四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②

四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．3．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．证明：设BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易证△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝＝＝，若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直线AE的解析式．二．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．5．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．6．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．三．四边形综合题（共1小题）7．（2023•南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED＝EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•南充）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．（1）求证：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．五．圆的综合题（共1小题）9．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；（3）求证：2DE2＝CD•OE．六．旋转的性质（共1小题）10．（2023•自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．

四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）x＜﹣2或0＜x＜6；（3）（1，﹣6）或（3，﹣2）．【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，∴C（6，﹣1），将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，联立，解得：或，∴D（﹣2，3），∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，（3）存在，理由：过点A作AE⊥BC交y轴于点E，∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAO＝∠AEO，∵∠AOB＝∠EOA＝90°，∴△AOB∽△EOA，∴，∴，∴OE＝8，∴E（0，﹣8），设直线AE的表达式为：y＝ax+b，将（4，0），（0，﹣8）代入得：，解得：，∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，联立：，解得：或，∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．2．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得．解得．故A（1，3）．将其代入反比例函数y＝，得＝3．解得m＝3．故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝＝5．设P（a，0），当AB＝AP时，5＝．解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．故P（5，0）；当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．解得a＝﹣8或a＝2．故P（﹣8，0）或（2，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．3．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．证明：设BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易证△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝＝＝，若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直线AE的解析式．【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）tan∠BAM＝，tan∠NAE＝；（3）直线AE解析式为y＝x+1．【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），∴OM＝t，AM＝3t﹣9，∵OA＝5，∴t2+（3t﹣9）2＝52，解得t＝4或t＝1.4，∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：3＝，解得m＝12，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，解得x＝3，∴B（3，0），∴OB＝3，由（1）知A（4，3），∴OM＝4，AM＝3，∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，∴tan∠BAM＝＝，∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，∴∠MAN＝90°，∵∠BAE＝45°，∴∠BAM+∠NAE＝45°，由若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝可得：tan∠NAE＝；（3）由（2）知tan∠NAE＝，∴＝，∵A（4，3），∴AN＝4，ON＝3，∴＝，∴NE＝2，∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，∴E（0，1），设直线AE解析式为y＝kx+b，把A（4，3），E（0，1）代入得：，解得，∴直线AE解析式为y＝x+1．二．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）P（﹣，），的最大值为；（3）点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵PE∥x轴，∴△EPD∽△ABD，∴＝，∴＝＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，CM＝＝|m|，∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，而PM∥y轴，∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，∴∠PCM′＝∠MPC，∴∠PCM＝∠MPC，∴PM＝CM，∴|m2+3m|＝|m|，当m2+3m＝m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，此时点M（﹣3，）；当m2+3m＝﹣m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，此时点M（﹣﹣3，﹣）；综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．5．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．【答案】（1）抛物线函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）①m的值为﹣，EF的最大值为；②E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，在y＝﹣3x+3中，令x＝﹣2得y＝9，∴抛物线顶点为（﹣2，9），设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，将A（1，0）代入得：0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；（2）①如图：在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0得y＝5，∴C（0，5），由B（﹣5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝x+5，∴E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），∴EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，EF取最大值，∴m的值为﹣，EF的最大值为；②∵E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），∴EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；若EF＝EC，则（m2+5m）2＝m2+（m2+4m）2，解得m＝0（E与C重合，舍去）或m＝﹣4，∴E（﹣4，5）；若EF＝FC，则（m2+5m）2＝2m2，解得m＝0（舍去）或m＝﹣5或m＝﹣﹣5（不符合题意，舍去），∴E（﹣5，﹣2+6）；若EC＝FC，则m2+（m2+4m）2＝2m2，解得m＝0（舍去）或m＝﹣3或m＝﹣5（不符合题意，舍去），∴E（﹣3，8）；综上所述，E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．6．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3），（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）是定值为16，理由见解答．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，解得：m＝0（舍去）或2，则点P（2，3）；当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，解得：m＝1±，则点P的坐标为：（2，3），（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）是定值，理由：直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，设点G、H的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3），联立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，令y＝0，则x＝1+，即点M（1+，0），则EM＝1﹣1﹣＝﹣，同理可得，EN＝，则EM•EN＝﹣×＝﹣＝＝＝16．三．四边形综合题（共1小题）7．（2023•南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED＝EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△CMB′是等腰直角三角形，理由见解析；（3）BM＝．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∵E为AM的中点，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠EAD＝∠EBC，在△EAD和△EBC中，，∴△EAD≌△EBC（SAS），∴ED＝EC；（2）解：△CMB′是等腰直角三角形，理由如下：根据旋转的性质可得，EB′＝EB，∵EB＝AE＝ME，∴EB′＝AE＝ME，∴∠EAB′＝∠EB′A，∠EMB′＝∠EB′M，∵∠EAB′+∠EB′A+∠EB′M+∠EMB′＝180°，∴∠AB′M＝90°，∴∠MB′C＝90°，在正方形ABCD中，∠ACB＝45°，∴∠B′MC＝45°，∴B′M＝B′C，∴△CMB′是等腰直角三角形；（3）解：延长BE交AD于点F，如图所示：∵∠BEM＝2∠BAE，∠B′EM＝2∠B′AE，∵∠BAB′＝45°，∴∠BEB′＝90°，∴∠B′EF＝90°，∵∠DEB′＝45°，∴∠DEF＝45°，∵△EAD≌△EBC，∴∠AED＝∠BEC，∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CEM＝∠DEF＝45°，∵∠MCA＝45°，∴∠CEM＝∠MCA，又∵∠CME＝∠AMC，∴△CME∽△AMC，∴CM：AM＝EM：CM，∵EM＝AM，∴，在正方形ABCD中，BC＝AB＝1，设BM＝x，则CM＝1﹣x，根据勾股定理，AM2＝1+x2，∴＝（1﹣x）2，解得x＝或x＝2+（舍去），∴BM＝．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•南充）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．（1）求证：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）OC＝．【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵CO＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠ADC＝∠AOC＝45°，∴∠OCA＝∠ADC；（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝AD＝，∵tanB＝＝，∴BE＝3AE＝3，∴AB＝＝＝2，在Rt△ABF中，tanB＝＝，∴AF＝AB＝，∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B，∴tan∠OCF＝＝，设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r﹣，∴3（r﹣）＝r，解得r＝，∴OC＝．五．圆的综合题（共1小题）9．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；（3）求证：2DE2＝CD•OE．【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长为；（3）证明见解答．【解答】（1）证明：连接OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC，∵OB、OD是⊙O的半径