2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编-几何综合（含答案解析）

第1页（共1页）2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——几何综合参考答案与试题解析一．全等三角形的判定与性质（共3小题）1．（2022秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．（1）求证：△BEC是等腰三角形；（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC＝∠C，进而得出EB＝EC，即可得出结论；（2）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再证明△AFD≅△ACD，根据全等三角形的性质得出AF＝AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD＝AC．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝40°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：AB+BD＝AC，证明：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，∴∠F＝∠BDF，∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，∴2∠F＝80°，∴∠F＝40°，∵∠C＝40°，∴∠F＝∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△AFD≅△ACD（ASA），∴AF＝AC，∴AB+BF＝AC，即：AB+BD＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022秋•大兴区期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M是AB的中点，作∠DME＝90°，使得射线MD与射线ME分别交射线AC，CB于点D，E．（1）如图1，当点D在线段AC上时，线段MD与线段ME的数量关系是MD＝ME；（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD，CE和BC之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）连接CM，证明△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性质可得出MD＝ME；（2）连接CM，同（1）可证△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性质可得出CD＝BE，则可得出结论．【解答】解：（1）连接CM，∵△ABC是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴CM＝MB，CM⊥AB，∠ACM＝∠ACB＝45°．∴∠ACM＝∠B＝45°，又∵∠DMC+∠CME＝∠BME+∠CME＝90°，∴∠DMC＝∠BME，∴△MCD≌△MBE（ASA），∴MD＝ME；故答案为：MD＝ME；（2）CE＝CB+CD．证明：连接CM，同（1）可知CM＝BM，∠ACM＝∠CBA＝45°，∴∠DCM＝∠MBE＝135°，∵∠DMC+∠DMB＝∠BME+∠DMB＝90°，∴∠CMD＝∠BME，∴△MCD≌△MBE（ASA），∴CD＝BE，∴CE＝CB+BE＝CB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．3．（2022秋•通州区期末）如图△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC垂足为点C，且AE＝BD，AE交线段BC于点F．（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明CE＝AD；（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．【分析】（1）根据HL证明Rt△ACE≌Rt△BAD，可得结论；（2）由全等三角形的性质得∠E＝∠ADB，从而有∠CFE＝∠E，再说明AE⊥BD，即可证明结论．【解答】（1）解：如图，在Rt△ACE和Rt△BAD中，，∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），∴CE＝AD；（2）证明：∵Rt△ACE≌Rt△BAD，∴∠E＝∠ADB，∵∠CFE＝∠ADB，∴∠CFE＝∠E，∵∠ACE+∠DAB＝180°，∴CE∥AB，∴∠E＝∠FAB，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∵∠ADB＝∠E＝∠EAB，∴AE⊥BD，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∠AFB+∠FBD＝90°，∴∠ABD＝∠FBD，∴BD平分∠ABC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证明AE⊥BD是解题的关键．二．等腰三角形的性质（共1小题）4．（2022秋•海淀区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝α（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH＝BC；（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论．【分析】（1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解；（2）作AE⊥BC于E，由两角互补的概念，可以证明△ACH≌△ACH（AAS），即可解决问题；（3）分两种情况，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，应用三角形全等，可以解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵∠ACD与∠BAC互余，∴∠ACD＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，故答案为α；（2）证明：作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，AC＝AD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACH＝∠ACD，CE＝BC，∴∠EAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD），∵∠ACD与∠BAC互补，∴∠EAC+∠ACH＝×180＝90°，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ACH，∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE（AAS），∴CH＝EC＝BC；（3）∠ACD＝∠BAC或∠ACD与∠BAC互补；理由如下：如图1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，∵△ABC与△ACD的面积相等，∴AC×BN＝AC×DM，∴BN＝DM，∵DC＝AB，∴Rt△DMC≌Rt△BNA（HL），∴∠ACD＝∠BAC；如图2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，∵△ABC与△ACD的面积相等，∴AC×DG＝AB×CF，∴DG＝CF，∵AC＝CD，∴Rt△ACF≌Rt△CDG（HL），∴∠BAC＝∠DCG，∵∠DCG+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC与∠ACD互补．【点评】本题考查等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等三角形．三．勾股定理（共1小题）5．（2022秋•延庆区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABD＝α，点D为AC边上的一个动点，连接BD，点A关于直线BD的对称点为点E，直线BD，CE交于点F．（1）如图1，当α＝20°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当0°＜α＜45°时，用等式表示线段FC，EF，BC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）连接EB，只要证明△ECB是等腰三角形即可解决问题；（2）结论：EF2+FC2＝2BC2，只要证明∠BFC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得．在Rt△AFC中，由勾股定理得AF2+FC2＝AC2．由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，连接EB，∵A，E关于BD对称，∴∠ABD＝∠EBD＝20°，BA＝BE＝BC．∵∠ACB＝90°，∴∠EBC＝50°，∴∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠CEB＝∠BFC+∠EBD，∴∠BFC＝65°﹣20°＝45°．∴∠BFC的度数是45°；（2）线段FC，EF，BC之间的数量关系是：EF2+FC2＝2BC2．证明：如图，连接AF，BE．∵点E和点A关于BD对称，∴AF＝EF，AB＝BE，∠AFB＝∠EFB，∠ABF＝∠EBF＝α．∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣2α．∵AB＝BC，AB＝BE，∴BC＝BE．∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣90°+2α）＝45°+α．∵∠BEC＝∠FBE+∠BFE，∠FBE＝α，∴∠BFE＝45°．∴∠AFE＝90°．在Rt△ABC中，由勾股定理得，．在Rt△AFC中，由勾股定理得，AF2+FC2＝AC2．∴．∴EF2+FC2＝2BC2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．四．三角形综合题（共9小题）6．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜90°），AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AC于E，交AD于点F，作∠ABE的角平分线AD于M，交AC于N．（1）①补全图形1；②求∠CBE的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠α＝45°，猜想AF与BM的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，证出∠ADB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；（2）连接MC，证出∠MBC＝45°，证明△AEF≌△BEC（ASA），由全等三角形的性质得出AF＝BC，证出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出BC＝BM，则可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形如下：②∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CBE＝∠DAC＝α；（2）BM．证明：连接MC，∵∠BAC＝45°，∠AEB＝90°，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∴AE＝EB，∵BN平分∠ABE，∴∠NBE＝∠ABE＝22.5°，∵∠DAC＝∠BAC＝22.5°，∴∠EBC＝∠DAC＝∠NBE＝22.5°，∴∠MBC＝45°，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BM＝MC，∵∠MBC＝45°，∴△BMC是等腰直角三角形，∴BC＝BM，∴AF＝BM．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段中垂线的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2022秋•怀柔区期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，E为中线AD上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线AC的对称点是点F．连接AF，EF，BF．（1）①在图1中补全图形；②他发现点E在中线AD上运动时，△AEF是一种特殊三角形．请你回答△AEF是等边三角形；③利用图1证明这个结论．（2）康康同学发现当E点在中线AD上运动时，BF的长度也有规律的变化．当BF为最大值时，在图2中画出点F，并连接AF，BF，BF与AC交于点P．①按要求画出图形；②在AF上存在一点Q，使PQ+QC的值最小，猜想这最小值＝BP（填＞，＜，＝）；③证明②的结论．（3）在边AC上存在一点M，同时满足BM﹣ME的值最大且BM+ME的值最小，则此时MC与AC的数量关系是MC＝AC．【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由等边三角形的性质和轴对称的性质即可得出结论；③由等边三角形的性质得∠CAD＝∠BAC＝30°，再由轴对称的性质得AF＝AE，∠CAF＝∠CAD＝30°，则∠EAF＝∠CAD+∠CAF＝60°，即可得出结论；（2）①按要求画出图形即可；②由轴对称的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；③作点P关于AF的对称点P'，连接CP'交AF于点Q，则PQ＝P'Q，得PQ+QC的最小值为CP'，再证△CAP'≌△BAP（SAS），得CP'＝BP，即可得出结论；（3）连接BE幷延长交AC于点M，设BF交AC于点P，由轴对称的在得BP+EP最小，再由BM﹣EM最大，则点M与点P重合，点E在BF上，由等边三角形的性质证明P为AC的中点，即可得出结论．【解答】（1）①解：补全图形如图1；②解：△AEF是等边三角形，故答案为：等边；③证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵D为BC边的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝30°，∵点E关于直线AC的对称点是点F，∴AF＝AE，∠CAF＝∠CAD＝30°，∴∠EAF＝∠CAD+∠CAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；（2）①解：按要求画出图形，如图2；②解：在AF上存在一点Q，使PQ+QC的值最小，猜想PQ+QC的最小值＝BP，故答案为：＝；③证明：作点P关于AF的对称点P'，连接CP'交AF于点Q，则PQ＝P'Q，∴PQ+QC的最小值为CP'，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠ABC＝∠BAC＝60°，∵点P关于AF的对称点为P'，∴∠P'AF＝∠FAC＝30°，AP'＝AP，∴∠CAP'＝∠P'AF+∠FAC＝30°+30°＝60°，∴∠CAP'＝∠BAP＝60°，∴△CAP'≌△BAP（SAS），∴CP'＝BP，∴PQ+QC的最小值＝BP；（3）解：如图4，连接BE幷延长交AC于点M，设BF交AC于点P，∵点E关于直线AC的对称点是点F，∴BP+EP最小，∵BM﹣EM最大，∴点M与点P重合，点E在BF上，如图5，∵△AEF是等边三角形，∴∠F＝60°，∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠F＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABF＝∠ABC，∴BP平分∠ABC，∴P为AC的中点，∴MC＝AC，故答案为：MC＝AC．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及最大值与最小值等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．（2022秋•丰台区期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．①设∠BAD＝α，则∠CAG＝55°﹣α（用含有α的式子表示）；②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段CG＝B'G的长度相等；（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据∠BAD+∠CAE＝55°，可求∠CAG＝55°﹣α；②连接AB'，证明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得到CG＝B'G；（2）作B点关于AD的对称点B'，连接AB'，设∠BAF＝β，证明△CAG≌△B'AG（SAS），即可得CG＝B'G＝2BF+BG．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝110°，∠DAE＝55°，∴∠BAD+∠CAE＝55°，∵∠BAD＝α，∴∠CAG＝55°﹣α，故答案为：55°﹣α；②连接AB'，由对称性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，∵AB＝AC，∴AC＝AB'，∵∠DAG＝55°，∠BAC＝110°，∴∠BAF+∠CAG＝∠B'AD+∠GAB'，∴∠CAG＝∠GAB'，∴△CAG≌△B'AG（SAS），∴CG＝B'G，故答案为：CG＝B'G；（2）CG＝2BF+BG，理由如下：作B点关于AD的对称点B'，连接AB'，由对称性可知，AB＝AB'，∠BAD＝∠B'AD，∵AB＝AC，∴AC＝AB'，设∠BAF＝β，∵∠DAG＝55°，∴∠BAG＝55°﹣β，∵∠BAC＝110°，∴∠CAG＝55°+β，∵∠GAB'＝55°+β，∴△CAG≌△B'AG（SAS），∴CG＝B'G，∵B'G＝2BF+BG，∴CG＝2BF+BG．【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．9．（2022秋•朝阳区期末）在△ABC中，AC＝BC，0°＜∠ACB＜120°，CD是AB边的中线，E是BC边上一点，∠EAB＝∠BCD，AE交CD于点F．（1）如图①，判断△CFE的形状并证明；（2）如图②，∠ACB＝90°，①补全图形；②用等式表示CA，CD，CF之间的数量关系并证明．【分析】（1）设∠EAB＝α，得出∠CFE＝90°﹣α，再表示出∠B＝90°﹣2α，进而得出∠CFE＝∠CEF，即可得出结论；（2）①根据要求补全图形即可；②2CD＝AC+CF；先判断出AB＝2CD，BH＝EH，再判断出△AEC≌△AEH（AAS），得出AC＝AH，CE＝EH，借助（1）的结论，即可得出结论．【解答】解：（1）△CEF是等腰三角形，证明：∵AC＝BC，CD是AB边的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°，设∠EAB＝α，∴∠CFE＝∠AFD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣α，∵∠EAB＝∠BCD，∴∠BCD＝2∠EAB＝2α，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣2α，∴∠CEF＝∠EAB+∠B＝α+90°﹣2α＝90°﹣α，∴∠CFE＝∠CEF，∴△CEF是等腰三角形；（2）①补全图形如图②所示，②2CD＝AC+CF；证明：如图③，在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∴∠BEH＝45°＝∠B，∴BH＝EH，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD是AB边的中线，∴AB＝2CD，∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠EAB＝∠BCD＝22.5°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝22.5°＝∠EAB，∵∠ACB＝∠AHE＝90°，∵AE＝AE，∴△AEC≌△AEH（AAS），∴AC＝AH，CE＝EH，由（1）知，CE＝CF，∴CF＝BH，∴AB＝AH+BH＝AC+CF，∴2CD＝AC+CF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．10．（2022秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点B关于AC边的对称点为D，连接CD，过点A作AE∥CD且AE＝CD，连接CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断AB和DE的数量关系并证明；（3）平面内有一点M，使得DM＝DC，EM＝EB，求∠CDM的度数．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）结论：AB＝DE，证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC＝DE，可得结论；（3）分两种情形：如图2中，当∠CDM是钝角．证明△ABE≌△DEM（SSS），推出∠BAE＝∠EDM＝135°，即可解决问题，如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°解决问题．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）结论：AB＝DE．理由：∵AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE；（3）如图2中，当∠CDM是钝角．∵AE＝CD，CD＝DM，∴AE＝DM，∵AB＝DE，BE＝EM，∴△ABE≌△DEM（SSS），∴∠BAE＝∠EDM，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，B，D关于AC对称，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AE∥CD，∴∠EAD＝∠ADC＝75°，∴∠BAE＝30°+30°+75°＝135°，∴∠EDB＝∠BAE＝135°，∴∠CDM＝360°﹣75°﹣﹣30°﹣135°＝120°．如图3中，当∠CDM′是锐角时，同法可得∠ADM′＝∠BAE＝135°，∴∠CDM′＝135°﹣75°﹣30°＝30°，综上所述，∠CDM的值为120°或30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11．（2022秋•大兴区期末）如图，△ABC为等边三角形，AC＝AD，∠DAC＞60°，连接BD交AC于点E，分别延长DA，CB交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠DBC＝40°，直接写出∠BAF的度数为40°；（3）用等式表示线段CF，AF，AE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，AB＝AC，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出答案；（3）在BC上取点M，使CM＝AE，连接AM，证明△ABE≌△CAM（ASA），由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAM，证出AF＝FM，则可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC，∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADE，∵∠DBC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADE＝20°，∴∠BAF＝∠ABE+∠ADE＝40°；故答案为：40°；（3）CF＝AF+AE．证明：在BC上取点M，使CM＝AE，连接AM，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（ASA），∴∠ABE＝∠CAM，∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠FAB＝∠ABD+ADB＝2∠ABD，∴∠FAM＝∠FAB+∠BAC﹣∠CAM＝2∠ABE+60°﹣∠ABE＝∠ABE+60°，∵∠AMB＝∠CAM+∠ACB＝∠ABE+60°，∴∠FAM＝∠AMB，∴AF＝FM，∵CF＝AF+CM，∴CF＝AF+AE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2022秋•通州区期末）已知：线段AB及过点A的直线l．如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连结CF．（1）根据题意补全图形；（2）如图，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°），①∠ABE＝120°﹣α；（用含有α代数式表示）②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；②结论：FA＝EF+FC；在FA上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC；证明△AEG≌△CEF（SAS），推出AG＝CF，推出FA＝FG+AG＝FG+CF，可得结论．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2）①∵线段AC与线段AB关于直线l对称，∴AC＝AB，AD垂直平分线段BC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝2α﹣60°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣2α+60°）＝120°﹣α．故答案是：120°﹣α；②结论：FA＝EF+FC；理由：在FA上截取FG，使得FG＝EF，连接EG，FC．∵∠ABE＝120°﹣α，∠BAD＝α，∴∠AFB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝60°，∵FG＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴EG＝EF＝FG，∠GEF＝60°，∴∠AEC＝∠GEF，∴∠AEC＝∠GEF，∴∠AEG＝∠CEF，在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF（SAS），∴AG＝CF，∴FA＝FG+AG＝FG+CF＝EF+FC，即FA＝EF+FC．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．（2022秋•房山区期末）△ABC是等边三角形，点D是直线AC上一动点，点E在BC的延长线上，且CE＝AD，连接DB，DE．（1）如图1，若点D是线段AC的中点，则∠BDE＝120°；（2）当点D在线段AC上时，依题意补全图2，用等式表示DB与DE的数量关系，并证明；（3）当点D在线段AC的延长线上时，请直接用等式表示DB与DE的数量关系．【分析】（1）证明∠DBC＝∠E＝30°，可得结论；（2）结论：DB＝DE．如图2中，过点D作DT∥CB交AB于点T．证明△BTD≌△DCE（SAS），可得结论；（3）结论：DB＝DE．证明方法类似（2）．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵AD＝CE，AD＝DC，∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为：120；（2）结论：DB＝DE．理由：如图2中，过点D作DT∥CB交AB于点T．∵DT∥CB，∴∠ATD＝∠ABC＝60°，∠ADT＝∠ACB＝60°，∴△ADT是等边三角形，∴AD＝DT＝AT，∠ATD＝60°，∵AD＝CE，AB＝AC，∴BT＝CD，DT＝CE，∵∠BTD＝∠DCE＝120°，∴△BTD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE；（3）结论：DB＝DE．理由：如图3中，过点D作DT∥CB交AB的延长线于点T．∵DT∥CB，∴∠ATD＝∠ABC＝60°，∠ADT＝∠ACB＝60°，∴△ADT是等边三角形，∴AD＝DT＝AT，∠ATD＝60°，∵AD＝CE，AB＝AC，∴BT＝CD，DT＝CE，∵∠BTD＝∠DCE＝60°，∴△BTD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．14．（2022秋•昌平区期末）在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ．（1）若∠BAP＝20°，则∠AQB＝80°；（2）在图1中，求证：BP＝CQ；（3）点M在边AC上，CM＝CQ，点D为AQ的中点，连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN．①依题意将图2补全；②猜想△PMN的形状，并证明．【分析】（1）在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，而AP＝AQ，即可求解；（2）证明BH＝CH，PH＝QH，即可求解；（3）①按要求补全图即可；②证明△ADN≌△QDM（AAS）、△ANM≌△BPN（SAS），得到MN＝PN，进而求解．【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，则∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APQ＝80°，故答案为：80；（2）证明：过点A作AH⊥BC于点H，∵△ABC为等边三角形，则BH＝CH，同理可得：PH＝QH，∴BP＝BH﹣PH＝CH﹣QH＝CQ；（3）解：①连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN，补全图如下：②△PMN为等边三角形，理由：连接CM，∵CM＝CQ，∠C＝60°，∴△CQM为等边三角形，则CQ＝CM＝QM，∴∠B＝∠CQM＝60°，∴QM∥AB，∴∠MQD＝∠NAD，∠ADN＝∠DMQ，∵D为AQ的中点，即AD＝QD，∴△ADN≌△QDM（AAS），∴AN＝QM，设等边三角形ABC的边长为a，等边三角形CMN的边长为b，则AN＝QM＝b，由（2）知，则BP＝CQ＝b＝AN，而BN＝AB﹣AN＝a﹣b，AM＝AC﹣CM＝a﹣b＝BN，在△BNP和△MAN中，，∴△ANM≌△BPN（SAS），∴MN＝PN，同理可得：MN＝PM，∴MN＝PN＝PM，∴△PMN为等边三角形．【点评】本题考查了三角形三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．五．作图—复杂作图（共1小题）15．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．（1）作图与探究：①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝36°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：小明的证明：在△ABE与△DAC中，，可得△ABE≌△DAC．（ASA）请你判断小明的证明是否正确并说明理由；（2）证明与拓展：①借助小明画出的图2证明BE＝DE；②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量关系并加以证明．【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，证明△ABC≌△ABE（ASA），即可的结论成立；②小明证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；（2）①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；②根据题意即可补全图形；过点B作BG⊥EF于点G，如图4，证明△ABE≌△CAF（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠DAC＝36°，∴∠ABE＝∠ABC＝36°，∵∠BAC＝∠BAE＝180°﹣2×36°＝108°，∵AB＝AB，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴AC＝AE．∴增加∠ABC＝36°时，AE＝AC成立．故答案为：36；②小明的证明不正确，他证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明．（2）①证明：如图2，∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∵∠DBE＝∠1+∠3，∠4＝∠2+∠C，∠1＝∠2，∴∠DBE＝∠4．∴BE＝DE；②解：补全的图形如图3，猜想∠BFE＝∠AFC，证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图4，∵DF＝AE，∴AE+AD＝DF+AD，∴DE＝AF，∵BE＝DE，∴BE＝AF．在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠E＝∠AFC，∵BA＝BD，BG⊥EF，∴DG＝AG，∵DF＝AE，∴DG+DF＝AG+AE，∴FG＝EG，∵BG⊥EF于点G，∴BE＝BF，∴∠BFE＝∠E，∴∠BFE＝∠AFC．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△CAF．六．作图-轴对称变换（共2小题）16．（2022秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP（1）依题意补全图形；（2）直接写出AB与CP的位置关系；（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP即可；（2）根据角平分线的性质可知∠BAD＝∠CAD，再由轴对称的性质可知∠P＝∠CAD，据此可得出结论；（3）作辅助线，构建等腰三角形，易证△ACH≌△AFH，则AC＝AF，HC＝HF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG＝AH，再由线段的和可得结论．【解答】解：（1）如图．（2）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵点A与点P关于直线CH对称，∴∠P＝∠CAD，∴∠P＝∠BAD，∴AB∥CP；（3）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH＝AB+AC．证明：延长AB和CH交于点F，取BF的中点G，连接GH．在△ACH与△AFH中，，∴△ACH≌△AFH（ASA），∴AC＝AF，HC＝HF，∴GH∥BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠AGH＝∠AHG，∴AG＝AH，∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，构建等腰三角形是解题的关键．17．（2022秋•北京期末）如图，△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'于点F．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC的度数（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题中步骤画图，根据对称和平行的性质求解；（2）添加辅助线，证明线段相等，利用等量代换证明．【解答】解：（1）如图：∵点B关于直线AD的对称点B'，∴AB＝AB′，∴△ABE≌△AB′E，∴∠BAF＝∠BAD＝a，∠AEB＝∠AEB′＝90°，∴∠AB′E＝90°﹣a，∵CF∥AB，∴∠AFC＝180°﹣2a；（2）AF＝AB+CF；理由：如图：连接B′C，B′D，∵点B关于直线AD的对称点B'，D平分BC∴BD＝CD＝DB′，∴∠BB′C＝90°，∴∠CB′B＝90°﹣∠AB′B＝a，∴∠B′CF＝180°﹣∠CB′B﹣∠F＝a，∴∠CB′B＝∠B′CF，∴CF＝CB′，∵AB＝AB′，∴AF＝AB′+B′F＝AB+CF．【点评】本题考查了轴对称，掌握轴对称的性质三角形的内角和是解题的关键．七．几何变换综合题（共2小题）18．（2022秋•东城区期末）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是：AE＝AD，BE与AE的数量关系是：BE＝3AE；（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2