第27讲正弦函数余弦函数的性质（思维导图4知识点8考点过关检测）

第27讲正弦函数、余弦函数的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2．会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间；3．掌握函数y=sinx，y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性；4．掌握正（余）弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.知识点1周期函数1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.3、周期函数的周期公式（1）一般地，函数的最小正周期（2）若函数的周期是，则函数的周期为,知识点2正（余）弦函数的性质图象定义域值域[1,1][1,1]最值周期性奇偶性奇偶单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，知识点3正弦型及与余弦型函数的性质y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(A≠0)的性质函数定义域值域单调性当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化.奇偶性当时为奇函数；当时为偶函数当时为偶函数；当时为奇函数周期性图象对称性将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解.知识点4三角函数的值域求法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．（3）对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论．考点一：求正（余）弦函数的周期性例1．求下列函数的周期.(1);(2);(3);(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）因为，由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.（2）因为，由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.（3）因为，由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.（4）因为，由周期函数的定义得，的周期为，所以函数的周期为.【变式11】（2324高一上·江苏扬州·月考）函数的最小正周期，则.【答案】±2【解析】因为，所以，解得，故答案为：.【变式12】（2324高三上·湖北荆州·月考）函数的最小正周期为.【答案】/【解析】由诱导公式可知，，当时，与不恒相等，故的最小正周期为，故答案为：【变式13】（2324高一下·上海·开学考试）已知，则.【答案】2【解析】易知以6为周期.枚举得，，，，，，所以.又，所以.故答案为：考点二：正（余）弦函数的奇偶性例2.函数y＝是（

）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【解析】定义域为R，，则是奇函数．故选：A.【变式21】（2324高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则．【答案】【解析】由题意可知：关于原点对称，可知，且，所以.故答案为：.【变式22】（2324高一下·辽宁本溪·月考）（多选）已知为偶函数，则和的可能取值分别为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为为偶函数，所以，则，所以为任意实数，,B，C选项符合题意．故选：ABC．【变式23】（2324高一下·辽宁朝阳·月考）已知定义域为的奇函数，则的值为（

）A． B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因为定义域为的奇函数，则，即，又，即，即，解得，所以，则.故选：C考点三：正（余）弦函数对称性例3.（2324高一下·北京海淀·期中）函数的对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，，因此点是函数图象的对称中心，点不是；，则点及都不是函数图象的对称中心.故选：B【变式31】（2324高一下·北京·月考）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，为奇函数，A错误；对于B，为偶函数，因为，所以的图象关于点对称，B正确；对于C，为偶函数，因为，所以不是的对称中心，C错误；对于D，为奇函数，D错误.故选：B【变式32】（2324高一下·贵州遵义·期中）函数图象的对称轴方程是．【答案】【解析】令，解得则图象的对称轴方程是.故答案为：.【变式33】（2324高一下·重庆·月考）设函数关于对称，若函数，则的值为（

）A．1 B．或3 C． D．【答案】C【解析】因为关于对称，故，故，，故，故选：C.考点四：正（余）弦函数的单调性例4.（2324高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为．【答案】【解析】由，可得，令，解得，所以函数，的单调增区间为.故答案为：【变式41】（2324高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为.【答案】【解析】由解得，因为，所以的单调递减区间为.故答案为：【变式42】（2324高一下·上海·期中）的单调减区间为.【答案】.【解析】由于函数，令解得可得函数的减区间为故答案为：【变式43】（2324高一下·河南驻马店·月考）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，要求的递增区间即求的递减区间，当，，即，时，单调递减，即单调递增，故B正确.故选：B.考点五：根据正（余）弦函数的单调性求参例5.（2324高一下·北京·月考）若函数在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】对于函数，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，当时函数的一个单调递增区间为，又函数在上单调递增，所以，则的最大值为.故选：B【变式51】（2324高一下·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，而正弦函数在上单调递增，因此，解得，所以实数a的最大值为.故选：B【变式52】（2223高一下·河南南阳·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，要使得函数在区间上单调递减，则满足且，解得，即的取值范围是.故选：D.【变式53】（2324高一下·广东潮州·月考）若函数在上单调递增则的取值范围为.【答案】【解析】由，得.因为在上单调递增，所以，得，则，解得，则，故的取值范围为.故答案为：考点六：比较正（余）弦函数值的大小例6.（2223高一下·四川绵阳·月考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由诱导公式知：，，在上单调递增，，即.故选：D.【变式61】（2223高一下·河南南阳·月考）（多选）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A中，因为，，由在单调递增，所以，所以A正确；B中，因为，，显然，即，所以B正确：C中，，，故，所以C错误；D中，因为，在内单调递增，所以，所以D正确；故选：ABD．【变式62】（2324高一下·辽宁抚顺·月考）（多选）下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；对于C,，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC【变式63】（2324高一上·湖南长沙·月考）（多选）已知，为锐角三角形的两个锐角，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于AC：不确定，的大小，故的大小以及的大小均不确定，AC错误；对于BD，由已知得，所以，所以，BD正确.故选：BD.考点七：求正（余）弦函数的最值例7.（2324高一下·江西宜春·月考）函数的值域是（

）A．[－1,1] B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以故选：B．【变式71】（2223高一下·四川南充·期中）函数的值域为.【答案】【解析】，，则，，故.故答案为：【变式72】（2324高一下·安徽亳州·月考）函数的最小值为.【答案】【解析】令，，，结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值，所以.故答案为：【变式73】（2324高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，令，故.故当时，有最大值，当时，有最小值3，故所求值域为.故选：B.考点八：函数y=Asin(ωx+φ)的综合例8.（2324高一上·广东汕头·期末）（多选）下面关于叙述中正确的是（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．在区间上单调 D．函数的零点为（）【答案】AC【解析】对于函数，令，求得，可得它的图象关于点对称，故正确、不正确．区间上，,单调递增，故正确．令，得函数的零点为，故不正确，故选：AC．【变式81】（2324高一下·辽宁·月考）（多选）已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（

）A．的取值范围是 B．的图象在上最多有5条对称轴C．的图象在上有3个最大值点 D．在上单调递增【答案】ACD【解析】A：由，得，要使在上有且仅有5个零点，则，解得，故A正确；B：由A知，，所以的图象在上有5或6条对称轴，故B错误；C：由A知，，所以的图象在上有3个最大值点，故C正确；D：由，得，又，所以，所以在上单调递增，故D错误.故选：ACD【变式82】（2324高一下·重庆铜梁·月考）已知函数．(1)求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．(2)求函数在上的单调递增区间．【答案】(1)；；(2)和【解析】（1）对于函数，当时，即时，函数取得最小值；（2），，由和可得和，所以函数的单调增区间为和.【变式83】（2324高一下·辽宁沈阳·月考）已知，对任意都有，(1)求的值：(2)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，于是，而，则，所以.（2）由（1）知，，则，，，当时，，，令，显然，不等式，依题意，，不等式恒成立，显然，，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的取值范围是.一、单选题1．（2324高一上·湖北孝感·期末）函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．周期为【答案】B【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，则A、C错误，B正确；又由，则的周期不是，D错误.故选：B.2．（2223高一下·云南·月考）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成（如下图所示），又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确；对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误；对于C：定义域为，，即为偶函数，又，所以为的周期，故C错误；对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误；故选：A3．（2324高一下·辽宁鞍山·月考）关于函数，下列选项中是对称中心的有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令解得，故对称中心为，经检验只有，符合题意.故选：C4．（2324高一下·海南海口·月考）若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为的图象关于直线对称，所以，得，因为，所以．故选：C5．（2324高一下·山东威海·月考）下列函数中，最小正周期为，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A项，的周期为，当时，取，因在上单调递减，故A项错误；对于B项，的周期是,故B项错误；对于C项，，其周期为，由选项A知，该函数在上单调递增，故C项正确；对于D项，的周期为，故D项错误.故选：C.6．（2324高一下·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得到，又因为在上单调递减，所以，得到，又，，即，令，得到，故选：D.二、多选题7．（2324高一下·广东佛山·月考）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．在上单调递减 D．是偶函数【答案】BCD【解析】因为，对于A：，所以的图象关于对称，不关于直线对称，故A错误；对于B：，所以的图象关于对称，故B正确；对于C：当时，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；对于D：为偶函数，故D正确.故选：BCD8．（2324高一下·四川泸州·期中）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为【答案】ACD【解析】由题意，，则，故函数解析式为：.对于A，因时，，而，故是图象的一条对称轴，即A正确；对于B，设，当时，，而在上递增，在上递减，故B错误；对于C，当时，，而，故是图象的一个对称中心，即