数学-江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期9月期初质量监测试题和答案

2024~2025学年度上学期高三期初试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为2．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，则A∩B=A．{3，4}B．{0，3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为4．由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为6．随机变量X服从N(μ,σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，则下列选项一定正确的是A．P(X|≥3)＝1B.σ=1C.μ=2D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点N为侧面四边形CDD1C1的中心，则四面体NCB1C1的外接球的体积为8．已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)=0，则以下选项错误的是第14题(图)A．f(1)＝0B．f(x)图象关于(2，0)对称C．f(x)图象关于(1，0)对称D．f(x)为偶函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列求导运算正确的是′=3exB.′=2cosxD.10．已知P则下列说法正确的是11．函数y＝f(x)的定义域为I，区间D⊆I，对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒满足则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”．下列函数在定义域上为凸函数的是=lnxB．f＝exC．f＝x2D．f三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为▲.13．已知二次函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率为2Δx＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)=▲.14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图)．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是▲.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X).如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝2V3，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点.(1)证明：DF∥平面ACE；(2)求二面角A－CE－B的正弦值.(第16题图)我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab等号成立.(1)证明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，+∞)).(2)已知函数f(x)＝x2+.①解不等式f(x)≥5；②对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求实数m的取值范围.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD＝45°,∠BAD＝60°,(1)求AC1的长度；(2)求二面角B－AA1－D的大小；(3)求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积.(第18题图)(1)函数y＝f(x)是否具有奇偶性?为什么?(2)当a1时，求f(x)的单调区间；(3)若f(x)有两个不同极值点x1，x2，证明：f2024~2025学年度上学期高三期初试卷1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】借助百分位数定义计算即可得.故选：C.【答案】B故选：B.A.4B.42C.6D.82【答案】B 的最小值为4-2.故选：C故选：B4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为()A.B.C.D.【答案】A而其中偶数有两种情况：所以，这个三位数是偶数的情况共有2+2=4种，所以，这个三位数是偶数的概率为事件A，则P故选：A.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为()A.3B.C.D.【答案】C取BC中点D，连接AD，取等边三角形ABC的中心O，连接PO，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，即三棱锥P-ABC的高为PO，则下列选项一定正确的是()AP（X≥31B.σ=1.【答案】C由正态分布的对称性，可得μ=2，正态分布方差无法判断，P(X≥3)<1，P(X≥3)+P(X≤1)<1，所以ABD错误.故选:：C7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点N为侧面四边形CDD1C1的中心，则四面体NCB1C1的外A.2πB.4πC.2πD.【答案】D【解析】如图：取B1C中点O，连结NO,NC,NC1,NB1,ND1,B1D1，因为ABCD-A1B1C1D1的棱长为2的正方体，所以OC=iOB1=OC1=，且B1D1所以四面体NCB1C1的外接球的球心为为O，且外接球半径R=2，所以四面体NCB1C1的外接球的体积.故选：D.8.已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1-x)f(1-y)+f(x+y)=f(x)f(y)，且f(0)≠0,f(-1)=0，则以下选项错误的是()A.f(1)=0B.f(x)图象关于(2,0)对称C.f(x)图象关于(1,0)对称D.f(x)为偶函数【答案】B【解析】对于A，令x=1,y=0，则f(0)f(1)+f(1)=f(1)f(0)，所以f1)=0，故A正确；对于B，令x=y=0，则f(1)f(1)+f(0)=f(0)f(0)，即f(0)=f2(0)，解得：f(0)=0或f(0)=1，因为f(0)≠0，所以f(0)=1，令x=y=1，f(0)f(0)+f(2)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1，所以f(x)图象不关于2,0对称，故B错误；对于C，令y=1，则有f(1-x)f(0)+f(x+1)=f(x)f(1)即f(1-x)+f(x+1)=0，故f(x)图象关于1,0对称，故C正确.对于D，令y=-1，则有f(1-x)f(2)+f(x-1)=f(x)f(-1)即-f(1-x)+f(x-1)=0，即f(x-1)=f(1-x)，即f(x)=f(1-x-1)=f(-x)，因为函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故D正确.故选：B.公众号：高中试卷君9.下列求导运算正确的是()C.(2sinx-3)/=2cosx【答案】CD【解析】对于A选项，(e3x)/=e3x.(3x)'=3e3x，A错误；对于C选项，(2sinx-3)/=2cosx，C正确；对于D选项D正确.故选：CD.10.已知事件A与B发生的概率分别为则下列说法正确的是()B.P(A|B)>【答案】BD【解析】对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以不一定成立，故A错误；对于B，由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)≤1，则P(AB)≥,对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以也不一定成立，故C错误；故选：BD.则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是A.f(x)=lnxB.f(x)=exCf(x)=x2D.f(x)=·.【答案】AD化简可得2≥0，故满足题意，故A正确；对B：x1，x2又故此时不满足题意，故B错误；对C：x1，x2化简得(x1-x2)2≤0恒成立，不满足题意，故C错误；对D：x1，x2左右平方后化简可得2≥0，故满足题意，故D正确.故选：AD.12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.【答案】【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数X满足二项分布故答案为：13.已知二次函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率为2Δx+3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)=.【答案】2x2-x（答案不唯一）【解析】设fx=ax2+bx+c，显然c的取值不改变结果，不妨取c=0，则f(x)=2x2-x.故答案为：2x2-x14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是.【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，由对称性知，勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O，设正四面体ABCD的外接球半径为R，在Rt△BOO1中，R2=解得，因此，勒洛四面体ABCD内切球半径为故答案为：.15.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X).【答案】（12）答案见详解从6张奖券中，任取2张奖券共有C=15种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为【小问2详解】X的所有可能取值为80，85，90，:X的分布列为：90 PD丄AB，E，F分别是棱PB，PC的中点.（1）证明：DF//平面ACE；（2）求二面角A-CE-B的正弦值.【答案】（1）证明见详解如图，连接EF，因为E,F分别为PB,PC的中点，所以EF//BC，EF=又AD//BC，AD=，所以EF//AD，EF=AD，所以四边形ADFE是平行四边形，则DF//AE，因为AE平面ACE，DF丈平面ACE，所以DF//平面ACE.【小问2详解】因为AD丄平面PAB，PA,AB平面PAB，所以AD丄AP，AD丄AB，又AB丄PD，AD,PA是平面PAD内两条相交直线，:AB丄平面PAD，又PA平面PAD，:AB丄PA，所以AB,AP,AD两两互相垂直，，，设平面ACE的一个法向量为-=(x1,y1,Z1)，-设平面BCE的一个法向量为=(x2,y2,z2)，设二面角A-CE-B的平面角为θ, 所以二面角A-CE-B的正弦值为.a22=2ab等号成立．公众号：高中试卷君①解不等式f(x)≥5；②对任意x∈0,+∞,f(x)≥m2+2m恒成立，求实数m的取值范围.)，则a3+b3-(a2b+b2a)=a3-a2b+b3-b2a=a2(a-b)+b2(b-a)2b+b2a（当且仅当a=b时取等同理a332c2a（当且仅当a=c时取等b332c2b（当且仅当c=b时取等2c2a2c2bc2+a2)3【小问2详解】所以解得当且仅当，即x=1时取等，xx所以当x∈0,+∞时，f(x)min=3，则m2 （1）求