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为．因为直线l过点，所以直线l的方程为，故直线l在x轴上的截距为．13．（-1，2，1）因为，所以，所以．因为，所以在上的投影向量为．14．设P关于l的对称点为，则解得即．因为，所以的最小值为．15．解：（1）因为，所以，整理得，解得或．当时，，，，重合；当时，，，符合题意．故，则，之间的距离为．（2）因为，所以，解得．，的方程分别为，．联立方程组得．因为，与x轴的交点分别为（-3，0），（2，0），所以，及x轴围成的三角形的面积为．16．解：（1）因为，，所以．（2）假设棱BC上存在点G，使得，设．因为，所以．因为，所以，得，所以棱BC上不存在一点G，使得．17．（1）证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，2，0），B（1，0，0），C（0，0，1），F（0，1，1），E（1，3，0）．设平面BEF的法向量为，因为，，所以令，得．设平面DEF的法向量为，因为，，所以令，得．因为，所以，所以．（2）解：设直线DF与平面BEF所成的角为α，由（1）知，平面BEF的一个法向量为，则，所以，即直线DF与平面BEF所成的角为．18．解：（1）将l：整理得，由得所以G（0，-1）．设，因为G是△ABC的重心，所以解得所以C（-9，-7）．故AB所在直线的方程为，BC所在直线的方程为，AC所在直线的方程为．（2）因为点G（0，-1）到直线AB的距离，，所以点C到直线AB的距离为．因为，所以点C在AB的垂直平分线上．因为AB的垂直平分线的方程为，所以解得或所以或．19．（1）证明：因为，，所以AB，AD，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，