模型26 勾股定理-378和578模型-解析版

勾股定理模型（二十六）——378和578模型当两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8时，我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，①这两个三角形的面积63、103.②3、8与5、8夹角都是60°【证明】①过A作AE⊥BC于E,∵△ABC为等边三角形，可求出AE的长为43∴△ABD的面积为12BDAE＝63，△ACD的面积为103②有上面△ABC是等边三角形可知，∠B＝∠C＝60°，∴3、8与5、8夹角都是60°1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级专题练习）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图设BD=x，则CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：则得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件．1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】过点A作交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点A作交BC延长线于点D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故选C．【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（

）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积．【详解】如图，过作于，设，则，在中解得故选A【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．【答案】【分析】先过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面积求出IE即可．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，∴设AD＝x，则CD＝8−x，在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，∴32−x2＝72−（8−x）2，解得：x＝，∴AD＝，∴BD＝过点I作IE垂直BC于E，∵I为△ABC的内心，∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，∵S△ABC＝AC