2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用（教师用书）教案新人教A版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用，主要包括以下内容：

1.定积分在几何中的应用，如求平面图形的面积、曲线围成的面积等；

2.定积分在物理中的应用，如求解变力做功、物体运动的路程等问题；

3.定积分在其他领域的应用，如经济学中的消费者剩余、生产者剩余等。

本节课将结合教材实例，引导学生理解定积分的物理意义和几何意义，培养学生的实际应用能力。教学中注重联系实际，让学生在实际问题中感受数学的魅力，提高解决问题的能力。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数据分析三个方面。通过学习定积分的简单应用，引导学生：

1.运用逻辑推理能力，理解定积分的定义及其性质，推导出定积分在几何和物理中的应用公式；

2.培养数学建模素养，将实际问题转化为数学模型，运用定积分解决几何和物理问题；

3.提高数据分析能力，通过对实例的分析，让学生掌握定积分在实际问题中的应用方法，并能对结果进行合理推测和解释。

在教学过程中，注重培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升学生的数学核心素养。三、教学难点与重点1.教学重点

（1）理解定积分的定义及其性质，掌握定积分的计算方法；

（2）运用定积分求解几何图形的面积、物理学中的变力做功等问题；

（3）通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。

举例：以求解曲线围成的面积为例，重点讲解定积分的计算步骤，强调积分上下限的确定和被积函数的选择。

2.教学难点

（1）定积分在几何和物理中的应用公式的推导，尤其是积分上下限的确定；

（2）将实际问题抽象为数学模型，理解定积分在实际问题中的意义；

（3）对于定积分结果的解释和分析，如物体运动路程与时间的对应关系。

举例：在求解物理学中的变力做功问题时，难点在于如何将变力转化为定积分的形式，以及如何确定积分的上下限。此时，教师应通过图示和实例，引导学生理解变力做功与定积分之间的关系，帮助学生突破难点。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解定积分的定义、性质和计算方法，为学生奠定坚实的理论基础；

2.讨论法：针对定积分在实际问题中的应用，组织学生进行小组讨论，激发学生的思考和分析能力；

3.实验法：利用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）进行定积分计算实验，让学生在实践中掌握方法。

教学手段：

1.多媒体设备：运用PPT、动画等展示定积分的计算过程和几何意义，提高学生的直观理解；

2.教学软件：利用数学软件进行课堂演示和课后练习，提高教学互动性和学生的学习兴趣；

3.网络资源：提供相关教学视频和拓展阅读材料，帮助学生巩固所学知识，拓宽视野。五、教学过程首先，让我们一起来回顾一下定积分的基本概念。在之前的学习中，我们已经知道了定积分可以用来求解曲边图形的面积，以及物理学中的一些问题。今天，我们将进一步探讨定积分在实际问题中的简单应用。

1.导入新课

（1）通过PPT展示一些实际问题，如物体在变力作用下的运动、曲线围成的图形面积等，引导学生思考如何运用定积分来解决这些问题。

（2）邀请几名学生分享他们对这些问题的看法，激发学生的学习兴趣。

2.知识讲解

（1）首先，我们来看定积分在几何中的应用。以曲线围成的图形为例，解释如何确定积分的上下限和被积函数。

（2）通过图示和公式推导，讲解定积分在物理学中的应用，如变力做功、物体运动的路程等。

（3）强调定积分在解决问题时的步骤：建立数学模型，确定积分公式，计算定积分。

3.课堂探究

（1）组织学生进行小组讨论，探讨以下问题：

a.定积分在几何和物理问题中的联系和区别是什么？

b.如何将实际问题转化为定积分的形式？

c.在求解定积分时，如何确定积分的上下限？

（2）每个小组派代表进行分享，总结讨论成果。

4.课堂练习

（1）发放练习题，要求学生在规定时间内完成。练习题包括几何和物理两类问题，旨在巩固所学知识。

（2）邀请部分学生上台展示解题过程，讲解思路。

（3）针对学生的解答，进行点评和指导，强调易错点。

5.知识拓展

（1）介绍定积分在其他领域的应用，如经济学中的消费者剩余、生产者剩余等。

（2）通过实例分析，让学生了解定积分在实际问题中的广泛应用。

6.总结反馈

（1）对本节课所学内容进行总结，强调定积分的几何和物理意义，以及解决实际问题的方法。

（2）邀请学生分享学习心得，了解他们在学习过程中遇到的困难和问题。

（3）针对学生的反馈，给予针对性的指导和鼓励。

7.课后作业

（1）布置课后作业，要求学生完成一定数量的定积分计算题和应用题。

（2）鼓励学生利用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）进行实践操作，提高计算能力。六、学生学习效果1.知识掌握：

-学生理解并掌握了定积分的定义、性质和计算方法，能够熟练地运用定积分求解几何图形的面积。

-学生能够将物理学中的变力做功等问题转化为定积分的形式，并正确地确定积分的上下限。

-学生掌握了定积分在经济学等领域的应用，能够将实际问题抽象为数学模型，并利用定积分进行求解。

2.思维能力：

-学生通过小组讨论和课堂探究，提高了逻辑推理和数学建模的能力，能够独立分析问题，找到解决问题的思路。

-学生在解决实际问题的过程中，学会了如何将复杂问题简化，逐步培养了解决问题的策略和技巧。

3.实践技能：

-学生通过使用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）进行定积分的计算实验，提高了数学实践操作技能。

-学生在课后作业和课堂练习中，通过大量的计算和实际问题求解，增强了数学计算能力和应用能力。

4.学习态度：

-学生对定积分的学习产生了浓厚的兴趣，表现出积极的学习态度和良好的学习习惯。

-学生在学习过程中，愿意主动探索、提问和分享，形成了积极向上的课堂氛围。

5.合作交流：

-学生在小组讨论和课堂分享中，学会了倾听他人意见，提高了团队合作和交流能力。

-学生在讨论中互相学习，互相启发，共同解决了许多疑难问题，增强了集体解决问题的能力。

6.自主学习：

-学生通过本节课的学习，提高了自主学习的能力，能够独立完成课后作业和拓展阅读。

-学生在课后能够主动复习所学知识，通过自我检测和总结，不断巩固和提高定积分的应用能力。七、反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学中，我尝试将实际问题引入课堂，引导学生运用定积分知识解决具体问题，提高了学生的应用能力。

2.利用数学软件进行课堂演示和实验，让学生在直观感受中加深对定积分几何和物理意义的理解，增强了学生的学习兴趣。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对定积分的应用仍然感到困惑，特别是在将实际问题转化为数学模型方面。

2.在课堂组织方面，部分学生的参与度不高，影响了课堂氛围和教学效果。

（三）改进措施

针对上述问题，我计划进行以下改进：

1.针对学生对定积分应用方面的困惑，我将在今后的教学中增加更多实际案例，让学生有更多的实践机会，提高他们解决实际问题的能力。

2.为了提高课堂参与度，我将调整教学方法，如增加小组合作、角色扮演等互动环节，激发学生的学习兴趣，使他们更积极地参与到课堂教学中来。

3.加强课堂监控，关注学生的学习状态，及时发现并解决他们在学习过程中遇到的问题，以提高教学效果。八、重点题型整理八、重点题型整理

1.几何面积计算：利用定积分