模型03 相交线与平行线-猪蹄模型-解析版

相交线与平行线模型（三）——猪蹄模型◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【证明】过点O作OE//AB，如图.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【证明】过点O作OE∥AB，如图，则∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.1．（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期中）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】解：①过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2022·江苏·苏州工业园区景城学校七年级阶段练习）如图，ABDE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大 D．β随α增大而减小【答案】C【分析】过C点作CFAB，利用平行线的性质解答即可．【详解】解：过C点作CFAB，∵ABDE，∴CFDE，∴∠α=∠BCF，∠β+∠DCF=180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF=90°，∴∠α+180°-∠β=90°，∴∠β=90°+∠α，∴β随α增大而增大，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，，，则与满足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C作CFAB，由，则，利用平行线的性质求解即可．【详解】解：过点C作CFAB，如图，∵CFAB，∴∠BCF=∠α，∵ABDE，∴CFDE，∴∠FCD=180°-∠β，∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠α+180°-∠β，∵∴∠α+180°-∠β=96°，∴，故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．1．（2021·河南新乡·七年级期中）如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED的度数为(

)A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】过点E作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可推导，再根据∠B+∠C=180°，借助平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可判断，故有，可知，然后由计算∠AED的度数即可．【详解】解：如下图，过点E作，则，∵∠B+∠C=180°，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．2．（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝25°，则∠1的度数为___．【答案】65°【分析】过直角顶点作直尺长边的平行线，根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠1的度数，本题得以解决．【详解】解：过直角顶点作直尺长边的平行线，如右图所示，则∠2=∠3，∠1=∠4，∵∠2=25°，∴∠3=25°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=65°，∴∠1=65°，故答案为：65°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．3．（2022·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）如图，直线，，＝，＝，则的度数为

________．【答案】117°##117度【分析】过C作，过B作，利用平行线的性质和判定即可得出结论．【详解】解：过C作，过B作，∴,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．1．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．（1）解：如图4所示：过点作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如图5过点作，∵∴∴，，∵，∴；②如图6过点作，∵∴∴，，∵，∴．【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．2．如图：(1)如图1，，，，直接写出的度数．(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，见解析；(3)∠BED的度数为130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．（1）解：（1）如图，作EF∥AB，，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠