高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专练02不等式恒成立问题【原卷版+解析】

专练02不等式恒成立问题热点题型速览热点题型速览热点一热点一二次不等式在R上的恒成立问题1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?【点评】1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．热点二热点二二次不等式在给定区间上的恒成立问题6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．10.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.11．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【点评】1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.热点三热点三二次不等式能成立或有解问题13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()A．a≤2 B．a≥2C．a≥ D．a≤14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．热点四热点四给定参数范围的恒成立问题17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．18.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.19.（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设，，函数.(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值为，求的取值范围；(3)当时，对任意的正实数，，不等式恒成立，求的最大值.【点评】1.转化与化归思想方法，是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．不等式恒成立通过分离参数，转化为函数最值问题．2.此类问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3.换元思想能使问题简化.热点五热点五均值不等式求解恒成立问题20．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．21（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．22．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．25．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为______26．（2023·新疆·统考二模）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)对于任意的正实数m，n，且，若恒成立，求实数a的范围.热点六热点六换元法求解不等式恒成立问题27．【多选题】（2022秋·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（

）A． B．C．的最小值为12 D．的最小值为28．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．29．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．30．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数a的取值范围是_________．31．（2023·全国·高三专题练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.32．（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数在区间上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【综合点评】1.求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象和性质求解．2.换元法常常用于求解复杂的不等式恒成立问题.专练02不等式恒成立问题热点题型速览热点题型速览热点一热点一二次不等式在R上的恒成立问题1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】分以及，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】当时，原不等式可化为在R上恒成立；当时，由不等式的解集为，可知应有，解得.综上所述，的取值范围是.故选：B.2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.【答案】【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所恒成立，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，.故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.【详解】解：原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.【答案】/0.25【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.【详解】由题设，有，又，则，又，则，故存在使成立，则，所以，令，故，所以，且，而，仅当，即等号成立，所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?【答案】【分析】根据二次项系数分类讨论．【详解】时，不等式为，不合题意；时，不等式为，解集为，则，解得．所以当且仅当时，题设不等式的解集为R．【点评】1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．热点二热点二二次不等式在给定区间上的恒成立问题6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.【详解】，，得，A是的必要不充分条件，B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，D：是的充分不必要条件．故选：D．7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.【详解】在中，，记，则，因为，所以，，从而，所以可化为，即恒成立，所以依题有，化简得，即得恒成立，又由，得或.故选：D．8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.【详解】由基本不等式，，故只需要即可，即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.当时，由于，原式可变形为，记，根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递增，此时；当时，由于，原式可变形为，记，根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，当，当，注意到，故当时，，故.综上，.故选：D9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析可得对恒成立，对整理分析可得：对恒成立，结合二次函数的性质分析运算.【详解】∵当时，则，可得；当时，则，可得；∴当时，，故原题意等价于对恒成立，整理得，∵，则，可得，故原题意等价于对恒成立，构建，可知开口向上，对称轴，可得，或，或，解得，所以a的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点睛：1.对的符号分析可得：对恒成立；2.对因式分解，分析可得：对恒成立.10.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】．【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.【详解】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．故答案为：.11．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】【分析】首先不等式变形为恒成立，讨论的取值，利用参变分离，结合基本不等式，转化为求函数最值问题.【详解】∵对任意的，恒成立，恒成立，即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，，，，当且仅当时，即，时取“=”．．当时，．∵，．令，则，∵函数在上单调递增，∴当，即时，函数取到最大值，．综上所述，的取值范围是．【点评】1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.热点三热点三二次不等式能成立或有解问题13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()A．a≤2 B．a≥2C．a≥ D．a≤【答案】D【解析】∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解⇔a≤，x∈[1,2]，∵函数y＝x＋在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝，∴a≤.14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.【详解】因为当时，；，所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.当时，，，故当时，对任意，不成立，当时，，同理当时，，以此类推，当时，必有.函数和函数的图象如图所示：因为当时，，令，解得，（舍去），因为当时，成立，所以.故选：A.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案.【详解】由题意知若，即，∴，∴当时，；当时，，∵的解集为，∴，，且的解集为，∴与是的两根，故，∴，又，∴，又，∴，故答案为：热点四热点四给定参数范围的恒成立问题17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．【答案】【解析】设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则，即，解得，故x的取值范围为.18.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.【答案】【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是19.（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设，，函数.(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值为，求的取值范围；(3)当时，对任意的正实数，，不等式恒成立，求的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)1【分析】（1）变换得到，考虑，，三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为，考虑和两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当时和当时两种情况进行讨论，当时注意用换元法把换成t，得到又由题意对任意的不等式恒成立，而，只要时不等式成立即可从而解出m的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）即，即，的两根为和当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为.综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.（2）因为，，所以，的对称轴为，当时，即时，，不合题意；当时，即时，，而，符合题意.故取值范围为.（3）当时，不等式即为：，整理得：即：，令则，所以不等式即，即：，由题意：对任意的不等式恒成立，而，只要时不等式成立即可，，而，；当时，同理不等式可整理为：，令则，所以不等式即，即：，由题意：对任意的不等式恒成立，而，只要时不等式成立即可，，而，；综上，的最大值为1【点评】1.转化与化归思想方法，是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．不等式恒成立通过分离参数，转化为函数最值问题．2.此类问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3.换元思想能使问题简化.热点五热点五均值不等式求解恒成立问题20．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先参变分离，转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】由题意可知，对任意的，恒成立，即，当时，，当，即时，等号成立，所以.故选：D21（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.【详解】因为，所以，所以由可得，因为，所以，所以，所以，当且仅当，时取等号，故选：B．22．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.23．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．【答案】3【分析】先整理得，再求得，从而即可求得的值；进而将转化为，再得到在R上为增函数，从而得到对恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数的取值范围．【详解】由，则，所以则，所以可转化为，因为在R上为增函数，所以在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即实数的取值范围．24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．【答案】【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．25．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为______【答案】【分析】原不等式可转化为∀，t恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得答案．【详解】因为∀，∴sinx＞0，cosx＞0，∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立⇔t恒成立，∵＝（当且仅当，即tanx＝时取等号），∴t．故答案为：．26．（2023·新疆·统考二模）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)对于任意的正实数m，n，且，若恒成立，求实数a的范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分，，几种情况去掉绝对值，即可解不等式；（2）恒成立，等价于，利用基本不等式可得，又，即可得答案.【详解】（1）原不等式为，当时，，得，所以；当时，恒成立，所以；当时，，得，所以.综上，不等式的解集为；（2）因为m，n为正实数，恒成立，即为，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.又因为（当时取等号），要使恒成立，只需.所以或.热点六热点六换元法求解不等式恒成立问题27．【多选题】（2022秋·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（

）A． B．C．的最小值为12 D．的最小值为【答案】ACD【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.【详解】因为,恒成立,即恒成立,因为,所以当时,,则需,当时,,则需,故当时,,即,所以且,故选项A正确,选项B错误;所以,当且仅当时,即时取等,故选项C正确;因为,令,当且仅当，即时等号成立，故，所以,故,所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.故选:ACD28．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．【答案】/【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.【详解】当时，不成立，所以.由得.因为，，所以，解得，即.所以，令，则，于是.令，，则.由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.所以，即的最大值为.故答案为：.29．（2023·全国·模拟预测）已知函