山东省济南市第一中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

PAGE16-山东省济南市第一中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题（含解析）本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据交集的定义写出即可．【详解】集合，，则．故选：.2.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选A．【点睛】充分、必要条件的三种推断方法．1．定义法：干脆推断“若则”、“若则”的真假．并留意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依据对应关系和定义域均相同则是同一函数，对选项逐一推断即可.【详解】选项A中，，但的定义域是，定义域是R，不是同一函数；选项B中，，但的定义域是，定义域是R，对应关系相同，定义域不同，不是同一函数；选项C中，，定义域R，，定义域为，对应关系相同，定义域相同，是同一函数；选项D中，，定义域R，与，定义域，对应关系不相同，定义域不相同，不是同一函数.故选：C.4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，即，∵在上为增函数，且，∴，即∴，故选：A．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题5.已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（）A.1 B.-1 C.2或-1 D.2【答案】B【解析】分析】由题意可得，且，解出即可．【详解】解：∵是幂函数，∴，即，∴，或，又当时，单调递减，∴，当时，，不合题意，舍去；当，，符合题意，∴，故选：B．6.已知，函数与的图象可能是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数的定义域，推断两个函数的单调性，即可求解.【详解】，函数在上是增函数，而函数定义域为，且在定义域内是减函数，选项B正确》故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性，函数的图像，属于基础题.7.已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧函数值不大于右侧的函数值求解.【详解】因为函数，在上是增函数，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.8.定义在R上的偶函数满意：对随意的，有，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知在上是减函数，再依据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．【详解】解：∵对随意的恒成立，∴在上是减函数，又，∴当时，，当时，，又是偶函数，∴当时，，当时，，∴的解为．故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的实力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列不等式成立的是（）A.若a＜b＜0，则a2＞b2 B.若ab＝4，则a＋b≥4C.若a＞b，则ac2＞bc2 D.若a＞b＞0，m＞0，则【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A，若，依据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，，明显B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，因为，，所以，，所以所以，即成立，故D正确．故选AD．【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证实力，属于基础题.10.下列叙述正确的是（）A.已知函数，则f(6)=8B.命题“对随意的，有”的否定为“存在，有”C.已知正实数，满意，则的最小值为D.已知的解集为，则a+b=5【答案】ACD【解析】【分析】干脆由分段函数表达式代入求解即可推断A，由全称命题的否定为特称命题可推断B，由基本不等式结合，巧用“1”即可求最值，依据一元二次不等式解与系数的关系可推断C.【详解】对于A，，所以，正确；对于B，命题“对随意的，有”为全称命题，否定为特称命题，即“存在，有”，不正确；对于C，由，可得，所以，当且仅当，即时，取得最小值，正确.对于D，的解集为，所以的两个根式1和4，所以，所以，正确.故选：ACD.11.关于函数，下列结论正确的是（）A.的图象过原点 B.是奇函数C.在区间(1，＋∞)上单调递增 D.是定义域上的增函数【答案】AC【解析】【分析】依据函数奇偶性定义、单调性定义以及计算函数值进行推断选择.【详解】,所以A正确，，因此不是奇函数，B错误，在区间(1，＋∞)和上单调递增，所以C正确，D错误，故选：AC【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析推断实力，属基础题.12.德国闻名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（）A. B.C.函数是偶函数 D.函数是奇函数【答案】ABC【解析】【分析】依据自变量是有理数和无理数进行探讨，可判定A、C、D，举特例依据和可推断B即可得到答案.【详解】对于A中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以A是真命题；当是无理数，是无理数，则是无理数，则，满意，所以B正确；对于C，当为有理数时，则为有理数，则．当无理数时，则为无理数，则．故当时，，∴函数为偶函数，所以C是真命题；对于D中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以不是奇函数，D不正确.所以D是假命题；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则的解析式为________.【答案】【解析】【分析】换元法令即可求出函数解析式；或者配凑法求解析式．【详解】解：（换元法）令，则，∴，，∵，∴，（配凑法）∵，且，∴，故答案为：．【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，常用方法有：（1）换元法或配凑法：已知求，一般采纳换元法或配凑法，令，代入求出，或者将中配凑成关于的式子，由此可求得；（2）待定系数法：已知函数类型常用待定系数法；（3）方程组法：已知、满意的关系式或、满意的关系式常用方程组法，将条件中的或替换成得另一方程，再解方程组即可求得答案．14.已知函数（且）恒过定点，则________________.【答案】【解析】【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.15.若不等式对一切成立，则的取值范围是__.【答案】【解析】【详解】当，时不等式即为，对一切恒成立①

当时，则须，∴②

由①②得实数的取值范围是，故答案为.16.定义区间[,]的长度为-,若函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,3]到,则区间[a,b]的长度最大值为______【答案】【解析】【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间，的长度的最大值．【详解】因为函数的定义域为，，值域为，，，解得，故函数的定义域为，，此时，函数的定义域的区间长度为，故答案为．【点睛】本题主要考查新定义的理解及应用，考查对数函数的图象和性质，考查肯定值不等式的解法，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算及根式求解即可（2）利用对数运算求解【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查指数幂及对数运算，是基础题18.已知集合.若，求实数的取值范围．【答案】或．【解析】【分析】由题意，求得，再依据，结合韦达定理分和两种状况探讨即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∵，为方程的解集，①若，由，∴，或，或，当时，方程有两个相等实根，即，，∴不合题意，同理，同理当时，，符合题意；②若，则，∴；综上所述，实数的取值范围为或．【点睛】易错点睛：本题主要考查依据集合间的包含关系求参数的取值范围，解题时简单忽视子集可能为空集的状况，属于基础题．19.已知是定义在上的奇函数，当时，，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据奇函数的性质进行求解即可；（2）依据函数的解析式分类探讨进行求解即可.【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴.又当时，，∴.又为奇函数，∴，∴，∴.（2）当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得.综上，不等式的解集用区间表示为.【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了分类探讨思想，考查了数学运算实力.20.已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【答案】（1）1（2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.21.已知二次函数，其中．（Ⅰ）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，且对随意的，，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可；（Ⅱ）依据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对随意的，，，又可求出的一个取值范围；最终两者取交集，则问题解决．【详解】（Ⅰ），开口向上，对称轴是∴递减，则，即，故；（Ⅱ）因为在区间上是减函数，所以．因此随意的，，总有，只需即可解得：，又因此．【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及依据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.22.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.（1）推断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若对全部，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依据函数单调性的定义即可证明f（x