《工程流体力学》第6章 计算流体力学

工程流体力学

第六章计算流体力学§6-1概述一、数值模拟的步骤（1）首先，建立反映工程或物理问题本质的数学模型，具体地就是要建立反映问题各个量之间的微分方程及相应的定解条件，这是数值求解的出发点。（2）数学模型建立之后，则需要合适的数值求解方法。如有限差分法、有限元法、有限体积法等。计算方法不仅包括微分方程的离散化方法、求解方法，还包括坐标的建立、边界条件的处理等。（3）程序编制及运行计算，包括计算网格划分、初始条件和边界条件的输入、控制参数的设定等。（4）数据处理，大量的数据可以通过图表形象地显示出来，并进行分析、判断。§6-1概述二、数值求解方法流动数值计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法和边界元法等。（1）有限差分法是发展最早、目前应用较广的一种流动数值方法。该方法将求解域（如流场）划分为差分网格，最简单的是矩形网格。用有限个网格节点（即离散点）代替连续的求解域，然后将控制流动的微分方程的导数用差商代替，导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组，求解差分方程组（即代数方程组），所得到的解即为该流动问题的数值近似解。§6-1概述二、数值求解方法流动数值计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法和边界元法等。（2）有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状（三角形或四边形）的若干单元，并于各单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（如伽辽金法），由流动问题的控制微分方程构造积分方程，对各单元积分得到离散的单元有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值，从而求得该流动问题的数值解。§6-1概述二、数值求解方法流动数值计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法和边界元法等。（3）有限分析法是在有限元法基础上的一种改进，其基本思想是：离散单元上的解，不再用插值函数来表达，而是方程局部线性化后的解析解。首先，将待求问题的总体区域划分为许多小的子区域，在这些子区域中求局部解析解；然后，从局部解析解导出一个代数方程，使子区域上的内节点值与相邻的节点值联系起来；接着把所有的局部解析解汇集在一起，就得到所求问题的有限分析数值解。§6-1概述二、数值求解方法流动数值计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法和边界元法等。（4）有限体积法基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，即每个控制体积都有一个节点作为代表。将待解的微分方程对每一个控制体积进行积分，得出一组离散方程。其中的未知数是网格点的因变量φ。为了求出控制体积的积分，必须假定φ值在网格点之间的变化规律，即设定其分段分布剖面。§6-1概述二、数值求解方法流动数值计算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限体积法、有限分析法和边界元法等。（5）边界元法首先将控制微分方程化为边界积分方程，再用有限元的基本思想与方法步骤（在求解域的边界上划分有限单元）来处理边界积分方程。与有限差分法和有限元法（在边界上满足边界条件，在域内只是近似满足控制微分方程）不同，边界元法在域内满足微分方程，而在边界上近似满足边界条件。§6-1概述三、CFD软件为方便用户使用CFD软件处理不同类型的工程问题，一般的CFD商用软件往往将复杂的CFD过程集成，通过一定的接口，让用户快速地输入问题的有关参数。所有的商用CFD软件均包括三个基本阶段：前处理、求解和后处理，与之对应的程序模块简称前处理器、求解器和后处理器。自1981年以来，出现了如PHOENICS、CFX、STAR-CD、FIDIP、FLUENT等多个商用CFD软件，随着计算技术的快速发展，这些商用软件在工程界正在发挥着越来越大的作用。§6-2流动模型为了能得到流体流动的基本方程，需要遵循以下过程：（1）从物理定律出发选择合适的物理学基本原理：a.质量守恒b.力=质量×加速度（牛顿第二定律）c.能量守恒（2）将这些物理学原理应用于适当的流动模型。（3）从这种应用中导出体现这些物理学原理的数学方程式。§6-2流动模型这一节论述上面的第二条，就是定义合适的流动模型。目前，对于有连续性的流体，答案是构造下面四种流动模型。（a）有限控制体模型（b）无穷小流体微团模型§6-2流动模型一、连续性方程某控制体的空间位置固定，设一点的流动速度为v，表面微元的面积向量为dS。仍用dv表示有限控制体内的一个体积微元。运动的流体穿过任意固定表面的质量流量=密度×表面面积×垂直于表面的速度分量。因此通过面积dS的质量流量微元为：§6-2流动模型一、连续性方程通过控制面S流出整个控制体的质量净流量等于在S上对式表示的所有质量流量微元求和。取极限，这个求和运算成为一个面积分，即：因此控制体内的总质量为：则体积v内质量的总增加率为：§6-2流动模型一、连续性方程相反的，体积v内质量的减少率是上式的负数，即：因而有：上式是连续性方程的积分形式。它是基于空间位置固定的有限控制体推导出来的。控制体有限的体积就是方程具有积分形式的原因，这种形式称为守恒形式。由空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程就定义为守恒型方程。§6-2流动模型二、动量方程将牛顿第二定律应用在右图所示的运动流体微团，将作用在单位质量流体微团上的体积力记作f，其x方向分量为fx。流体微团的体积为dxdydz，所以：作用在流体微团上的体积力的x方向分量=ρfx(dxdydz)式(6-17)§6-2流动模型二、动量方程流体微团的切应力和正应力与流体微团变形的时间变化率相关联，下图给出了xy平面内的情形。在大多数粘性流动中，正应力要比切应力小得多，很多情形下可以忽略。然而，当法向速度梯度很大时（例如，在激波内部），正应力就变得重要了。§6-2流动模型二、动量方程对运动的流体微团，有：X方向总的力Fx，可以由式(6-17)和(6-18)相加得到，化简得：式(6-18)运动的流体微团，其质量是固定不变的，等于：式(6-19)式(6-20)§6-2流动模型二、动量方程另外，流体微团的加速度为速度变化的时间变化率。因此，加速度的x方向分量，记作ax，等于u的时间变化率。即为：联立式（6-16）、（6-19）与（6-21）可得：式(6-21)这就是粘性流x方向的动量方程。同理可求：式(6-22a)式(6-22b)式(6-22c)§6-2流动模型三、能量方程作用于速度为V的流体微团上的体积力，功率为：x方向上压力和切应力对流体微团做功的功率，就等于速度的x分量u乘以力，即uτxydxdy。所有x方向上表面力对运动流体微团做功的功率为：§6-2流动模型三、能量方程上式仅考虑了x方向上的表面力。再考虑y和z方向上的表面力，也能得到类似的表达式。加在一起，对流体微团做功的功率是x、y和z方向上表面力贡献的总和，记作C，即：式(6-24)§6-2流动模型三、能量方程定义为单位质量的体积加热率。在上图中，运动流体微团的质量为ρdxdydz，我们由此得到：经过面bcgf输运到微团外的热量是再加上图6-6中通过其他面在y和z方向上的热的输运量，我们可以得到§6-3有限差分法一、概念有限差分法是用一组离散点上的数值来逼近微分方程连续函数精确解在该点的值。在这组离散值之间用差商来近似和代替导致，由此将微分方程近似地由一组代数方程表示，该代数方程称为差分方程，求解这组差分方程得到离散值，这些值被认为是微分方程的近似解。因此，有限差分法的第一步是对求解区域进行离散，如求解热传导方程：要将求解区域划分为右图所示的平面求解区域内的离散网格。§6-3有限差分法二、性质差分方程可以由许多方法构成，但最重要的是泰勒展开法，泰勒展开法常用来验证差分方程的精度。要注意的是需将差分方程中的所有离散值对同一点展开，因为微分方程或差分方程都是对某一点建立的。建立差分方程后，微分方程和差分方程之间以及差分方程本身要满足三个条件才有可能使得从差分方程得到的解可作为微分方程的近似解，这三个条件就是差分方程要与微分方程相容、差分方程的解要收敛于微分方程的精度解、差分方程的计算要稳定。§6-3有限差分法三、模型方程的差分格式模型方程是流体力学方程的细胞和基因，计算流体力学的研究都是从这些模型方程的格式研究开始的。满足相容性条件的模型方程的差分格式有以下几种。1.波动方程(1)迎风格式(Upwind)(2)拉克斯(Lax)格式(3)隐式格式(4)拉克斯-文多夫(Lax-Wendroff)格式2.热传导方程3.无粘性伯格斯方程§6-4有限元法一、概念有限单元法以Galerkin法等微分方程近似解法为基础，但它与经典Galerkin法等解法有很大差别。经典Galerkin法中构成近似解的基函数定义在整个求解区域，并准确满足一定的边界条件，所以只适用于具有比较规则几何形状的区域。而有限单元法在选用基函数时，不再选用整体函数，而是选用分块多项式。它把整个区域分成若干子区域，在子区域上用线性无关的规格化的基数来分块逼近，这些子区域称作单元或元素。§6-4有限元法二、有限元法的解题步骤（1）区域剖分。（2）选取单元插值函数。（3）写出Galerkin积分表达式。（4）单元分析。（5）总体合成。（6）边界条件的处理。（7）解总体有限元方程。§6-5有限体积法一、有限体积法的网格有限体积法的区域离散过程是：把所计算的区域划分成多个互不重叠的子区域，即计算网格，然后确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制体积。有限体积法的四个几何要素为：（1）节点：是指需要求解的未知物理量的几何位置。（2）控制体积：是指应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。（3）界面：它规定了与各节点相对应的控制体积的分界面位置。（4）网格线：是指联结相邻两节点而形成的曲线族。§6-5有限体积法二、一维稳态问题以一维稳态问题为例，对其控制微分方程，说明采用有限体积法生成离散方程的方法和过程，并对离散方程的求解过程进行总结：（1）问题的描述。（2）生成计算网格。（3）建立离散方程。（4）离散方程的求解。§6-5有限体积法三、有限体积元的几条基本法则（1）控制体积交界面上的连续性原则当一个表面为相邻的两个控制体积所共有时，在这两个控制体积的离散方程中，通过该界面的通量（包括热通量、质量流量、动量流量）的表达式必须相同。显然，对于某特定界面，从一个控制体积所流出的热通量，必须等于进入相邻控制体积的热通量，否则，总体平衡就得不到满足。（2）正系数原则在任何输运过程中，物理量总是连续地变化的。计算域内任一物理量升高时，必然引起邻近节点相应物理量的升高，而绝不能降低，否则连续性将被破坏。这一性质反映在标准形式的离散方程中，所有变量的系数的正负号必须相同。不妨规定：离散方程的系数全为正值，称为正系数原则。§6-5有限体积法三、有限体积元的几条基本法则（3）源项线性化负斜率原则在大多数物理过程中，源项及应变量之间存在负斜率关系。如果Sp为正值，物理过程可能不稳定。如在热传导问题中，Sp为正，意味着Tp