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文档简介

第一节数列的极限极限—重要的研究方法数列的极限函数的极限函数的连续性本章：本节：数列极限的定义是什么？有极限（收敛）的数列具有哪些性质？如何判断一个数列有极限（收敛）？第二章极限与连续数列的定义例如其中的每个数称为数列的项,为通项(一般项).数列(1)记为注：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?通过观察:问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.定义:如果对于任意给定的正数(不论它多么小),

总存在,

使得当时，均有成立则称是的极限,收敛于，或记作

或如果数列没有极限,就说数列是发散的.☆几何解释:例如：趋势不定收敛发散数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.关键:对应任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.证:用反证法.假设且取故存在N1,使当n>N1时,从而故存在N2,使当n>N2时,从而则当n>N时,矛盾!因此数列是发散的.

2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,有从而有取则有由此证明收敛数列必有界.反之不成立，即

：有界数列未必收敛。注：无界数列必定发散。（逆否命题）数列有界例如,有界无界几何解释:3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)思考题思考题解答不能保证.例有4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限或有一个子数列发散,例如，

发散!则原数列一定发散.注:

*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************机动目录上页下页返回结束收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.2.收敛数列一定有界.3.收敛数列具有保号性.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.极限存在准则1.夹逼准则上两式同时成立,证例1解由夹逼定理得2.单调有界准则几何解释:准则Ⅱ单调有界数列必有极限.例2证(舍去)不妨设为五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收

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