2024-2025学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（教师用书）教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第2章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教师用书）教案新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容为高中数学必修4第2章平面向量中的2.2.3节，重点探讨向量数乘运算及其几何意义。首先，通过引导学生回顾向量基本概念和线性运算，进一步深入学习向量数乘的定义、性质及运算规则。在此基础上，将向量数乘与几何图形相结合，让学生理解向量数乘的几何意义，例如，向量数乘与向量长度的关系，以及向量数乘与向量方向的关系。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了向量的基本定义、向量的线性运算，以及平行四边形法则和三角形法则。这些知识为理解向量数乘运算打下了基础，使得学生能够顺利过渡到本节课的内容，并能够将向量数乘的运算和几何意义与之前的向量知识体系相融合。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过向量数乘运算的学习，学生能够抽象出数学概念，理解数与形的内在联系，提高数学抽象素养；在探索向量数乘性质和运算规则的过程中，锻炼逻辑推理能力，培养严谨的数学思维；同时，将向量数乘的几何意义应用于解决实际问题，提升数学建模素养，使学生能够运用数学知识解决现实生活中的向量问题。此外，通过小组合作与交流，提高学生的沟通能力和团队合作精神，促进综合素质的发展。重点难点及解决办法重点：向量数乘的定义、性质、运算规则及其几何意义。

难点：理解向量数乘与向量长度的关系，以及在不同坐标系中的应用。

解决办法及突破策略：

1.通过直观的几何图形和动态演示，帮助学生形象理解向量数乘的几何意义，强化对向量长度变化与数乘关系的认知。

2.引导学生通过实际操作，探索向量数乘的运算规则，运用类比和归纳的方法，使学生从具体实例中抽象出一般性规律。

3.创设问题情境，设计不同难度的习题，由浅入深地引导学生运用向量数乘知识解决实际问题，特别是在坐标系中的应用，帮助学生突破难点。

4.组织小组讨论和分享，鼓励学生表达自己的思考过程，借鉴他人的解题方法，互相启发，共同提高。

5.对学生在学习过程中遇到的问题进行针对性辅导，及时解答疑惑，巩固重点知识，提高学生的自信心。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过生动的语言和形象的表达，系统地讲解向量数乘的定义、性质和运算规则，确保学生掌握基本概念。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流互动中探索向量数乘的几何意义，提高学生的参与度和思考能力。

3.实验法：利用几何画板等教学软件，让学生通过实际操作观察向量数乘的动态变化，增强直观感受，深化理解。

教学手段：

1.多媒体设备：运用PPT、视频等展示向量数乘的几何意义和运算过程，使抽象内容具体化，提高学生的学习兴趣。

2.教学软件：运用几何画板等软件，实时演示向量数乘的动态效果，帮助学生形象理解，提高教学效果。

3.网络资源：整合网络教学资源，提供丰富的例题和练习题，拓展学生的知识视野，提高学习效率。教学过程一、导入新课

1.复习导入

同学们，上节课我们学习了向量的线性运算，回顾一下，向量加法和向量减法有哪些性质和规律呢？（学生回答）很好，今天我们将在此基础上，进一步学习向量的一种新的运算——向量数乘运算。

2.生活实例

在我们日常生活中，大家有没有遇到过这样的现象：用力拉弹簧，拉力越大，弹簧变形程度越大；同样，如果我们用一个向量表示力，那么这个力的作用效果与力的大小有关。这节课我们就来探讨向量与数的关系，以及这种关系在几何上的意义。

二、新课讲解

1.向量数乘的定义

首先，请同学们翻开教材第48页，我们来看一下向量数乘的定义。向量数乘指的是一个向量与一个实数的乘积，记作k·\(\vec{a}\)，其中k是实数，\(\vec{a}\)是向量。

2.向量数乘的性质和运算规则

（1）性质一：实数与向量的数乘满足交换律，即k·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)·k。

（2）性质二：实数与向量的数乘满足结合律，即(k·m)·\(\vec{a}\)=k·(m·\(\vec{a}\))。

（3）性质三：实数1与向量的数乘等于向量本身，即1·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)。

（4）性质四：实数0与向量的数乘等于零向量，即0·\(\vec{a}\)=\(\vec{0}\)。

3.向量数乘的几何意义

现在，我们来探讨一下向量数乘的几何意义。

（1）当实数k大于1时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同。

（2）当实数k小于1（但大于0）时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同。

（3）当实数k等于0时，向量k·\(\vec{a}\)为零向量。

（4）当实数k小于0时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的|k|倍，方向与\(\vec{a}\)相反。

三、例题讲解

下面我们来看一道例题，教材第49页例题1。

题目：已知向量\(\vec{a}\)和实数k，求向量k·\(\vec{a}\)。

解答：首先，根据向量数乘的定义，我们可以知道，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同或相反（取决于k的正负）。接下来，我们根据k的值分情况讨论：

（1）当k>0时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同。

（2）当k<0时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的|k|倍，方向与\(\vec{a}\)相反。

四、课堂练习

下面请同学们独立完成教材第50页的练习题1和2，然后我们一起来交流讨论。

五、总结与拓展

本节课我们学习了向量数乘的定义、性质和几何意义。通过学习，我们知道了向量与实数的乘积仍然是一个向量，其长度和方向与原向量及实数有关。同时，我们还要注意向量数乘在不同坐标系中的应用。

课后，请同学们思考这样一个问题：向量数乘运算在解决实际问题中有什么作用？并尝试在课后习题中寻找答案。

六、课后作业

教材第51页习题1、2、3，请同学们认真完成，下节课我们将一起讨论。知识点梳理1.向量数乘的定义

-向量数乘是指一个实数与一个向量的乘积，记作k·\(\vec{a}\)，其中k为实数，\(\vec{a}\)为向量。

2.向量数乘的性质

-交换律：k·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)·k

-结合律：(k·m)·\(\vec{a}\)=k·(m·\(\vec{a}\))

-单位元：1·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)

-零元：0·\(\vec{a}\)=\(\vec{0}\)

3.向量数乘的几何意义

-实数k>1时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同。

-实数k<1（但k>0）时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的k倍，方向与\(\vec{a}\)相同。

-实数k=0时，向量k·\(\vec{a}\)为零向量。

-实数k<0时，向量k·\(\vec{a}\)的长度是向量\(\vec{a}\)的长度的|k|倍，方向与\(\vec{a}\)相反。

4.向量数乘的运算规则

-向量数乘不满足分配律，即k·(\(\vec{b}\)+\(\vec{c}\))≠k·\(\vec{b}\)+k·\(\vec{c}\)（其中\(\vec{b}\)和\(\vec{c}\)是两个向量）。

5.向量数乘在坐标系中的应用

-在直角坐标系中，向量数乘可以通过坐标表示，即(k·\(\vec{a}\))_x=k·a_x，(k·\(\vec{a}\))_y=k·a_y，其中a_x和a_y分别是向量\(\vec{a}\)在x轴和y轴上的分量。

6.向量数乘的实际应用

-向量数乘可以用于描述力的作用效果，如力的大小和方向。

-在物理学中，向量数乘可以表示速度、加速度等物理量的变化。

7.向量数乘的例题和习题

-例题1：求向量k·\(\vec{a}\)的几何表示。

-练习题1：给定一个向量和一个实数，求向量数乘的结果。

-练习题2：已知向量数乘的结果，求原始向量或实数。课堂1.课堂评价

-在课堂教学中，我将通过以下方式了解学生的学习情况：

a.提问：针对向量数乘的定义、性质、几何意义等方面的问题，随机抽取学生回答，以检查学生对知识点的掌握情况。

b.观察：在学生进行小组讨论、操作教学软件和解答习题时，观察他们的思考过程、解题策略和合作交流能力，及时发现问题并进行指导。

c.测试：通过课堂小测验，检测学生对向量数乘运算及其几何意义的理解和应用能力，以便了解教学效果。

2.作业评价

-对学生的作业进行认真批改和点评，重点关注以下几个方面：

a.知识点掌握：检查学生是否熟练掌握向量数乘的定义、性质、几何意义等基本知识点。

b.解题思路：关注学生在解题过程中是否运用了合适的解题方法，如画图、列式、代入等。

c.学习效果：根据学生的作业完成情况，评估学生对课堂所学知识的应用能力，并及时反馈给学生，鼓励他们继续努力。

d.鼓励与激励：在批改作业时，注重发现学生的优点和进步，给予积极评价，激发学生的学习兴趣和自信心。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学中，我采用了动态演示和实际操作相结合的方法，让学生直观地感受向量数乘的几何意义，增强他们对知识点的理解。

2.通过小组合作和讨论，鼓励学生主动探究向量数乘的性质和运算规则，提高了学生的参与度和合作能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对向量数乘的定义和性质掌握不够扎实，可能是因为课堂讲解和练习时间分配不够合理。

2.在课堂评价方面，提问和观察的方式可能未能全面覆盖所有学生的掌握情况，导致对部分学生知识点的理解程度了解不够。

（三）改进措施

1.针对知识点掌握不扎实的问题，我将在今后的教学中适当调整课堂讲解和练习的时间分配，增加学生对基本概念的巩固。

2.在课堂评价方面，我将尝试更多元化的评价方式，如小组讨论汇报、课堂小测验等，以确保全面了解学生的学习情况。

3.加强课后辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导，帮助学生更好地理解和应用向量数乘的知识。

4.在教学方法上，继续探索更多激发学生兴趣和主动性的教学手段，如情境教学、实际问题解决等，以提高教学效果。板书设计①条理清楚、重点突出、简洁明了

-向量数乘的定义：k·\(\vec{a}\)

-向量数乘的性质

-交换律：k·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)·k

-结合律：(k·m)·\(\vec{a}\)=k·(m·\(\vec{a}\))

-单位元：1·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)

-零元：0·\(\vec{a}\)=\(\vec{0}\)

-向量数乘的几何意义

-k>1：