2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.1余弦定理素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测十一余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,则a= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得3=a2+1-2a×1×cosQUOTE,即a2+a-2=0.解之得a=1或a=-2(舍去),所以a=1.2.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=QUOTE,则b= ()A.1 B.2 C.3 D.QUOTE【解析】选A.由余弦定理知(QUOTE)2=a2+b2-2abcos60°,因为a=4b,所以13=16b2+b2-2×4b×b×QUOTE,解得b=1(b=-QUOTE舍去).3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos2AA.10 B.9 C.8 D.5【解析】选D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=±QUOTE.因为A是锐角,所以cosA=QUOTE.又因为a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2×b×6×QUOTE.解得b=5或b=-QUOTE.又因为b>0,所以b=5.4.在△ABC中,AB=3,BC=QUOTE,AC=4,则AC边上的高为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,可得13=9+16-2×3×4×cosA,得cosA=QUOTE.因为A为△ABC的内角,所以A=QUOTE,所以AC边上的高为AB·sinA=3×QUOTE=QUOTE.5.已知△ABC的三边满意a2+b2=c2-QUOTEab,则△ABC的最大内角为 ()A.60° B.90° C.120° D.150°【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+QUOTEab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由余弦定理,得cosC=QUOTE=-QUOTE,又C∈(0,π),所以C=QUOTE,即C=150°.6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,则 ()A.c=1 B.c=2C.sinA=QUOTE D.sinA=QUOTE【解析】选BD.依据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________.

【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+42-2×9×4×QUOTE=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=QUOTE(+),所以=QUOTE(++2·)=QUOTE(92+72+2||||cos∠ABC)由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=QUOTE(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:78.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=______.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,则cosB=________.

【解析】cosB=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求边c.【解析】因为sinC=QUOTE,且0<C<π,所以C为QUOTE或QUOTE.当C=QUOTE时,cosC=QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=QUOTE时,cosC=-QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2QUOTE.所以边c的长为2或2QUOTE.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2QUOTE+4sinAsinB=2+QUOTE.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+QUOTE,化简得-2cosAcosB+2sinAsinB=QUOTE,故cos(A+B)=-QUOTE,所以cosC=-cos(A+B)=QUOTE,又C∈(0,π),从而C=QUOTE.(2)如图S△ABC=QUOTEa·ha=QUOTEabsinC,由S△ABC=6,b=4,C=QUOTE,得a=3QUOTE.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=10,得c=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.2.在△ABC中,a2+b2-c2+QUOTEab=0,则C等于 ()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】选D.由a2+b2-c2+QUOTEab=0知,a2+b2-c2=-QUOTEab,由余弦定理得cosC=QUOTE=-QUOTE,因为0°<C<180°,所以C=135°.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因为0<A<π,所以A=QUOTE.3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为△ABC的面积,则()A.B=60° B.sinA=QUOTEC.sinC=QUOTE D.S=10QUOTE【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,则cosA=QUOTE=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE,S=QUOTEch=QUOTEcbsinA=10QUOTE.又0°<B<180°,所以B=60°.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是 ()A.(8,10) B.(2QUOTE,QUOTE)C.(2QUOTE,10) D.(QUOTE,8)【解析】选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可.故QUOTE解得2QUOTE<a<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=QUOTE,a=QUOTE,c=QUOTE,则b=________.

【解析】由余弦定理得a2=6=b2+5-2QUOTE·b·cos60°,即b2-QUOTEb-1=0,解得b=QUOTE或b=QUOTE(舍去).答案:QUOTE6.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=QUOTE,则∠BAC为________.

【解析】如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.则cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.答案:60°7.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AB=3QUOTE,AD=3,则BD的长为________.

【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=QUOTE,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+9-2×3QUOTE×3×QUOTE=3,所以BD=QUOTE.答案:QUOTE8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=QUOTE,则B=________.

【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-QUOTEbc,所以b2-a2=QUOTEbc-c2,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-QUOTEbc=0,即c=QUOTEb-a,代入ac=b2-a2,得a(QUOTEb-a)=b2-a2,解得b=QUOTEa,所以c=QUOTEb-a=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为B∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-QUOTEac.(1)求cosB的值;(2)若b=QUOTE,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-QUOTEac,可得a2+c2-b2=QUOTEac.所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE.(2)因为b=QUOTE,cosB=QUOTE,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-QUOTEac=(a+c)2-QUOTEac,又a+c=2b=2QUOTE,所以13=52-QUOTEac,解得ac=12.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-QUOTEsinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-QUOTEsinA·cosB=0,即有sinAsinB-QUOTEsinAcosB=0.①因为sinA≠0,所以sinB-QUOTEcosB=0.又cosB≠0,所以tanB=QUOTE.又0<B<π,所以B=QUOTE.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1,cosB=QUOTE,有b2=3QUOTE+QUOTE.②又0<a<1,于是有QUOTE≤b2<1,即有QUOTE≤b<1.11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=QUOTE,b=QUOTE,4a-3QUOTEcosA=0.(1)求a的值;(2)若B=λA,求λ的值.【解析】(1)因为4a-3QUOTEcosA=0,故4a=3QUOTEcosA,由余弦定理4a=3QUOTE×