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文档简介

高等数学（上）第六讲第一章第三节函数的极限（1）教学内容自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限函数极限的性质备注教学要求理解函数极限的概念、理解函数左、右极限的概念理解极限存在与左、右极限之间的关系掌握极限的性质教学重点自变量趋于有限值或无穷大时函数的极限教学难点函数极限的概念第三节函数的极限前面讨论了数列xn=f(n)的极限。现在讨论y=f(x)的极限,并且,x不是离散变化的,而是连续变化的.函数的极限它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然数,且n趋于无穷大.(1)x,自变量x大致有两种变化形式.(2)x

x0(有限数).

一、自变量趋向无穷大时函数的极限(1)1、x+时,f(x)的极限一、x

时,f(x)的极限xy0f(x)AX(2)当自变量越来越大时,函数对应的函数值能否与常数越来越接近.Axy0f(x)AX.(几何意义)

x

趋于正无穷大时的极限对满足x>X的一切点x,其相应的曲线上的点落在绿色区域内.此时也称当x+(x–)时,f(x)的极限存在.否则,称它的极限不存在.(4)若

>0,X>0,当x>X(或x<X)时,有|f(x)A|<

.注1.

将函数极限定义和数列极限定义相比较,将xn=f(n)换成了f(x).

将“正整数N”换成“实数X>0”.数列极限中n是离散变化的,而x是连续变化的.若

>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xn

a|<

,(5)例1.证明其中0<a<1.证:

0<

<1,y=ax1yx0

xXy只须若

>0,X>0,当x>X(或x<X)时,有|f(x)A|<

.

要使|ax0|=ax<

.(6)定义2.设f(x)在(,M)

(M,+)内有定义.|f(x)

A|<

则称A为

f(x)当x

时的极限,由定义1,2可知记作

若

>0,X>0,当|x|>X时,相应的函数值满足2、x

时,f(x)的极限注意：：(7)xy0f(x)AX–X其相应的曲线上的点落在绿色区域内.x趋于无穷大时的极限

A的

邻域,

X>0,A+

A–

对满足|x|>X的一切点x,(8)证：例2当|x|>X时要证对于任意给定的正数ε，总存在着正

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