2021届辽宁省部分重点高中高二下学期期中考试数学试题解析版

2021-2021学年辽宁省局部重点高中高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题1．等比数列中，，前三项之和，那么公比的值为〔〕A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】根据条件列关于首项与公比的方程组，即可解得公比，注意等比数列求和公式使用条件.【详解】等比数列中，，前三项之和，假设，，，符合题意；假设，那么，解得，即公比的值为1或，应选：C【点睛】此题考查等比数列求和公式以及根本量计算，考查根本分析求解能力，属根底题.2．2021年1月，教育部出台?关于在局部高校开展根底学科招生改革试点工作的意见?(简称“强基方案〞)，明确从2021年起强基方案取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基方案的概率分别为，那么两人中恰有一人通过的概率为〔〕A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，甲乙两人通过强基方案是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.【详解】由题意，甲乙两人通过强基方案的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为.应选：D.3．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，参照下表：得到的正确结论是〔〕A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关"D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞【答案】B【分析】由的，比照临界值表可得答案【详解】解：因为，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞.应选：B.4．过原点作曲线的切线，那么切线的斜率为〔〕A．e B． C．1 D．【答案】B【分析】先设出切点坐标为，那么由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率【详解】解：设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，所以切线的斜率为，应选：B5．设函数在定义域内可导，的图象如下图，那么导函数的图象为〔〕A． B．C． D．【答案】C【分析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；应选：C．【点睛】此题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于根底题型.6．那么〔〕A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.【详解】由题知，，，，又，那么.应选：C【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.7．数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足假设对任意的，都有成立，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意，对任意的，都有成立，即，利用数列的单调性可得，即可求解.【详解】由，对任意的，都有成立，即，即，又数列是首项为，公差为1的等差数列，，且是单调递增数列，当时，，，即，解得.应选：B.【点睛】关键点睛：此题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合条件得到.8．定义在的函数的导函数为，且满足成立，那么以下不等式成立的是〔〕A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导后可确定其单调性，利用单调性比拟大小可判断各选项．【详解】设，那么，所以在上是减函数，所以，即，A错；，即，B正确；，即，C错；的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断．应选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查比拟大小问题，解题关键是构造新函数，由导数确定其单调性，从而可比拟函数值大小．二、多项选择题9．为等差数列，其前项和，，那么以下结论一定正确的选项是〔〕A．假设，那么公差 B．假设，那么最小C． D．【答案】AD【分析】对于等差数列，最重要的是根本量，根据每一个选项的条件再结合根本量来分析，就可以作出判断.【详解】当时，因为，所以，故A正确；当，时，满足，无最小值，故B错误；当，，且满足时，，此时，当，，且满足时，的符号无法确定，故C无法确定；，故D正确．应选：AD.10．由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么〔〕A．变量与具有正相关关系B．去除后的估计值增加速度变快C．去除前方程为D．去除后相应于样本点的残差平方为【答案】ACD【分析】根据题意可得原始数据中，，由两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)的平均数为3和5，因此可得到，仍然成立，代入直线方程求得，接着依次判断选项即可.【详解】由样本数据点集合，回归直线方程为，且，得到，去除掉两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)，因为，所以去除掉两个数据点后，，仍然成立，因为直线方程，将，代入求得；故A选项正确；因为，所以B选项错误；由上知C选项正确；去除后，当，相应于样本点的残差平方为，故D选项正确；应选：ACD.【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否那么，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．11．〔多项选择〕函数及其导数，假设存在，使得，那么称是的一个“巧值点〞．以下函数中，有“巧值点〞的是〔〕A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用“巧值点〞的定义，逐个求解方程判断即可【详解】在A中，假设，那么，那么，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，假设，那么，即，此方程无解，故B不符合要求；在C中，假设，那么，由，令，〔〕，作出两函数的图像如下图，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；在D中，假设，那么，由，可得，故D符合要求．应选：ACD．12．假设数列满足，那么称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.那么以下结论成立的是〔〕A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据斐波那契数列的定义计算，判断A，由递推公式判断BCD．【详解】由题意，A正确；,B正确；，又，所以，C正确；，D错．应选：ABC．【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的项进行变形．如BD在变形以最后一项时要注意是哪一项．三、填空题13．从生物学中我们知道，生男生女的概率根本是相等的，某个家庭中先后生了两个小孩，两个小孩中有男孩，那么两个小孩中有女孩的概率为___________.【答案】【分析】求出在两个小孩中有男孩的情况下两个小孩的性别情况，再得出两个小孩中有女孩的情况，即可求出概率.【详解】由，两个小孩中有男孩，那么这两个小孩的性别情况有{男，男}，{男，女}，{女，男}共3种，其中两个小孩中有女孩的情况有{男，女}，{女，男}共2种，那么两个小孩中有女孩的概率为.故答案为：.14．将正整数数列1，2，3，4，5，...的各项按照上小下大､左小右大的原那么写成如下的三角形数表.数表中的第8行所有数字的和为___________.【答案】【分析】首先确定第8行的数字，再进行求和即可.【详解】根据数表可得：第1行共1个数，第2行共2个数，第3行共3个数，，第8行共8个数，前7行共，所以第8行依次是：29,30,31,32,33,34,35,36；所以第8行所有数字的和为，故答案为：.15．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，局部选对的得3分.假设选项中有3个选项符合题目要求，随机作答该题时(至少选择一个选项，最多项选择三项)，所得的分数为随机变量，那么___________.【答案】【分析】可求出总共的选择有14种，的可能值为0，3，5，求出取不同值时的概率，即可求出均值.【详解】由题，随机作答该题时(至少选择一个选项，最多项选择三项)，总共的选择有种，所得的分数的可能值为0，3，5，那么，，，.故答案为：.16．函数有最大值，那么实数的取值范围是___________.【答案】【分析】当时，的值域为，无最大值，故当时，有最大值，且最大值不小于，即可求出的取值范围.【详解】解：函数，当时，的值域为，无最大值，故当时，有最大值，且最大值不小于.由，知，当时，在上单调递增，，令，解得；当时，或，令或，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：当时，的值域为，无最大值，故问题转化为：当时，有最大值，且最大值不小于是此题的解题关键.四、解答题17．等差数列的公差，且，的前项和为.〔1〕求的通项公式；〔2〕假设、、成等比数列，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根据题意得出和的方程组，解出这两个量，然后求解等差数列的通项公式；〔2〕求出，利用、、成等比数列，列出方程，即可求解正整数的值．【详解】〔1〕因为，解得，因此，；〔2〕，又，，因为、、成等比数列，所以，即，整理得，，解得.【点睛】此题考查等差数列的通项公式的计算以及等比数列定义的应用，考查计算能力，属于根底题.18．函数在时有极值为〔1〕求实数的值；〔2〕求当时，的最大值和最小值.【答案】〔1〕；〔2〕最大值，最小值.【分析】〔1〕求导之后，根据函数在时有极值为，所以和，求解得的值，然后分别代入检验是否在时有极值；〔2〕由〔1〕知，函数在和上为增函数，在上为减函数，分别计算出，可得最大值与最小值.【详解】解：〔1〕由可得又为极值点，所以又极值为，即，那么可得：或当时，，↗极大值↘极小值↗当时，所以在上单调递增，无极值，综上.〔2〕由〔1〕知，和时，为增函数，时，为减函数，又因为，因此时，最大值，最小值.【点睛】解决此题的关键在于可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．19．2021年某地在全国志愿效劳信息系统注册登记志愿者8万多人．2021年7月份以来，共完成1931个志愿效劳工程，8900多名志愿者开展志愿效劳活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿效劳的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿效劳时长〔单位：小时〕，并绘制如下图的频率分布直方图．〔1〕求这500名志愿者每月志愿效劳时长的样本平均数和样本方差〔同一组中的数据用该组区间的中间值代表〕；〔2〕由直方图可以认为，目前该地志愿者每月效劳时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：假设，令，那么，且．〔ⅰ〕利用直方图得到的正态分布，求；〔ⅱ〕从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿效劳时长超过10小时的人数，求〔结果精确到0.001〕以及的数学期望．参考数据：，．假设，那么．【答案】〔1〕9，1.64；〔2〕〔ⅰ〕0.7734，〔ⅱ〕0.994，4.532.【分析】〔1〕根据平均数和方差的公式直接求解即可.

〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕可得由题知，，所以，那么可得答案.

〔ⅱ〕〔ⅰ〕知,那么从而可得答案.【详解】解：〔1〕．．〔2〕〔ⅰ〕由题知，，所以，．所以．〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知，可得．．故的数学期望．【点睛】关键点睛：此题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问题，解答此题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿效劳时长超过10小时的人数〞，转化为得到，属于中档题.20．等差数列满足，数列的前项和为，满足.〔1〕求数列与的通项公式；〔2〕设，求.【答案】〔1〕，；〔2〕.【分析】〔1〕设公差为，由列式即可求出首项和公差，得出通项公式，利用可得为等比数列，即可求出通项公式；〔2〕利用错位相减法可求出.【详解】〔1〕设数列的公差为d，那么，解得，所以，对于数列，当时，，所以.当时，由，即，故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.〔2〕①②①-②得，，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：〔1〕对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；〔2〕对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；〔3〕对于结构，利用分组求和法；〔4〕对于结构，其中是等差数列，公差为，那么，利用裂项相消法求和.21．上饶市正在创立全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间答复以下问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，总分值60分，到达50分以上〔含50分〕时该学校为优秀.〔1〕求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；