《工程流体力学》 课件全套 鲁义 第1-8章 绪论- 安全工程领域的流体力学问题

工程流体力学

第一章绪论

远古时期公元前2286-2278年中国的大禹治水；公元前2000-1000年埃及、罗马、希腊等地水利工程和造船业；公元前300年中国成都都江堰灌渠工程；公元前250年希腊哲学家阿基米德的著作“论浮体”；等等。

流体力学流体力学发展简史流体力学的发展大致可以分为以下几个时期：§1-1流体力学发展简史

十五、十六、十七世纪达.芬奇（LeonardoDoVinci1452-1519）系统研究了沉浮、

孔口出流、阻力等问题，在米兰附近建造了世界上第一个

小型水渠。1687年牛顿（Newton1642-1727）在名著“原理”中讨论

了阻力、波浪等问题，并提出了著名的“牛顿内摩擦定律”。1612年伽利略（Gallileo1564-1642）建立了沉浮的基本原理；1643年托里拆利（Torricelli1608-1647）论证了孔口出流的基本规律；1650年帕斯卡（B.Pascal1623-1662）论证了流体中压力传递的基本定律；达朗贝尔（J.ďAlembert1717-1783）提出了著名的达朗贝尔佯谬；

十八、十九世纪欧拉（L.Euler1707-1783）经典流体力

学创始人，提出了一系列的流体力学基

本方程，著有“流体运动的一般原理”

等名著伯努利（D.Bernoulli1700-1782）建立了一系列适用于工程

计算的基本方程，著有“流体动力学”等名著。纳维（L.Navier1785-1836）和斯托克斯（G.Stokes1819-1903）建立了粘性流体运动基本方程；

等等。现代雷诺（O.Reynolds1842-1912）研究并确定了两种流态；普朗特（L.Prandtl1875-1953）建立了“边界层理论”；齐奥尔科夫斯基、茹科夫斯基、恰普雷金等研究了翼栅和

绕流理论，奠定了现代空气动力学的基础。

周培源（1902-1993）、钱学森（1911-2009）等我国科学

家在湍流理论和空气动力学等领域作出了杰出贡献；

等等。§1-2、1-3流体力学研究内容和研究方法流体力学的研究遵循“实践—理论—实践”的基本规律建

立数学模型和实验研究在流体力学的研究中具有尤其重要

的作用。

流体力学研究的内容和方法

流体力学研究流体平衡和运动的规律。流体力学是力学的

一个重要分支，属于连续介质力学的范畴。流体力学研究

流体大量分子的宏观运动规律，不追究流体的分子运动。流体力学的研究方法总体上可以分为三种：理论分析方法、

实验方法和数值计算方法。三种方法相互配合与补充。

流体力学课程的地位和作用流体力学属于基础科学，也属于应用科学范畴。在工科院

校，属于技术基础课程。

流体力学在科学技术和工程实际中都有广泛的实用意义。

例如流体工程、机械制造、金属工艺、仪器仪表、热能工

程、航天航海、水利工程、生物工程、水电工程、石油化

工等等，都离不开流体力学。

中国探月工程2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”。嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段。

流体力学工程应用流体力学的应用范围非常广泛，从天气预报到航空航天，从海洋工程到医学，都离不开流体力学的研究。§1-4工程应用南水北调工程南水北调工程自2014年全面建成通水以来，南水已成为京津等40多座大中城市280多个县市区超过1.4亿人的主力水源。截至2023年3月31日，南水北调东中线工程累计调水量超612亿立方米。其中，为沿线50多条河流实施生态补水85亿立方米，为受水区压减地下水超采量50多亿立方米。“海洋石油982”钻探发现宝岛21-1大气田2022年，发现了我国首个深水深层大气田宝岛21-1，探明地质储量超过500亿立方米，是加快深海深地探测取得的有力进展。此次发现的宝岛21-1气田位于海南岛东南部海域深水区，最大作业水深超过1500米，完钻井深超过5000米，距离“深海一号”超深水大气田约150公里，海洋地质条件极端复杂。西气东输国家管网西气东输在福建运维天然气管道总长701.5公里，覆盖福建省6市24县（区）。自2017年正式向福建供气至今，已累计向福建供应天然气65亿立方米，相当于替代标准煤625万吨，减排温室气体737万吨、粉尘430万吨，为持续改善福建自然生态环境、提高居民生活水平提供了清洁用能保障，赋能福建生态文明建设。You!Thank工程流体力学

第二章流体的基本概念§2-1流体连续介质模型流体的概念

易于流动的物体统称为流体，流体分为液体和气体流体的基本特性第一，由大量分子组成；

第二，分子不断做随机热运动；

第三，分子与分子之间存在着分子力的作用。流体和固体的差别主要在于它们对剪应力的承受能力不同。固体能够产生一定的变形来承受剪应力，流体则不能。流体中的液体和气体之间也有差别，由于力学性能，其二者差别在于它们的可压缩程度不同。

连续介质模型（ContinuousMediumModel）从微观结构上来看，流体分子自然有一定的形状，因而分子与分子之间必然存在着一定的间隙，因此流体的物理量在空间上不是连续分布的。但是对于研究宏观规律的流体力学来说，一般不需要探讨分子的微观结构，因而必须对流体的物理实体加以模型化，使之更适于研究大量分子的统计平均特性、更利于找出流体运动或平衡的宏观规律。流体质点和连续介质的概念就是流体力学学科中必需引用的理论模型。流体质点：流体中宏观尺寸非常小而微观尺寸又足够大的任意一个物理实体。

流体质点的特点（1）流体质点无线尺度，只作平移运动，无变形运动；（2）流体质点不作随机热运动，只在外力作用下作宏观运动；（3）将以流体质点为中心的周围临界体积范围内流体分子相关特性的统计平均值作为流体质点的物理量值；（4）质点具有压强，这压强所包含分子热运动互相碰撞从而在单位面积上产生的压力的统计平均值。此外，流体质点也具有密度流速、动量动能、内能等宏观物理量，这些物理量的统计平均概念亦均类似；（5）流体质点的形状可以任意划定，质点和质点之间可以完全没有空隙，流体所在的空间中，质点紧密相接不断，无所不在，从而引出连续介质的概念。连续介质模型可以简单表述为：假设流体是由连续分布的流体质点组成的介质。引入连续介质模型后，可将不连续的流体介质看做连续的，以便于使用连续函数的各种运算。而且不用去追究复杂的分子运动，只把质点（微团）作为研究对象。需要注意，在研究飞船、卫星在高空（如在100km以上高空中）飞行的稀薄气体力学问题时，分子间的距离很大，这时稀薄气体效应显著起来，如再采用连续介质假设便不妥当了。§2-2流体的物理性质一、流体的密度、比体积和相对密度1.密度（Density）指单位体积所具有流体的质量，表示流体密集的程度，以表示。

对于非均质流体：对于均质流体：标准状态下的纯水：2.比体积（SpecificVolume）单位质量流体所占有的体积称为比体积v。比体积通常多用于气体计算3.相对密度（比密度）（SpecificDensity）某流体相对密度d定义为注：（1）旧标准中的重度在SI制中不采用，以替代。

（2）温度和压强的函数二、流体的易变形性流体不能抵抗任何剪切力作用下的剪切变形趋势（体积保持不变）。或者说，在剪切力（不论有多小）作用下，流体发生连续剪切变形，直至剪切力停止作用为止。连续剪切变形就是通常所说的“流动”。流体的易变形性是流体的决定性宏观力学特征，它决定了流体的各种力学行为。流体剪力示意图三、流体的粘性流体抵抗自身变形（或抵抗微团彼此相对运动）的性质称为粘性。粘性的概念和产生的原因粘性的实质：流体内摩擦力。粘性的特点：只有当流体有相对流动时才表现出来粘性产生的原因：1.流体分子间的引力2.分子不规则运动的动量交换液体粘性产生原因主要是1，而气体主要是2.

牛顿内摩擦定律1686年牛顿（Newton）采用图示的实验得出了液体粘性摩擦力的规律。总结出切应力和关系为上式即为牛顿内摩擦定律。注（1）当（2）为比例系数，取决于流体种类

等因素，称为动力粘度。（3）为常数的流体即遵从牛顿内摩擦

定律的流体称为牛顿流体，否则为

非牛顿流体。粘性的表示方法1.动力粘度（绝对粘度）

动力粘度又称为动力粘滞系数。定义式

与其他单位制换算关系2.运动粘度

定义式与其他单位制换算关系

相对粘度（条件粘度）E我国采用恩式粘度计，用比较法测得式中：

换算公式压强对流体粘度的影响一般情况下影响很小，可以忽略。通常只有高压下（指大于100大气压）时，才予以考虑。温度对流体粘度的影响温度变化流体的粘度将产生较明显的变化。随着温度的升高，气体的粘度将增大，而液体的粘度将减少，如图示。

例实验得出，在20~80°C范围内，机械油粘度随温度变化为式中——温度为

时的动力粘度；——温度为

时的动力粘度；——粘温系数，通常取理想流体忽略粘性或不考虑粘性的流体称为理想流体，是一种假想的模型，是为简化工程计算或理论研究而引入的。例一、一块可动平板与另一块不动平板之间为某种液体，两块板相互平行（如图）他们之间的距离h=0.5mm。若可动平板以v=0.25m/s的水平速度向右移动，为了维持这个速度需要每平方米面积上的作用力为2N，求这二平板间液体的粘度。解：例二、直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平板间充有厚度的油膜间隔，当圆盘以n=50r/min旋转时，测得扭转

。设油膜内速度沿垂直方向为线性分布，试确定油的粘度。解：四、流体的可压缩性1.热膨胀性流体受热膨胀的性质以热膨胀率确定，其定义式为即为当流体的温度变化1K时，体积的相对变化率。2.压缩性和弹性流体受压体积缩小的性质以压缩率K和体积弹性系数

（弹性模数）来确定。体积压缩率（CoefficientofVolumeCompressibility）K为当流体承受的压力变化1Pa时，体积的相对变化率。体积弹性系数（BulkModulusofElasticity）注:流体的越大，越难以压缩。流体的K，随温度T和压强变化。不同流体K，不同。3、可压缩与不可压缩流体可压缩流体（CompressibleFluid），指密度变化不能忽略不计的流体。不可压缩流体（IncompressibleFluid）,指流体密度随温度和压强变化很小，或其变化按工程精度要求可以不计的流体。注：（1）不可压缩流体为人们简化理论推导和工程计算的

模型。

（2）一般情况下均将液体看作不可压缩流体。

（3）对于低速（<68m/s）气流的计算，可按不可压缩流

体处理。例一、20°C的2.5m3水，当温度升至80°C时，其体积增加多少？解:例二、使水的体积减少0.1%及1%时，应增大压强各为多少？解：例三、圆柱容器中的某种可压缩流体，当压强为1Mpa时体积为1000cm3,若将压强升高到2MPa时体积为995cm,试求它的压缩率K。解：

例四、图示为一压力表校正装置示意图。装置内充满油液，其体积压缩系数装置内压强由手轮丝杠和活塞造成，活塞直径d=1cm，丝杠螺距t=2mm。无压时装置内油液体积为200ml,若要形成

的压强，手轮需摇多少转？（不计壳体的变形）解：

五、表面张力液体表面由于分子受力不均衡而引起收缩趋势的力称为表面张力。液面上，单位长度所受拉力定义为表面张力系数，单位为N/m或10-3N/m。表面张力系数的大小受温度、液体中所含杂质和液体接触的气体种类影响。

表面张力引起的附加法向压强由拉普拉斯公式确定

式中—液体曲面在互相垂直二平面上的曲率半径。毛细现象液体由于表面张力作用在细管或微小缝隙中上升或下降的现象称为毛细现象在玻璃细管中水（浸润）和水银（不浸润），上升和下降的高度为式中—液面与管壁交角。如图所示。§2-3常见的流体模型一、粘性流体与理想流体模型1.粘性流体流体的粘性是流体的一种物理特性，它表示流体各部分之间动量传递的难易程度，反映了流体抵抗剪切变形的能力。自然界中的实际流体都是具有粘性的，所以实际流体又称粘性流体。流体的粘性是流体的一种物理特性，它表示流体各部分之间动量传递的难易程度，反映了流体抵抗剪切变形的能力。自然界中的实际流体都是具有粘性的，所以实际流体又称粘性流体。2.理想流体模型不具有粘性的流体称为理想流体，这是客观世界上并不存在的一种假想的流体。在许多场合，想求得粘性流体流动的精确解是很困难的。对某些粘性不起主要作用的问题先不计粘性的影响，使问题的分析大为简化，从而有利于掌握流体流动的基本规律。至于粘性的影响，则可根据试验引进必要的修正系数，讨论由理想流体得出的流动规律加以修正。此外，即使是对于粘性为主要影响因素的实际流动问题，先研究不计粘性影响的理想流体的流动，而后引入粘性影响，再研究粘性流体流动的更为复杂的情况，也是符合认识事物由简到繁的规律的。采用理想流体流动模型，就形成了理想流体力学理论。这一理论在解释很多实际问题如：机翼升力、诱导阻力等方面，起到了重要的作用。歼-20（英文：ChengduJ-20，代号：威龙）是解放军研制的最新一代（欧美旧标准为第四代，俄罗斯新标准为第五代）双发重型隐形战斗机，2019年10月13日，歼-20战机列装中国人民解放军空军王牌部队。其研发过程便运用到了理想流体流动模型。二、可压缩流体与不可压缩流体模型1.可压缩流体模型流体的可压缩性是在外力作用下流体的体积或密度发生改变的性质，流体的可压缩性通常用等温体积压缩系数来衡量。众所周知，流体都是可以压缩的，相对来说，液体的可压缩性比较小，气体的可压缩性比较大。考虑流体为可压缩时，流体的运动将变得复杂得多：第一，流体密度为非常变量，密度的变化不仅将引起流体热状况的变化，同时它又反过来影响流体的力学状态。在数学上，方程中未知量多了一个，为求解得再引入其他方程；第二，连续性方程变为非线性的，使求解困难；第三，在某些情况下，可能产生物理量的间断面，通常称为激波。2.不可压缩流体模型处理实际问题时，有时将流体的密度近似看成不变的，即，称为不可压缩流体。所谓密度不变，实际上是随着压强和温度的变化，密度仅有微小的变化。在大多数情况下，液体可以忽略压缩性的影响，认为液体的密度是一个常数（水击等问题除外），而气体一般较容易压缩，在一些情况下，也把气体视为不可压缩的。采用不可压缩流体模型，将使方程组有很大简化，这时取密度为常数（均质流体）方程组将减少一个未知量。三、非定常流动与定常流动模型1.非定常流动模型运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动，称为非定常流动。其中，除了随时间变化极慢的流动可近似为定常流动外，都必须考虑其非定常效应。这时不仅产生不定常变化顶，而且当流动变化很快时，可能产生新的物理现象，例如管道水流突然因阀门关闭产生很强的惯性作用，水被压缩（水常被视为不可压缩的）形成压力波在管中的传播，这就是通常所称的水锤（击）现象。2.定常流动模型运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）不随时间而变化的流动，称为定常流动。由于对定常流动的研究要简单得多，甚至有时在定常流动的条件下，微分方程可直接积分出来，因此，定常流动是一种简化的模型。定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数，仅是空间点坐标的函数而与时间无关。在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一正常情况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动，可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。四、有旋流动与无旋流动模型1.有旋流动模型流场中流体质点有旋转的流动称为有旋流动，有旋流动在自然界是普遍存在的，如大气中的台风，绕物体流动的尾涡等等，都是一种有旋运动。表征有旋运动的物理量称为涡量，也即速度旋度，其大小是流体质点旋转角速度的两倍。涡量高度集聚的区域就是涡。如果流体是斜压的或者作用于流体的力是非有势的，或者流体是有粘性的，那么在流体中就将产生涡，这说明了涡的普遍存在，飞机翼面附近的薄层流体（边界层）中由粘性产生的涡量，导致飞机产生了升力，有旋流动与大气、海洋中的很多现象也密切相关。2.无旋流动模型无旋流动是流场中各质点无旋转的流体运动。自然界中无旋运动很难见到，因为流体通常是斜压的，有粘性的，科里奥利力（非有势力）也可能在起作用。这都会导致产生涡，然而有一些假设下或某种近似时流动可视为无旋的，后面将会看到，无粘性止压流体在有势力的作用下，均匀来流绕物体的流动及从静止开始的流动都将是无旋的。例如机翼绕流，水波运动等都认为是一种无旋运动，这类流动在工程中经常遇到，具有重要意义。在无旋的条件下，就有速度势存在，再在流体不可压时，得到了速度势的拉普拉斯方程，数学上有成熟的处理方法，因此无旋运动是一种广泛应用的简化模型。五、重力流体与非重力流体模型在液体流动中，一般要考虑重力的作用，对于低速运动的流体，惯性力较小，重力是影响流体运动的主要因素，尤其是在海洋或大气运动中，更是如此。但在高速气流运动中，由于惯性力比重力大得多，重力常常被忽略。六、一维、二维与三维流动模型一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、y、z三个坐标的函数，称为三维流动。当我们简化流动参数为两个坐标的函数，这种流动为二维流动。常用两种坐标来讨论二维流动，一种是平面流动，如平面物体绕流运动；另一种是轴对称流动，如子弹、水雷等轴对称物体沿轴线方向的流动。流动参数是一个坐标的函数的流动，称为一维流动，如流体在细管中的运动，空间辐射状流动等。You!Thank工程流体力学

第三章流体静力学§3-1流体平衡微分方程一、流体静压强及其特性假设用平面ABCD将流体团分为I、II两部分，再将I部分移去，并以等效的力作用在平面ABCD上以代替它对II部分的作用。从平面ABCD上任取面积△A，设△F为部分I作用在△A上的总作用力。则将△F和△A的比值称为△A上的平均压强，以表示，即当面积△A无限缩小到一点时，比值趋近于某一个极限值，此极限值称为点的流体静压强，以表示，即流体静压强以Pa表示，1Pa=1N/m2。§3-1流体平衡微分方程一、流体静压强及其特性流体静压强有如下两项特性：（1）静压强方向必然总是沿作用面的内法线方向，即垂直并指向作用面。（2）静止流体中任点处的压强大小与其作用面方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。作用于静止流体内一给定点处不同方向的压强是常数，但在不同点处这一值一般并不相等，因而静止流体内的压强是位置的函数：§3-1流体平衡微分方程二、欧拉平衡方程在直角坐标系中，设密度为ρ的流体在体积力为作用下处于平衡状态。以流体质点M为基点，取边长分别为dx，dy，dz的正六面体为流体元。压强在流体元上的合力是由于存在压强梯度而造成的，图中仅标出沿x方向的压强分布。在过M点的yoz平面上压强为p，在相对的平面上压强有增量。这样作用在流体元上沿方向的压强合力与体积力平衡式为§3-1流体平衡微分方程二、欧拉平衡方程上式消去dxdydz后可得压强偏导数与体积力分量的关系式：在y、z方向，同理可得：矢量式为：上式为流体的平衡微分方程，又称为欧拉平衡方程。一般情况下体积力分布为已知条件，压强分布是需要求的。如果流体密度为常数，可对欧拉平衡方程直接积分求压强分布；如果流体是可压缩的（如大气），还需要补充密度与压强之间的关系式才能求解。式3-6式3-7式3-8式3-9§3-1流体平衡微分方程三、等压面流体压强在一点邻域内的空间增量可用全微分表示为将式3-6~式3-8中的压强偏导数分别代入此式，得因为等压面是压强场等值面，其压强处处相等。在上式中令dp=0，可得：上式为等压面的微分方程，若质量已知，积分此式可得等压面方程。式3-10式3-11§3-1流体平衡微分方程四、流体平衡的条件若将式3-6~3-8中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得：即：对于均质流体，ρ=常数，压强全微分式3-10变为欲使式3-13成立，必须使质量力矢量为某个标量函数的梯度。也就是说，若有势，必存在一个势函数，使式3-12式3-13§3-1流体平衡微分方程四、流体平衡的条件从而使全微分成立：即：式3-15表明，均质流体保持平衡的条件是质量力必须为有势力。重力是有势力，因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。式3-15式中称为质量力的力势函数。

U的物理意义：U的偏导数为质量力在各坐标轴的投影，而流场中空间任意点均存在质量力，此流场为有势力场。§3-2重力场中的流体平衡设图示的容器中静止的液体均质，容器上腔气压为。取图所示坐标后，可得

代入静平衡微分方程得积分得一、流体静力学的基本方程即：能量形式式中：gz为单位质量流体的重力势能，p/ρ为单位质量流体的压强势能。§3-2重力场中的流体平衡能量形式方程可改写为式中：z为位置水头；为压强水头。表明：不可压重力流体处于平衡状态时，精水头线C或计示精水头线为平行于基准面的水平线。一、流体静力学的基本方程水头形式能量形式和水头形式，均称为流体静力学基本方程，也称为静止流体能量守恒方程。其适用条件：①均质或不可压缩流体；②体积力为重力；③同种流体的连通范围内。§3-2重力场中的流体平衡在连通的流体内部，任取1和2两点，满足：此式表明，同种流体的密封连通器内，任两点的静水头高度相等。对于确定的两点，一点的压强变化必引起另一点压强的相同变化。在密封的充满流体的连通器内，一点的压强变化可瞬间传递到整个连通器域内，这就是帕斯卡原理。一、流体静力学的基本方程实用形式对于静止流体内部的压强分布，若自由面z=z0上p=p0，则淹没水深h=z0-z处压强为。可见重力场中不可压静止流体中压力分布随深度呈线性增加。§3-2重力场中的流体平衡1.密度ρ=C时：当可压缩流体密度为常数时，由流体平衡微分方程3-10，质量力只有重力，fx=fy=0，fz=-g，得二、可压缩流体中的压强分布因为气体的密度很小，对于一般的仪器和设备，当高度不是很大时，重力对气体压强的影响很小，可以忽略。故可认为各点的压强相等，即ρ=C。例如：在储气罐内的气体，可认为各点的压强相等。式3-18积分上式得：§3-2重力场中的流体平衡2.密度为变量时：以大气层为对象，研究压强的分布规律。二、可压缩流体中的压强分布在对流层中，密度随压强和温度变化，由理想气体状态方程式得，代入式3-18，得（1）对流层式3-20式中，温度T随高度变化，，T0为海平面上的热力学温度，0.0065K/m。于是有：§3-2重力场中的流体平衡积分上式得：整理得：二、可压缩流体中的压强分布将国际标准大气条件海平面（平均纬度45°）上的温度T0=288K（158）、P0=1.013×105

N/m2、R=287J/（kg·K）、β=0.0065代入上式，得到对流层标准大气压分布式3-21kPa式中，0≤z≤11000m。§3-2重力场中的流体平衡（2）同温层同温层的温度二、可压缩流体中的压强分布同温层最低处zd=11000m的压强，由式3-21算得pa=22.6kPa,式3-22将以上条件代入式3-20并积分，便可得到同温层标准大气压分布：KkPa式中，11000≤z≤25000m。§3-2重力场中的流体平衡三、浮力与稳定性如图所示，潜下表面abcde和上表面afcde。分析各自的压力体，可以合成该潜体的压力体。上表面组成的压力体，液体与压力体位于同侧，为正压力体；下表面组成的压力体，液体与压力体位于异侧，为负压力体。总压力的垂直分力即为浮力：该式表明，沉没在均质流体中的物体所受浮力的大小等于排开流体的重量，此即阿基米德浮力定律。§3-2重力场中的流体平衡三、浮力与稳定性潜体的稳定性取决于物体重心与浮心的相对位置，如图所示，一般有三种情形：稳定平衡：平衡时重心c位于浮心b正下方。当物体倾斜时，重力G与浮力Fb构成一恢复力偶，使物体回到平衡位置。不稳定平衡：平衡时重心位于浮心正上方。当物体倾斜时，重力与浮力构成一倾倒力偶，使物体倾覆。随遇平衡：平衡时重心与浮心重合。当物体倾斜时，既不发生恢复，也不发生倾倒。只有在均质液体中的均质潜体才有可能达到随遇平衡。§3-2重力场中的流体平衡四、压强的计量与测量1、绝对压强绝对压强是以完全真空（p=0）为基准计量的压强。对于p0=pa，则静止流体中某点的绝对压强为；2、相对压强相对压强是以当地大气压强pa为基准计量的压强，即高于大气压的压强，也称之为计示压强或表压强。那么，静止流体中某点的相对压强为；3、真空度负的计示压强，称为真空或负压强，用符号pv表示。则§3-2重力场中的流体平衡四、压强的计量与测量压强的单位：国际单位制为帕斯卡Pa（1Pa=1N/m2）；工程单位制，采用大气压（at，atm）、巴（bar）、液柱高度（mH2O，mmHg）。其换算关系：1atm（标准大气压）=1.01325Pa=760mmHg=10.33mH2O1at（工程大气压）=1kgf/cm2=98100Pa=736mmHg=10mH2O压强的测量，一般利用测压计进行流体静压强的测量，测压计类型主要有金属式、电测式、液柱式。例一、如图所示，有一直径d=100mm的圆柱体，其质量m=50kg，在力F=520N的作用下，当淹深h=0.5m时处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。解圆柱底面上各点的压力为因测压管下方H+h的点与圆柱底面在同一等压面上，故所以§3-2重力场中的流体平衡例二、用如图所示测压计测量管A中水的压力p。已知h=0.5m，h1=0.2m，h3=0.22m，酒精的密度水银的密度，真空计度数真空度。求A中水的压力。解在绝对静止条件下，对连续均质流体，有1-2、3-4、5-6等压面关系，有由重力作用下静止液体中压力分布公式，得如下诸关系式§3-2重力场中的流体平衡这里不计B中空气的质量，为水的密度。联立上述各式，整理得

这里是用计示压强来表示的。§3-2重力场中的流体平衡§3-3流体的相对平衡相对平衡研究两种情况，一种为等加速直线运动，一种为等角速旋转运动。一、直线运动容器中的液体平衡液体静压强分布规律处于等加速直线运动的静止液体中的流体质点，受有等值线性惯性力和重力的共同作用。以图示容器和所选坐标来分析时，有：根据压强差公式3-10得积分可得利用边界条件：坐标原点x=0，z=0时压强为p0，确定积分常数c=p0，故得压强分布规律为式3-23上式即为等加速直线运动容器中液体的静压强分布公式。§3-3流体的相对平衡等压面方程由等压面微分方程（3-11），得积分可得由此方程可以看出，等加速水平运动中液体的等压面是斜平面，不同的常数C代表不同的等压面，故等压面是一簇水平的斜面，其倾斜角为式3-24可见，等压面与质量力的合力相互垂直。式3-25§3-3流体的相对平衡自由液面方程自由液面是过坐标原点的等压面，当x=0，z=0时，积分常数C=0；如果令自由液面上某点的垂直坐标为zs，则自由液面方程为或将式3-27代入流体静压强分布公式3-23，得式3-26式3-27从该式看出，液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密度为ρ的液体所产生的压强。即等加速水平运动容器中液体的静压强公式与静止流体中的静压强公式完全相同。§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡如图，盛有液体容器绕垂直轴以等角速度ω旋转。液体被容器带动也随容器一起旋转，当容器与液体达到相对平衡后，液面呈如图中所示的曲面。根据达朗贝尔原理，作用在单位质量液体的质量力为§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡1、液体静压强分布规律积分，得根据压强差公式（3-10），有利用边界条件：坐标原点r=0，z=0时压强为p0，确定积分常数C=p0，故得压强分布规律为，即：式3-28上式即为等角速度旋转容器中液体的静压强分布公式。§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡2、等压面方程积分，得由等压面微分方程（3-11），得不同的常数C代表不同的等压面，由此方程可以看出，等角速度旋转容器中液体相对平衡时，等压面是一簇绕轴的旋转抛物面。即：式3-29式3-30§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡3、自由液面方程自由液面是过坐标原点的等压面，

当r=0，z=0时，积分常数C=0；如果令自由液面上某点的垂直坐标为z，则自由液面方程为将式（3-32）代入流体静压强分布公式（3-28），得式3-31式3-32即：从该式看出，绕垂直轴任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密度为ρ的液体所产生的压强。即等角速度旋转容器中液体静压强公式与静止流体中的静压强公式完全相同。§3-3流体的相对平衡§3-4静止流体对平壁的总压力1、总作用力的大小取与水平面成角平面上的面积A，并翻转90°角如图示，在h深处取dA上之作用力为总作用力为，若设C为A的形心，则静力矩得得，形心压强与面积的乘积。由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向，因此只须求总作用力的大小和作用点。一、解析法注：1、由于过形心C的惯性矩为正值，故，即压力作用点低于形心；2、各种图形之可查有关图标。3、对于非对称表面的x向位置，可以此方法推求。2、总作用力作用点取D为作用点，坐标，淹深，则由力矩原理有由惯性矩代入可得由平行移轴原理得总作用力作用点为§3-4静止流体对平壁的总压力

例一、如图所示，矩形闸门AB，宽b=1m，左侧油深h1=1m，油液密度，水深h2=2m，闸门的倾角，求作用在闸门在液体总作用力及作用点的位置。解：设闸门上油水分界点为E，总压力的作用点为D，为了便于求作用点的位置，将液体总压力为P1，P2，P3三部分，如图所示。§3-4静止流体对平壁的总压力上式中为水的密度。由可求得液体总压力P为总压力的作用点可由合力矩原理求得P1，P2，P3§3-4静止流体对平壁的总压力上式中§3-4静止流体对平壁的总压力

例二、示某水坝用一长方形闸门封住放水孔，闸门高L=3m，宽B=4m，闸门两边的水位分别为H1=5m，H2=2m。闸门垂直放置，试确定：（1）开启闸门时绳索的拉力T（绳索与水平面夹角为）。图中与比较很小，计算中忽略不计。（2）关闭位置时A点处的支撑力。解：（1）作用在闸板右侧的总压力为§3-4静止流体对平壁的总压力力P1的作用点力P2的作用点作用在闸板左侧的总压力为§3-4静止流体对平壁的总压力将闸门两侧的总压力及绳索拉力对转轴O取矩得到绳索拉力§3-4静止流体对平壁的总压力（2）闸门处于关闭状态时，绳索上拉力为零，闸板下端支撑

于A点，有力PA作用。将闸板上的受力对O点取矩，即

可求得PA。§3-4静止流体对平壁的总压力§3-4静止流体对平壁的总压力1、静水压强分布图根据基本方程p=p0+ρgh，直接绘在受压面上并表示各点压强大小和方向的图形。使用图解法，应先绘制静水压强分布图，然后据此计算静水总压力。二、图解法根据压强与水深呈直线变化的规律，只要定出AB面上两端点的压强，然后用直线连接两线段的端点(pA=0,

pB=

ρgH)，即得静水压强分布图。三角形ABC即为AB壁面上的静水压强分布图形。§3-4静止流体对平壁的总压力2、静水总压力设底边平行于液面的矩形ABCD,与水平面夹角为α，平面宽度为b，上下底边的淹没深度为h1、h2，二、图解法总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即F=bSABCD式3-32总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点。§3-5静止流体对曲壁的总压力静止流体对二维曲面壁的作用力如图所示。ab为二维曲壁的一部分，其形心C点的淹没水深为hCx，在ab上水深h处任取一面积微元dA，其水平方向投影面积dAx，铅垂方向投影面积dAz

。作用在dA上的总压力为dF=ρghdA，分解为一、静止流体对二维曲壁的作用力式3-37§3-5静止流体对曲壁的总压力将dFx对Ax积分得总压力的水平分力为一、静止流体对二维曲壁的作用力式3-38上式表明，液体对曲壁总压力的水平分力等于曲壁在该方向投影面积上的总压力，水平分力作用线通过投影面积的压强中心，方向指向曲壁，即水平分力相当于作用在平板Ax上的总压力。将dFZ对AZ积分得总压力的铅垂分力为式3-39其中称为压力体，它是图中曲面ab及其投影所围成的区域，而ρgVp则是压力体Vp内液体的重量。§3-5静止流体对曲壁的总压力一、静止流体对二维曲壁的作用力可见，液体对曲面壁总压力的铅垂分力等于压力体内液体的重量，垂直分力的作用线通过压力体的重心，即铅垂分力相当于压力体内的液体重力。总压力大小为：曲面壁总压力的水平分力作用线与垂直分力作用线交于一点，总压力作用线通过该点，并与铅垂线的夹角为：值得一提的是，当液体与压力体位于曲壁同侧时，压力体取正，表示铅垂压力方向向下；而当液体与压力体位于曲壁异侧时，压力体取负，称之为虚压力体，表示铅垂压力方向向上。§3-5静止流体对曲壁的总压力二、静止流体对三维曲壁的作用力在静止流体中，有一任意形状面积为A的曲面S：ABC，作用在三维曲面上的总压力等于分别作用在S的三个坐标投影面上的三个分力之合力。如图所示，在直角坐标系中，浸没于流体中的三维S，其三个投影面分别为OAB、OAC、OBC。在S上取微元面积dA=ndA，若淹没深度为h，压强p=ρgh，那么，微元上流体静压力为dF=p(-ndA)，静压力总和为:§3-5静止流体对曲壁的总压力二、静止流体对三维曲壁的作用力将dF投影到坐标轴x,y,z上，得式中：α,β,γ为微元面积的方向角dAx

,dAy,dAz为微元面积的三个投影面积，它们分别垂直于x,y,z轴。对上式三项分别积分，得：式3-41式3-42§3-5静止流体对曲壁的总压力二、静止流体对三维曲壁的作用力式(3-42)中前两式，h与微元面积dAx

或dAy平行，积分结果分别为对x,y轴的面积矩，ρghc为投影面积Ax、Ay的形心c处的压强。第三式中水深h与微元面积dAz相垂直，因此积分

是一个纯几何体积，即压力体体积，记为VF。一般而言，对于不规则的三维曲面壁，作用在三个投影面上的三个分力并不会相交于一点，而是构成空间一般力系。若式(3-42)积分的三个分量能交于一点，则作用在曲面S上的总静压力大小为式3-43方向分别为总静压力的矢量作用线与曲面的交点即为压力中心。式3-44You!Thank工程流体力学

第四章流体运动学流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力学因素。研究流体运动的方法一、拉格朗日法（LagrangeMethod)拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动规律，参见图。§4-1描述流体运动的两种方法拉格朗日法以某时刻

t0各质点的坐标位置a，b，c为其标志。因此，t时刻各质点的位置可表示为式中，改变a，b，c意味着改变了不同的研究质点。a，b，c称为拉格朗日变数。由此，某时刻t流体质点的速度和加速度可表示为§4-1描述流体运动的两种方法由上述可见，采用拉格朗日法无疑是复杂和困难的。目前，采用此方法的仅限于浅水波理论、波浪研究等极少领域。二、欧拉法（EulerMethod）欧拉法又称局部法。殴拉法广泛应用于流体力学的研究中。殴拉法研究某时刻位于流场中不同空间点的流体质点的运动规律，综合所有的空间点得到整个流场的运动规律。参见图。§4-1描述流体运动的两种方法采用欧拉，某时刻空间点速度可表示为式中x，y，z称为欧拉变数。§4-1描述流体运动的两种方法流体质点某时刻t位于（x，y，z）点的加速度表示为或简记为此加速度表达式称为质点导数。它由两部分组成：速度随时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度（LocalAcceleration）；速度随位置的变化率，称为位变加速度或迁移加速度（ConnectiveAcceleration）。§4-1描述流体运动的两种方法2、流线（StreamLine）（1）流线的定义：流线是某瞬时在流场中作出的一条空间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在该点相切,（如图示）。一、迹线与流线1、迹线（PathLine）迹线指流体质点运动的轨迹，如图所示。其方程为§4-2描述流体运动的基本概念

（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可在该瞬时作A点速度；在上靠近A点找点2，并在同一时刻作2点速度；再在上靠近2点找点3，也在同一时刻作速度；依次作到N点，得到折线A-2-3-…-N，当各点无限靠近时得到的光滑曲线即为流线。（3）特性：a恒定流动中，流线和迹线重合；b流线不能相交；c流线不能突然折转。§4-2描述流体运动的基本概念

(4)流线的方程：如图示某瞬时在过M点流线上取：、、；M点的速度：、、。由流线定义，即，同理可得该式为流线的微分方程。§4-2描述流体运动的基本概念二、定常流与非定常流1、定常流（SteadyFlow）恒定流动又称为定常流动。指流场中各空间点上的运动参数不随时间变化，只是坐标的函数。如

见图所示。恒定流动中有§4-2描述流体运动的基本概念2、非定常流（UnsteadyFlow）非恒定流动又称为非定常流动。指流场中各空间点上的运动参数（全部或个别）随时间变化。如图所示，一个水桶下部开有小孔，桶内的水流不断向外流出，桶中的水位不断下降，导致各点的水压、水流流速逐渐变化，因此，桶内各点的运动参数随时间变化。有：§4-2描述流体运动的基本概念三、流管、流束、流量与平均速度

流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状曲面，见图。

流束：流管内所有流线的集合为流束。

微小流束：断面积无限小的流束。

总流：无数流束的总和。注：（1）流束表面没有流体穿越；

（2）在微小流束断面上，运动参数各点相同；

（3）微小流束的极限是流线。§4-2描述流体运动的基本概念过流断面：流束或总流中，与所有流线正交的面，也称为有效断面，如图示。可以为平面或曲面。湿周：过流断面上，与固壁接触的边长，记为。

水力半径：流束或总流有效断面面积与湿周的比，记为R，即

当量直径：流束或总流4倍有效断面面积与湿周的比，记为De，即§4-2描述流体运动的基本概念常见断面的，R，De见图示。§4-2描述流体运动的基本概念

流量：单位时间内流过过流断面的流体量。当流体量以质量表示时，为质量流量，以标记；以体积表示为体积流量，以标记，可表示为断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有

对任一点有§4-2描述流体运动的基本概念四、一、二、三元流动

一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。一元流动（One-dimensionalFlow）：流体的运动参数只是一个坐标的函数，如，见图。§4-2描述流体运动的基本概念二元流动（Two-dimensionalFlow）：流体的运动参数为两个坐标的函数，如，见图。三元流动（Three-dimensionalFlow）：流体的运动参数为三个坐标的函数，如显然，通常的流动都为三元流动，二元、一元流动是简化的流动模型。§4-2描述流体运动的基本概念五、均匀流、急变流与渐变流在流场中，如果任一确定流体质点在运动过程中速度保持不变（大小和方向均不变），则将这样的流动称为均匀流。均匀流具有下列性质：①各质点的流速相互平行，过流断面为一平面；②位于同一流线上的各个质点速度相等；③沿流程各过流断面上流速剖面相同，因而平均速度相等，但在同一过流断面上各点处的速度可以不同；④可以证明，过流断面上压强服从静压强分布规律，即同一过流断面上各点的测压管水头相等。§4-2描述流体运动的基本概念如果流体质点在运动过程中速度大小或方向发生明显变化，这样的流动称为急变流。在实际工程中，有些流动虽然不属于严格意义上的均匀流，但是流体质点的速度变化比较缓慢（例如渐扩管或渐缩管中的流动），这样的流动称为渐变流。渐变流中的流线近乎平行直线，过流断面也可以近似看成平面。上述性质④可以推广至渐变流断面。§4-2描述流体运动的基本概念例一已知流速场为其中c为常数，求流线方程。解由式得积分得：则：此外，由得

因此，流线为xoy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（c＞0时）或平面点汇流动（c＜0时）。§4-2描述流体运动的基本概念例二已知某平面流场流速分布为求其流线和迹线方程。解由流线方程得积分得整理得流线式中常数由迹线方程积分得整理得迹线方程§4-2描述流体运动的基本概念例三某平面流场速度分布为试求在时过点的流线和迹线方程。解将速度代入流线微分方程积分得即由时过点得，所求流线方程为可知流线为双曲线。由迹线微分方程得此方程通解为§4-2描述流体运动的基本概念由时可得，于是迹线方程为消去得可见在非恒定流动中迹线为直线。若流动恒定，则流速为。可求得流线方程仍为。由迹线方程得即积分得由过点得得迹线方程为可以看出，当流动恒定时流线和迹线重合。§4-2描述流体运动的基本概念

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达形式。一、微小流束的连续性方程在不可压缩（密度ρ保持不变）一元恒定流场中取一微元流束，如图。由dt时间内流入、流出dA1、dA2流体相等可得即此式即为不可压缩流体的连续性方程

§4-3连续性方程不难证明，沿任一元流，上述各方程也成立。即：可压缩时：§4-3连续性方程不可压缩时：式(4-21)式(4-22)由于断面1、2是任意选取的，上述关系可以推广至全部流动的各个断面。即

流体微团的运动比刚体和固体复杂得多，它通常由平移，旋转和变形三部分组成。

柯西—亥姆霍兹（Cauchy-Helmholts）定理：一般情况下流体微团的运动可分解为，随同极点的平移、对于通过该极点瞬时轴的旋转和变形运动。证明：取平行六面体如图示，以A为极点，分析M点的运动。两点速度如图示。§4-4流体运动的分解

取单位厚度微团ABCD，将三维简化为二维来分析，其各点速度如图（A、B、C、D）所示。1、随极点平移：各点均有速度、。因此，dt时间内都随极点A平移了、的距离。

M点的速度可表示为§4-4流体运动的分解

2、线变形运动：由速度分布不难看出，dt时间内，B、D二点较A点沿坐标方向将产生和的线变形。依次可推得，微团上各点对于极点A都将存在线变形运动。3、角变形和旋转运动：图示经dt时间B相对A在Z方向移动D相对与A在y方向移动AB、AD转过的角度为§4-4流体运动的分解

规定以∠BAD平分线的转动程度来确定微团的旋转运动，以∠BAD大小的变化来度量流体微团的角变形。

一般情况下可取图示来分析，则由x方向看的角分线转角为

可得旋转角速度为

推广到三维空间可得流体微团旋转角速度为即§4-4流体运动的分解

流体微团角变形速度定义为

推广到三维空间可得

§4-4流体运动的分解

由上式可以看出，流体微团的运动由三部分组成：随极点的平移运动（式右第一项），变形运动（式右第二项，线变形加角变形）和旋转运动（式右第三项）。

柯西-亥姆霍兹定理证毕。由以上分析，可将平行六面体M点的速度推求得§4-4流体运动的分解注：有旋运动和无旋运动

当流场中流体微团旋转角速度或时，为有旋运动，如图示。

若或则为无旋运动，又称为有势运动。§4-4流体运动的分解流场有势与否可由下式判定例已知某二维不可压缩流场速度分布为试确定：（1）流动是否连续？（2）流场是否有旋？（3）速度为零的驻点位置。§4-4流体运动的分解解

（1）由

判断可知流动连续。（2）因为

所以流场无旋。（3）由驻点解方程得驻点为§4-4流体运动的分解You!Thank工程流体力学

第五章流体动力学§5-1雷诺输运定理一、雷诺实验1883年英国科学家雷诺(Reynolds)通过实验研究，发现流体有两种不同的流动状态，即层流和紊流。当管中水流速度较小时，染色水在玻璃管中保持一条直线，不与周围的水相混，这说明流体只做轴向运动，而无横向运动，此时水在管中分层运动，各层间互不干扰、互不相混，这种流动状态称为层流。§5-1雷诺输运定理当管中水流速度达到某一数值时，水线开始呈波纹状，流体质点出现了与轴向垂直的横向运动，流体的运动不再只是层状流动，开始跃层运动，这种状态称为过渡状态。管中流速增大到一定程度，染色水线在管中剧烈波动、断裂并混杂在许多小旋涡中，随机地充满整个管子截面，此时管中流体质点在向前流动时，处于完全无规则的乱流状态，这种流动状态称为紊流。§5-1雷诺输运定理二、临界雷诺数管中流动呈何种流态，除了与流体的平均流速有关外，还与管径d、流体的密度ρ、粘度μ等因素有关：式中的Re称为雷诺数。上式说明雷诺数与平均速度和管径成正比，与流体的运动粘度成反比。如果管径及流体运动粘度一定，则雷诺数只随平均速度变化。实验中发现流体由紊流转变为层流时的平均流速与由层流转变为紊流时的平均流速不同。这两个流速分别称为下临界流速

和上临界流速，相应的雷诺数分别称为下临界雷诺数Rec。及上临界雷诺数Rec’，即§5-1雷诺输运定理二、临界雷诺数雷诺通过实验测得上临界雷诺数为大于4,000的不确定量，其数值受外界扰动的影响而发生变化，下临界雷诺数为2,000。通常:属紊流流动属层流流动属不稳定状态，可能是层流也可能是紊流在实际工程上为简化分析起见，对于圆管中流动一般认为，当时流动为紊流，当时流动为层流。而对理想流体，不存在粘性应力，也没有层流、紊流的概念，讨论雷诺数是无意义的。§5-1雷诺输运定理三、雷诺运输方程设在某时刻的流场中，单位体积流体的物理量分布函数值为，则t时刻在流体域τ上的流体所具有的总物理量为I(t)，即设t时刻体积在空间τ(t)的位置上，在t+△t时刻该体积到达另一位置τ(t+△t)，如图所示。由导数定义:式中为:§5-1雷诺输运定理现将τ(t+△t)分为两部分，即与τ(t)重合的部分τ2和τ(t+△t)新占有的区域部分τ1，又设从τ(t)空出区域部分为τ3，故有式中，τ2+τ3即为体积τ，于是相应的体积分为因此有：式(5-10)§5-1雷诺输运定理式(5-10)等号右侧3项分别有：将上述3式带入式(5-10)得：此式表明，某时刻一可变体积上系统总物理量对时间的变化率，等于该时刻所在空间域(控制体)中物理量的时间变化率以及单位时间通过该空间域边界净输运的流体物理量之和，这就是著名的雷诺(Reynolds)输运定理，又称作雷诺运输方程。§5-2连续方程的微分和积分形式一、连续方程的积分形式根据质量守恒定律，体系内流体的质量在流动过程中不随时间而变化，则适用的连续方程为利用雷诺运输公式，可把式变成如下形式这就是适用于控制体的积分形式的连续方程，它说明控制体内流体质量的增加率等于通过控制面A进出的流体净流入率。对于定常流，由于，则连续方程变为或或式(5-18)对于一维定常流动，式(5-18)可写为或式(5-17)§5-2连续方程的微分和积分形式二、连续方程的微分形式利用高斯散度定理把方程式(5-17)中的面积分项改写为体积分项，即式(5-20)把式(5-20)代入(5-17)，于是有由于积分体积τ是任意取的，且假定被积函数连续，因此，只有当括号内的值处处为零时，积分才可能为零。于是就得到微分形式的连续方程，即式(5-22)将式(5-22)中项展开，则式(5-23)§5-2连续方程的微分和积分形式将式(5-23)代入式(5-22)，有因为则有这是另一种形式的微分形式连续方程，它与方程式(5-22)完全等价。对于可压缩流体的定常流动，微分形式的连续方程为对于不可压缩流体，因为，则有连续方程这说明不可压缩流体在流动过程中速度V的散度，即体积膨胀率处处为零。§5-3动量方程的微分和积分形式一、动量方程的积分形式对于某瞬时占据空间固定体积τ的流体所构成的体系，由牛顿运动第二定律可知，体系的动量随时间的变化率等于作用在该体系上所有外力的合力，即利用雷诺输运公式，则式(5-29)可写为式(5-29)

式(5-30)式(a)§5-3动量方程的微分和积分形式

式(b)负号表示压强方向与表面外法线方向相反。将式(a)与式(b)代入式(5-30)，则有对于支教坐标系，其三个分量形式为对于定常流，式(5-31a)变为式(5-31a)式(5-31b)§5-3动量方程的微分和积分形式二、动量方程的微分形式为了得到无粘流体的微分形式的动量方程，可采用高斯定理，把积分形式的动量方程式(5-31a)中的面积分转换成体积分，于是压力项变为式(5-35)动量通量项变为则式(5-31a)左端变为§5-3动量方程的微分和积分形式式(5-35)代入式(5-31a)，便有式(5-38a)因为τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此可知，被积函数恒为零，即或这就是理想流体的微分形式的动量方程，又称为欧拉运动微分方程。令Π代表粘性应力张量，可以推出粘性流体的动量方程为或式(5-38b)式(5-37a)式(5-37b)§5-3动量方程的微分和积分形式对于无粘气体，可以忽略质量力，即R=0，代入式(5-38a)于是有对于定常流动，从式(5-37a)则有上述矢量形式的欧拉运动微分方程也可改写成直角坐标系或其他坐标系中的相应形式。式(5-39)式(5-40)§5-4能量方程的微分和积分形式能量方程是热力学第一定律应用于流动流体时的数学表达式。对于某瞬间占据空间体积τ的流体所构成的体系，热力学第一定律可表述如下：单位时内外界传给体系的热量等于体系所储存的总能量的增加率加上体系对外界输出的功率，即

§5-4能量方程的微分和积分形式体系所储存的总能量包括内能和动能，以e代表单位质量流体的总内能(又称为广义内能)

则整个体系所具有的总内能E为§5-4能量方程的微分和积分形式由于外力有质量力和表面力，故体系对外界所做的功也可分为克服质量力和表面力所做的功两种。规定体系对外界做功取正值，外界对体系做功取负值。设单位质量流体所受的质量力为R，则单位时间作用于体系上的质量力对体系所做的功为这里所研究的是理想流体，不存在粘性剪切力，因而克服粘性剪切力所做的功为零。因此，表面力所做的功可以表示成积分号前未加负号是因为它是表示体系对外界所做的功，按规定应为正。则体系的能量方程可以写成式(5-43)§5-4能量方程的微分和积分形式一、能量方程的积分形式根据雷诺输运公式，则式(5-43)中控制体内流体所储存的能量随时间的变化率项可以写成

式(5-46)§5-4能量方程的微分和积分形式

把上面所得到的有关关系式代入式(5-43)，整理后得到把面积分项加以合并，则有式(5-49)这就是适用于控制体的积分形式能量方程式。方程式中的面积分项的积分面积A是指整个控制表面。§5-4能量方程的微分和积分形式

式(5-51)§5-4能量方程的微分和积分形式考虑到固体表面上不会产生流体的流进和流出。因此可以把上式写成

式(5-53a)式(5-52)式(5-54a)§5-4能量方程的微分和积分形式

式(5-53b)式(5-54b)§5-4能量方程的微分和积分形式二、能量方程的微分形式为了得到微分形式的能量方程，利用高斯定理把适用于控制体的积分形式能量方程式(5-53a)中的面积分项改成体积分项，即这时能量方程式(5-53a)变成

式(5-57)§5-4能量方程的微分和积分形式由于积分体积τ是任意取的，且假定积分号内的各参数都是连续的，因此被积函数必然等于零，即由于把这两个关系式代入式(5-58)，整理后得到式(5-58)式(5-61)§5-4能量方程的微分和积分形式注意到连续方程式为以及随体导数的表达式最后便可得到式(5-64)这就是微分形式的能量方程。§5-4能量方程的微分和积分形式对于粘性流体，令H代表总焓，e代表内能，在不考虑势能时则可以证明有下面两式成立，即式中，Φ为耗散函数，其表达式为式中，ɛ为变形率张量。如果质量力是重力，方程式(5-64)则变成式(5-68)§5-4能量方程的微分和积分形式当流体流动过程与外界既无热量交换又无机械功输入输出，并且流动为定常流时，则式(5-68)可简化为根据随体导数的物理意义可知，式(5-69)表明在绝能定常流动过程中，单位质量流体所包含的熔值、动能与势能之和(亦即具有的总能量)保持不变，即上式说明，在多维定常绝能流动中流体所具有的总能量沿迹线保持不变，由于定常流迹线与流线重合，因此沿流线流体总能量亦保持不变。一般情况下，不同流线的流体所具有的总能量是不相同的，只有当起始点上流体所具有的总能量相等，那么在整个流场上流体所具有的总能量才处处相等，这种流动叫做均能流。式(5-70)§5-5伯努利方程及其应用

式(5-71)由几何关系将流体元的加速度转换为欧拉形式的加速度，沿流线方向的质点导数式为式(5-75)则式(5-71)可表示为上式为无粘性流体沿流线的运动微分方程，又称为一维欧拉运动方程。为将方程沿流线积分，式(5-75)两边乘以ds并移向，又因可得式(5-77)§5-5伯努利方程及其应用§5-5伯努利方程及其应用式(5-78)将式(5-77)沿流线积分式(5-78)称为欧拉运动方程沿流线的积分式，适合于可压缩无粘性流体沿流线的不定常运动。对不可压缩流体的定常流动，式(5-78)可作进一步简化为式(5-79)式(5-79)称为伯努利方程。方程中的各项分别代表单位质量流体具有的动能、位置势能