高中数学 第4章 §1 1.1导数应用同步测试 北师大版选修1-1

【成才之路】-学年高中数学第4章§11.1导数应用同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，eq\f(1,e))上是减函数，在(eq\f(1,e)，6)上是增函数D．在(0，eq\f(1,e))上是增函数，在(eq\f(1,e)，6)上是减函数[答案]A[解析]∵0<x<6，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调增区间是()A．(0，eq\f(4,3)) B．(eq\f(4,3)，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(eq\f(4,3)，＋∞)[答案]A[解析]f(x)＝x2(2－x)＝2x2－x3，f′(x)＝4x－3x2，令f′(x)>0，得0<x<eq\f(4,3)，故选A.3．(·新课标Ⅱ文，11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]D[解析]由条件知f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图像位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图像知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案]B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()[答案]D[解析]函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A、C；函数f(x)在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f′(x)在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正，故D选项符合．二、填空题7．函数f(x)＝x3－5x2＋3x＋6的单调递减区间为________．[答案](eq\f(1,3)，3)[解析]f′(x)＝3x2－10x＋3＝(3x－1)(x－3)，令f′(x)<0，得eq\f(1,3)<x<3，故函数f(x)的单调递减区间为(eq\f(1,3)，3)．8．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝____________.[答案]eq\f(9,2)[解析]令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(2,3)m，所以eq\f(2,3)m＝3，m＝eq\f(9,2).9．(·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)≤1，,f′1＝3×12－2a－3≥0，))解得a≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图像过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[答案](1)a＝4，b＝－3(2)增区间(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，减区间(－3，eq\f(1,3))[解析](1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图像在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>eq\f(1,3)；令f′(x)<0，可得－3<x<eq\f(1,3).∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，单调减区间为(－3，eq\f(1,3))．一、选择题11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()[答案]A[解析]∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.12．函数f(x)＝－eq\f(x,ex)(a<b<1)，则()A．f(a)＝f(b)B．f(a)<f(b)C．f(a)>f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]f′(x)＝(eq\f(－x,ex))′＝eq\f(－x′·ex－－x·ex′,ex2)＝eq\f(x－1,ex).当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数，∵a<b<1，∴f(a)>f(b)．13．(·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f()>efB．f(2)<e2f(0)，f()>efC．f(2)<e2f(0)，f()<efD．f(2)>e2f(0)，f()<ef[答案]C[解析]∵函数F(x)＝eq\f(fx,ex)的导数F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f()<ef(0)．故选C.14．函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是()[答案]D[解析]由f(x)的图像知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.二、填空题15．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是____________．[答案]a＜0[解析]由题知f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等实根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝－12a>0，))∴a<0.16．已知函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．[答案](－∞，eq\f(1,2))[解析]f′(x)＝eq\f(ax＋2－ax－1,x＋22)＝eq\f(2a－1,x＋22)，由题意得x>－2时，f′(x)≤0恒成立，∴2a－1≤0，∴a≤eq\f(1,2).又当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\f(\f(1,2)x＋1,x＋2)＝eq\f(1,2)，此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠eq\f(1,2).综上可知，a的取值范围为(－∞，eq\f(1,2))．三、解答题17．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[答案](1)a＝1，b＝－3(2)增区间(－∞，－1)，(3，＋∞)减区间(－1,3)[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.因为f(x)的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．18．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[答案](1)a≤0(2)a＝1[解析](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立