模型31 平行四边形-梯子模型-解析版

平行四边形模型（三十一）——梯子模型【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P为AB的中点。◎结论：线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值。【证明】如图在Rt△AOB中，点Q是中点，∴OQ=12在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=QB2+CB若OC要取得最大值，则O，Q，C三点共线，即OC=OQ+QC，即OC=12AB+12AB1．（2022·河南·开封市第十三中学八年级期中）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【详解】取中点，连接、、，，．在中，利用勾股定理可得．在中，根据三角形三边关系可知，当、、三点共线时，最大为．故选．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____．【答案】2+【分析】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP的长．在Rt△ABP中，由勾股定理得到BP的长．在△OBP中，根据三角形三边关系定理得到OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，从而得到OB的最大值．【详解】取AC的中点P，连接OP，BP，OB，则OP=AC=2．在Rt△ABP中，BP=．在△OBP中，OB≤OP+BP，当O、P、B三点共线时取等号，∴OB的最大值为．故答案为．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的斜边的一半和勾股定理．解题的关键是构造三角形OPB．1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；（2）由题意得：=20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，（米）答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：=20米，（米）则：=15-7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值．【答案】见解析【分析】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可；【详解】如图．在中，，∴．在中，由勾股定理得．∵，∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即；【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．【答案】（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cos30°=3，∴OD=OB+BD=9∴点C的坐标为（﹣3，9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=，故点C与点O的距离的最大值是12cm．考点：相似三角形综合题．2．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙20米，如图．（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？【答案】（1）15米；（2）5米．【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可；（2）根据题意表示出EA长，再在直角△EDB中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长．【详解】解：（1）由题意得：米，米，则（米），即这个梯子的顶端距离地面15米，

（2）由题意得：米，米