高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3

【成才之路】-学年高中数学本册综合测试1北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间120分钟，满分150分。第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解高一1500名新生的年龄情况，从中抽取100名新生．就这个问题，有下列说法：①1500名新生是总体；②每个新生是个体；③所抽取的100名新生是一个样本；④样本容量为100；⑤每个新生被抽到的概率相等．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]1500名新生的年龄情况是总体；每个新生的年龄是个体；因而④、⑤正确，其它错误．解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念．2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是()A．抽签法 B．有放回抽样C．随机数表法 D．系统抽样[答案]D[解析]因为抽取样本时间隔的距离相等，所以是系统抽样．3．(·湖南文，5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]B[解析]利用几何概型公式求解，在区间为[－2,3]上随机选取一个数x，则x≤1，即－2≤x≤1的概率为P＝eq\f(3,5).4．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为()甲乙809321134876542020011373A.22,20 B．24,18C．23,19 D．23,20[答案]C[解析]甲命中个数：8、12、13、20、22、24、25、26、27、37，中位数为eq\f(1,2)(22＋24)＝23，同理乙的中位数为eq\f(1,2)(18＋20)＝19.5．甲、乙、丙、丁4人分乘两辆车，每辆车乘两人，则甲、乙同车的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]乘车的所有可能情况是甲、乙→丙、丁；甲、丙→乙、丁；甲、丁→乙、丙，所以甲、乙同车的概率为eq\f(1,3).6．(·福建理，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案]B[解析]本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝10>15，故输出S＝20.对于较为简单的循环结构的框图问题，可直接令n＝1,2,3……进行求解．7．某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1200人，则该年级抽取的学生数为()A．20 B．30C．24 D．25[答案]C[解析]抽样比：eq\f(60,3000)＝eq\f(1,50)，∴高一抽取：1200×eq\f(1,50)＝24.8．在箱子中装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)[答案]D[解析]先后两次抽取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个，因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10对数，故x＋y是10的倍数的概率P＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).9．(·湖北文，6)根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b<0 D．a<0，b>0[答案]A[解析]本题考查散点图的应用．作出散点图如下：由图像不难得出：回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.所以a>0，b<0.解答本题若没有想到画出散点图，直观通过数据来判断系数b，a与0的大小好像无头绪，容易造成错解．10．一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是()A.eq\f(1,2)s2 B．2s2C．4s2 D．s2[答案]C[解析]设一组数据x1，x2，…，xn，则s2＝eq\f(x2－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2,n)，将每一个数乘以2，则eq\x\to(x′)＝2eq\x\to(x).所以s′2＝eq\f(2x1－2\x\to(x)2＋2x2－2\x\to(x)2＋…＋2xn－2\x\to(x)2,n)＝eq\f(4,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝4s2.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案]160[解析]本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为eq\f(280,560＋420)＝eq\f(2,7)，所以男生数应为560×eq\f(2,7)＝160.分层抽样是按比例抽取，一定要先找出抽样比．12．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)[答案]0.3[解析]在五个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字，剩下两个数字，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，其中事件“两个数字都是奇数”＝{(1,3)，(1,5)，(3,5)}，故概率为0.3.13．(·辽宁文，13)执行下面的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.[答案]20[解析]考查程序框图的循环结构．i＝1时，S＝1，T＝1；i＝2时，S＝3，T＝4；i＝3时，S＝6，T＝10；i＝4时，S＝10，T＝20，i＝4>3，∴输出T＝20.注意：找准i与n的关系．14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．[答案]9[解析]本题考查频率分布直方图，考查阅读图表的能力．平均气温不低于25.5℃的城市T数设为x，则eq\f(0.12＋0.10,11)＝eq\f(0.18,x).∴x＝9.本题也可以利用矩形面积求解．15．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．[答案]eq\f(7,8)[解析]设电子元件接通记为1，不通记为0.设A表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然eq\x\to(A)表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)}．Ω中由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.eq\x\to(A)＝{(0,0,0)}．事件eq\x\to(A)由一个事件组成，因此P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,8)，又因为P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某公司在过去几年使用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组频数频数[700,900)48[900,1100)121[1100,1300)208[1300,1500)223[1500,1700)193[1700,1900)165[1900，＋∞)42(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的概率．[解析](1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中灯管使用寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6.17．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得二分，为黑球得一分，为红球不得分．现从袋子中取出1个小球，求总得分为二分的概率．[解析](1)由题意可知eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共6个，记事件A为“总得分为二分”，包含的基本事件为(a，c1)，(a，c2)，共2个．∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).18．(本小题满分12分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)S1输入x；S2若x<－2，执行S3；否则，执行S6；S3y＝2x＋1；S4输出y；S5执行S12；S6若－2≤x<2，执行S7；否则执行S10；S7y＝x；S8输出y；S9执行S12；S10y＝2x－1；S11输出y；S12结束．(1)指出其功能(用数学式子表达)；(2)画出该算法的算法框图．[解析](1)该算法的功能是：x已知时，求函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<－2，,x，－2≤x<2，,2x－1，x≥2))的值．(2)算法程序图如下．19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[分析](1)根据条件可画出图；(2)用求平均数与方差的公式可求；(3)算出不低于95的频率可求得本题．[解析](1)(2)质量指标值的样本平均数为eq\x\to(x)＝80×0.06×＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．20．(本小题满分13分)某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样的方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：树干周长(单位：cm)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)株数418x6(1)求x的值；(2)若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．[解析](1)因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树100×eq\f(400,1000)＝40株．所以在4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树，记“恰好在排查到第二株时发现患虫害树”为事件A，则A是指第二次排查到的是树4，因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为：Ω＝{(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)}，共12个基本事件．又事件A中包含的基本事件有3个，所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率P(A)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).21．(本小题满分14分