1.1.1　空间向量及其线性运算 导学案正文

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算【学习目标】1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念.3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算.◆知识点一空间向量及有关概念1.在空间,把具有和的量叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的或.

空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为或.

2.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫作,记为0

单位向量的向量叫作单位向量

相反向量与向量a长度而方向的向量,叫作a的相反向量,记为

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.

规定:零向量与任意向量,即对于任意向量a,都有0a

相等向量方向且模的向量叫作相等向量.在空间,且的有向线段表示同一向量或相等向量

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)零向量是没有方向的. ()(2)两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同. ()(3)空间中方向相反的两个向量是相反向量.()(4)平面内所有单位向量都是相等的. ()◆知识点二空间向量的线性运算1.空间向量的自由性任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,这样任意两个的运算就可以转化为的运算.

2.空间向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算

法则

法则

(1)加法交换律:a+b=;

(2)加法结合律:(a+b)+c=

减法减去一个向量相当于加上这个向量的

法则

a-b=

数乘实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作

(1)|λa|=.

(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=

(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=;

(2)对实数加法的分配律:(λ+μ)a=

【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)AB-DA+AA'=AB+AD+AA'. ((2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ()(3)若λ∈R,则λ(a+b)=λa+λb. ()2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?◆知识点三空间向量共线与共面的充要条件1.空间两向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.

2.空间直线的确定(1)直线的方向向量的定义在直线l上取,把与向量a的非零向量称为直线l的方向向量.

(2)空间直线的确定空间直线可以由其上一点和它的确定.

3.共面向量的定义(1)向量与直线平行如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l或,那么称向量a平行于直线l.

(2)向量与平面平行如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA或,那么称向量a平行于平面α.

(3)共面向量平行于同一个平面的向量,叫作.

4.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于向量p,a,b,若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则向量p与a,b共面. ()(2)若向量p与向量a,b共面,则存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. ()(3)若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面.()(4)若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB.()◆探究点一空间向量的有关概念及应用例1(1)(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 ()A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=bC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有AC=AD.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以该长方体八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有个,模为5的所有向量为.

变式(多选题)在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量是相反向量的是 ()A.AC1B.AD1C.AC与CD.CC1与[素养小结]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.◆探究点二空间向量的线性运算例2(1)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为AC1的有(A.(BC-BA)+CB.(AA1+A1C.AD+CC1D.(AA1+A1(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱B1C1的中点,AE=2ED.设AB=a,AC=b,AA1=c,试用向量a,b,c表示向量AD和变式(1)[2024·武汉二中月考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,F是CC1的中点,G为△ABC的重心,则GF= ()A.-13AB+2B.13AB+2C.-23AB+1D.13AB-2(2)若A,B,C,D为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一定为零向量的是 ()A.AB+2BC+2CD+DCB.2AB+2BC+3CD+3DA+ACC.AB+DA+BDD.AB-CB+CD-AD[素养小结]利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.◆探究点三空间向量的共线、共面问题例3(1)已知空间向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三个点是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D(2)若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为.

变式如图所示,四边形ABCD与四边形ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断CE与MN是否共线.例4如图,已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求证:E,F,G,H四点共面.变式已知A,B,C三点不共线,点M满足OM=13OA+13(1)MA,MB,MC三个向量是否共面?(2)点M是否在平面ABC内?[素养小结](1)证明空间向量共线的方法:证明空间向量a,b共线的关键是利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立,在做题时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb(b≠0),从而得出a∥b.(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明P,A,B三点共线.①存在实数λ,使PA=λPB成立.②对空间任一点O,有OP=xOA+yOB(x+y=1).(3)证明空间三向量共面的方法:证明其中一个向量可以表示成另