第一章-函数极限连续培训课件

§1函数第一章函数、极限与连续

一.函数:自变量,因变量,定义域,值域若变量x在允许范围D内的每一个确定的值，变量y按照某个确定的规则总有相应的值与之对应，则称y为x的函数，记为y=f(x).

x——自变量；

y——函数；D——定义域；二要素——定义域、对应规则。二、函数的表示法:列表法,图示法,解析法三、解析法表示的几个例子与运算1、例(1)取整函数y=[x](x∈R),(2)符号函数sgnx=(3)狄利克莱函数D(x)=其中[x]表示不超过x的最大整数.Dirichlet[德](1805~1859)

2、四则运算设函数f,g的定义域分别为D(f),D(g),则可以定义f与g的和,差,积,商:(f±g)(x)=f(x)±g(x)D(f±g)=D(f)∩D(g),(fg)(x)=f(x)g(x)D(fg)=D(f)∩D(g),(f/g)(x)=f(x)/g(x)D(f/g)=D(f)∩D(g)\{x|g(x)=0}.

(2)

单调性设有函数y=f(x),区间I

D(f),若x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)f(x2),则称f在区间I上单调增;若

x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)<f(x2),则称f在区间I上严格单调增.若x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)f(x2),则称f在区间I上单调减;若

x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)>f(x2),则称f在区间I上严格单调减.

例如y=sinx在上严格单调增,因此,在说明一个函数的单调性时,要指明单调区间,不能笼统地说一个函数是单调增的还是单调减的.上严格单调减.在

(3)奇偶性设函数f

的定义域关于原点对称,若

x∈D(f),f(

x)=

f(x),则称f为一个奇函数.若

x∈D(f),f(

x)=f(x),则称f为一个偶函数.易见在平面直角坐标系中,奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称.

(4)

周期性设有函数y=f(x)与常数t>0,则称f为一个周期函数,并称t为f的一个周期,若常数T=min{t|t是f的周期},例如2p是y=sinx的最小正周期.若

x∈D(f),有x+t∈D(f),且f(x+t)=f(x),则称T为f的最小正周期.

1.反函数设函数y=f(x)

是D→W=R(f)与x=g(y)

是W→D的函数，则称g为f

的反函数,记为g=f

-1.

五、初等函数

2.基本初等函数

（1）幂函数y=x

(

R)幂的定义与性质①设a

R,n

N+,我们把n个a的连乘积称为a的n次方或n次幂.记为an.即an=

②设a,b都是实数,m,n都是正整数,则有:二项展开式am·an=am+n,am/an=am

n(a0),(ab)n=anbn,(a/b)n=an/bn(b0),(am)n=(an)m=amn,

(2)几个具体的例子这些图象有那些共同点?

幂函数y=x

(

R)的图象都经过点(1,1),当

>0时,

y=x

在第一象限内单调递增

当

<0时,

y=x

在第一象限内单调递减

（2）指数函数:y=ax(a>0,且a

1)(1)

当0<a<1时,y=ax单调递减,(2)

当a>1时,y=ax单调递增.共同点:图象都经过点(0,1),都位于x轴上方.

（3）对数函数:y=logax(a>0,且a

1)定义设a>0,且a

1,若ay

=x,则称y为以a为底x的对数.记为y=logax常用对数(a=10)y=lgx自然对数(a=e)y=lnx

运算性质(0<a

1,0<b

1,u>0,v>0)①(x>0),②③(x

R),④

当0<a<1时,y=logax单调递减;当a>1时,y=logax单调递增.共同点:图象都经过点(1,0),都位于y轴右边.

（4）三角函数表达式及图象

相互关系①平方关系:②倒数关系:③弦切关系:sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,cot2x+1=csc2x.sinx·cscx=1,tanx·cotx=1,cosx·secx=1,sinx/cosx=tanx,cosx/sinx=cotx.

三角公式:①诱导公式(“奇变偶不变,符号看象限”):所处的象限确定.其中“

”号由角如sin(

+

)=sin

,cos(

+

)=cos

,

②

和角公式:③

积化和差公式:sin(

)=sin

cos

cos

sin

,cos(

)=cos

cos

sin

sin

,sin

cos

=[sin(

+

)+sin(

)],cos

cos

=[cos(

+

)+cos(

)],sin

sin

=[cos(

+

)cos(

)],

④和差化积公式:

⑤降幂公式:（5）反三角函数

3.复合函数函数y=xx是由y=ux与u=x复合而成的吗?y=xx=exlnx是由一元函数y=eu与u=xlnx复合而成的.y=arctanex是由一元函数y=arctanu与一元函数u=ex复合而成的.

4.初等函数设函数f

可以用一个数学式子表示,且这个式子是由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算而成的,则称f

为一个初等函数.例如上述取整函数,符号函数,及狄利克莱函数都不是初等函数.

但不要以为分段函数都不是初等函数.事实上,f(t)=g(x)=都是初等函数.但h(x)=就不是初等函数.

§2极限

1.引例--割圆术

一.数列极限用半径为1的圆内接正6×2n-1边形的面积Sn来近似求圆周率的近似值。2.引例--追及悖论

t时刻AB之间的距离L:t(s)11.11.111.111…L(m)0.10.010.0010.0001…

3.数列的概念一列有次序的数xn排成一列

x1,x2,…,xn,…,称为数列,记为{xn}.其中x1称为首项,xn称为一般项或通项.有限数列,无限数列.4.例子5.数列与函数若xn=f(n),n=1,2,…,则无限数列{xn}是定义在正整数集上的函数.4.实例观察1)追及悖论t时刻AB之间的距离L:t(s)11.11.111.111…→10/9L(m)0.10.010.0010.0001…→0

2)圆周率（3）考察n→+∞,1/n的变化趋势:

5.定义:设{an}为一个数列,a∈R,若N无限变大时an与a之间的距离趋于0,

则称数列{an}以a为极限,或称a为数列{an}的极限.记为或

an→a(n→∞).例

数列1,

1,1,

1,…,(

1)n

1,…发散.

6、性质(一)

就某个给定的数列而言唯一性保号性有界性

(二)某个给定的数列与其子数列数列收敛,则其子数列也收敛;反之不然.二、

函数的极限

前面我们学习了数列的极限,知道了数列极限的定义与意义。请看下例引例：研究数列{arctann}的极限。

作数列{arctann}

的散点图

y=π/2

从散点图可以看到{arctann}的极限为π/2

。思考：把上述散点图用比较好的曲线连起来，这条曲线是什么？

y=arctanx图像的一部分。

结果：x→+∞时，arctanx→

?（π/2）1、自变量趋向无穷大时函数的极限（1）x→+∞时，y=f(x)

的极限

设x0是某一确定的正数，y=f(x)在(x0，+∞)内有定义,A为一个确定的数.如果在x→+∞的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于一个确定的数A，那么A叫做函数y=f(x)当x→+∞时

的极限。记为

几何意义

例2

问题：能否考虑x→-∞时，y=f(x)

的极限。研究x→-∞时，y=arctanx的极限。

例1

例3

（2）x→-∞时f(x)的极限定义设函数f(x)当x<-

(

为某个非负实数)时有定义,A为一个确定的数.如果在x→-∞的过程中，对应的函数值f(x)一个无限接近于确定的数A，则称A为函数f当x→-∞时的极限,记为并称当x→-∞时函数f存在极限.几何意义？或f(x)→A(x→-∞),

例4例5

例6

问题：能否既考虑时又考虑时时，的极限？研究，，。

即考虑（3）

x→∞时f(x)的极限定义设函数f(x)当|x|≥

(

为某个非负实数)时有定义,A为一个确定的数.如果在x→∞的过程中，对应的函数值f(x)一个无限接近于确定的数A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限,记为并称当x→∞时函数f(x)存在极限.几何意义?或f(x)→A(x→∞),

例7

例8例9

不存在，存在与否，和存在与否，有何关系？

问题：对于函数与可以证明,

思考不存在！

因为函数y=xsin1/x的振幅随x的增大越来越大.对于函数y=xsin1/x

，其在x=0无定义。自然地会问函数y=xsin1/x在x=0附近的函数值如何？相应地，x→0时，函数y=xsin1/x在x=0附近的函数值如何变化？请看函数y=xsin1/x在x=0附近的图像。

区间[-1,1]上的图像

区间[-0.1,0.1]上的图像

区间[-0.01,0.01]上的图像

区间[-0.001,0.001]上的图像结论：

x→0时，xsin1/x→0。由此可见，有必要研究有限点处函数的极限。2.

自变量趋向有限值时函数的极限（1）

x→x0时f(x)的极限例10

x→0,

例11设

，观察x→1时,y=f(x)的函数值变化趋势。

例12设y=f(x)=x+1观察x→1时y=f(x)的函数值变化趋势。[定义]设函数f(x)在（x0-r,x0+r)内有定义,A为一个确定的数.若x→x0时,

f(x)的函数值与A越来越接近，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限,记为或f(x)→A(x→x0),并称函数f(x)当x→x0时存在极限.几何意义内时,

>0,

>0,s.t.当x落在对应的点(x,f(x))都落在两条直线y=A+

与y=A

之间.

例14

例13例15例16问题:对于函数y=f(x)=及函数y=g(x)=考虑x→1时的极限.由于函数y=f(x)=只在x<1时有定义,故x→1时的极限只能是x<1并且x→1的极限.同样地,函数y=g(x)=只在x>1时有定义,故x→1时的极限只能是x>1并且x→1的极限.这样就产生了单侧极限的问题.（2）单侧极限定义设函数f(x)在（x0-r,x0)内有定义,A为一个确定的数.若x→x0时,

f(x)的函数值与A越来越接近,则称A为函数f在点x0处的左极限,记为或f(x0

0)=A,并称函数f在点x0处的左极限存在.

类似地可以定义函数f在点x0处的右极限f(x0+0)=可以证明,

例16(1)证明

(2)sgnx=当x→0时,极限不存在.事实上,而

3、性质（1）

唯一性:（2）

局部有界性:设恒有|f(x)|<M.则

M>0以及

>0s.t.若limf(x)存在,则极限必唯一.

（3）局部保序性:若A<B,则

>0s.t.若

>0s.t.(问:此处“”能否改成“<”?)（4）

局部保号性:则

>0s.t.恒有f(x)<g(x);都有f(x)g(x),则A

B.设f(x)与A同号.设

你还有什么结论?设f(x)在点x0的某一去心邻域内非负(正),若f(x)在x0有极限A,则A非负(正).三

无穷小量与无穷大量

1.

无穷小量概念与性质

定义1.若在自变量x的某一变化过程中,因变量的极限limf(x)=0,则称f(x)是这一极限过程中的无穷小量,简称为无穷小.注①:无穷小量是变量.注②:说某一个变量是无穷小量时,必须指明自变量的变化过程.笼统地说某一个变量是无穷小量是无意义的.

定理1.相对于自变量的某个特定的变化过程来说,limX=A

lim(X

A)=0X=A+

,其中

是无穷小量.例1.证明:当x→00时,是无穷小量.

定义2.设函数f(x)在（x0-r,x0+r)内若

M>0,0<

<r,s.t.当x∈恒有|f(x)|>M,则称函数f(x)是当x→x0时的无穷大量,或称函数f(x)当x→x0时的极限为∞,其他类型的无穷大量可以类似地定义.有定义.时,=∞或f(x)→∞(x→x0).记为

2.

无穷大量概念与性质

注③:由定义可见,

若注④:由定义可见,

若f(x)→∞(x→x0),则函数f(x)在（x0-r,x0+r)内无界.但是反之未必.例如不存在.但是反之未必.例如则不存在.但也不是∞.其中

注⑤:两个无穷大量的代数和以及无穷大量与有界量的乘积都未必是无穷大量.例如注⑥:易证:若limX=∞,则反之,若X≠0,且limX=0,则

表明不存在.例2.当x→0+时,是无穷大量;

当x→0-时,是无穷小量。例3.证明:当n→+∞时,是无穷大量.

3、无穷小量的性质与四则运算法则定理1.两个无穷小量的代数和仍是无穷小量。推广有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。说明：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量。定理2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。推论1

常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量。推论2有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。说明：无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量。定理3（

四则运算法则）

则设(1)=A±B;(2)=AB;(3)(B≠0).

四极限四则运算法则说明1：定理对自变量的其它变化过程（x→x0-0,x→x0+0,x→+∞,x→-∞,x→∞）也成立。

说明2：设Limf(x)=存在,Limg(x)=

不存在，则（1）Lim[f(x)±g(x)]=

不存在；（2）Limf(x)g(x)可能存在也可能不存在，Limf(x)/g(x)亦然。说明3：设Limf(x)和Limg(x)

不存在，则Lim[f(x)±g(x)]，Limf(x)g(x)，Limf(x)/g(x)

可能存在也可能不存在。推论1

若c为常数，Limf(x)存在，则Limcf(x)=cLimf(x)推论2

若n为正整数，Limf(x)存在，则Lim[f(x)]n=[Limf(x)]n关于数列，也有类似的极限四则运算法则。定理4

设有数列{xn}、{yn},若那么

(1);(2);(3)当yn≠0（n=1,2,······）并且B≠

0时，

极限计算方法1.多项式函数在有限点x0处的极限——代入例1设Pn=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是n次多项式,求解:(a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)=a0x0n+a1x0n-1+…+an-1x0+an=Pn(x0).

2.

有理函数在有限点x0处的极限,含有零因子例2.求解:——约去零因子=

3.

3.有理函数在∞处的极限,含有“∞因子”例3.(1)=0;(2)——约去“∞因子

4.通分或有理化→上述第2,3种类型例4.(1)(2)

(3)

5.利用无穷小量的性质例5.计算

解:由于1/x→0,当x→∞时;并且

|arctanx|<π/2,故由无穷小量与有界量的乘积仍然为无穷小量可知6.左右极限分别讨论证明:前面已经证明了又因为所以注④:类似地,例6.(1)证明:(其中a>0),进而可得

(2)证明不存在。证明：所以不存在。五极限存在准则两个重要极限1、极限存在准则

若N0∈N+s.t.当n>N0时,恒有an≤cn≤bn,且(1)

数列情形的夹逼原理

，则数列{cn}也收敛,且有证明思路：由数列极限的几何意义，可知数列{an}和数列{bn}除前面有限项外，其它项都落在a的某一邻域内，从而数列{cn}亦然。例1.证明证明:注意到当n≥1时,恒有而=0=所以由夹逼原理得注1

使用夹逼原理的关键:寻找适当的参考数列.注2

怎样寻找适当的参考极限(或参考数列)?

例2.为下列数列寻找适当的参考数列{an}与{bn}.(1)cn=解:[统一分母]bn=取an=则an

cn

bn,且

(2)cn=解:[构造新数列]当n>1时,设=1+xn,则xn>0,而且于是从而取an≡1,bn=1+即可.

(3)cn=解:[裂项/插项]由于k=1,2,3,…所以从而0<cn<→0(n→∞).

注3

上述性质不能推广到无限次.见例2(1).又如:其中其中

(2)函数情形的夹逼原理若在x0的去心邻域内有f(x)

h(x)

g(x),则证明:由于故对于中任意的以x0为极限的数列{xn},都有又因为

xn,有f(xn)h(xn)g(xn).由数列极限的夹逼原理可得所以且

3.

数列情形的单调有界准则注4此处的单调性不必从第一项开始.例4.证明极限存在，并且为e.单调递增有上界的数列必收敛.单调递减有下界的数列必收敛.

证明:记xn=则xn+1比较xn与xn+1的展开式,易见xn<xn+1.即{xn}是单调递增的.

另一方面,由xn的展开式可知,xn存在.所以由单调有界准则可知极限

例5.证明证明:由右图可知,从而于是当0<x<时,sinx<x<tanx,2、两个重要极限

又因为与x2都是偶函数,所以当仍成立.由夹逼原理立得<x<0时,因而[副产品]

例6.证明证明:首先证明设n=[x],则n

x<n+1.从而

而且x→+∞与n→∞是等价的,故由夹逼原理可得

再令x=

t,则当x→

∞时,t→+∞,于是所以注⑤:令可得

为什么?例7.(1)(2)

(4)解:令x

1=t,则(3)

(5)

(6)(7)解:令x=

3t,则(8)

(9)解:故原式而

小结利用重要极限的关键:(1)

分析所求极限的特点(2)

利用“模板”:

六无穷小量的比较1、定义设

与

是在同一自变量的同一变化过程中的两个无穷小量,且

≠0.(1)

若(或称

是

的低阶无穷小),记为:

=o(

).则称

是

的高阶无穷小特别地,一个无穷小量

可记为o(1).(2)若则称

与

是同阶无穷小.

(3)

若则称

与

是等价无穷小,记为:

～

.易见

～

=

+o(

).(4)

若(k∈N+),则称

是

的k阶无穷小.

例8x→0时，x3是比x2高阶的无穷小；x3是x的3阶的无穷小；2xsinx与1-cosx是同阶无穷小；sinx与x是等价无穷小。例9x→0时，f(x)=xsin1/x和g(x)=x2是无穷小，则(D).Af(x)是比g(x)低阶的无穷小Bf(x)与g(x)是等阶无穷小Cf(x)与g(x)是同阶但不等阶无穷小D不可比较2、

等价无穷小代换（1）

原理:设

～

',

～

'且存在,则例10.=1.

（2）

常用的等价无穷小:(1)sinx～tanx～arcsinx～arctanx～x(x→0);(1

cosx)～(x→0)(2)(ex

1)～x(x→0)(3)ln(1+x)～x(x→0)(4)～(x→0);(1+x)

1～

x(x→0).

例11.

（3）

注意事项:(1)要正确理解无穷小代换的原理.例如:如果同时把sinx,tanx用x代换掉就出错了！

又如:=1.虽然x→∞时,～但不能把分子中的换成尽管等式成立,但这不叫“等价无穷小代换”!!!(1+sinx)(1+x)1=1

(2)并非任意两个无穷小量都可以比较阶的高低.例如f(x)=当x→0时都是无穷小量,但因此这两个无穷小量无法进行比较.和在x→0时都不是有界量,g(x)=x2

§3连续函数

一.

连续的概念

1.

引例:(1)天气温度,音量旋钮,…

如何变化？短时间内变化微小！(2)观察下列函数的图象④

(x)=①

f(x)=②g(x)=③

h(x)=

各函数在x=0这一点如何变化？2.定义:(1)设函数y=f(x)定义在x0的某一邻域内,当自变量从x0变到x时,对应的函数值从f(x0)变到f(x),称Dx=x

x0为自变量的增量(或自变量的改变量),称Dy=f(x)

f(x0)=f(x0+Dx)

f(x0)为函数值的增量(或函数值的改变量).

则称函数y=f(x)在点x0处连续,并称x0为y=f(x)的连续点.类似地可以定义y=f(x)在点x0处左(右)连续.(2)若函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处连续,则称它在开区间(a,b)内连续,记为f∈C(a,b).若y=f(x)在开区间(a,b)内连续,且在点a处右连续,在点b处左连续,则称它在[a,b]上连续,记为f∈C[a,b].例1y=sinx是处处连续的函数。Dy=0,f(x)=f(x0),i.e.,若

注意：函数y=f(x)在点x0连续的必要充分条件是y=f(x)在点x0处既左连续又右连续.即例2确定常数a,使函数连续。二、间断点若函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.如果x0不是y=f(x)的连续点,则称x0为y=f(x)的间断点.对于间断点x0,若y=f(x)在x0处的左右极限都存在,则称之为第一类间断点,否则称之为第二类间断点.

三

连续函数的运算与初等函数的连续性定理1.设函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x0)≠0)在点x0处连续.定理2.设函数y=f[g(x)]是由y=f(u)