模型20 轴对称-婆罗摩笈多模型-原卷版

轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型一、垂直中点【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②S＝S，③CE＝2BN.【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM∴AP＝DQ易证：△APN≌△DQN∴AN＝DN②如图，由①知，S＝S，S＝S，S＝S∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.二、中点垂直【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②S＝S,③AD=2BP【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）证明：延长BP至点M，使PM＝BP，连结ME，易证：△PBC≌PME∴BC＝ME，BC∥ME∵AB＝AC∴AB＝EM，∵BC∥ME，∴∠CBE＋∠BEM＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠MEB，易证：△ABD≌△MEB，∴∠2＝∠1，∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠DQP＝90°②如图，由①知S＝S＋S＝S＋S＝S＝S,得证.③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译“卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展2：如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展3：如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②S＝S.⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②S＝S.拓展4：如图，在△AOB、△COD中，，且∠AOB＋∠COD=180º，则S＝S.1．（江西省南昌市第十九中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.1．（河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020学年八年级上学期期末数学试题）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1，，其中，，此时，点与点重合，操作探究1:（1）小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．操作探究2:（2）小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①时，求证：为等边三角形；②当__________时，．（直接回答即可）操作探究3:（3）小颖将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当时，直接写出线段的长为_________．②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长为____________．2．（重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022学年九年级下学期5月月考数学试题）已知，，，点线段中点，连接．为平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段交于点，若，，求的面积；(2)如图2，若点在的内部连接、，线段交线段于点，当时，求证：；(3)如图3，过作的平行线，交直线于点．连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值．1．（2021年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为．②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．2．（2020年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”．【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．①如图2，当为等边三角形，且时，则长为．②如图3，当，且时，则长为．【猜想论证】