函数与方程10类常考压轴小题（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学函数与方程10类常考压轴小题模块一总览模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】分段函数零点个数问题【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）#本*号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【题型3】嵌套（复合）函数求值问题【题型4】反函数对称性的应用【题型5】不等式恒成立与能成立问题【题型6】存在，任意双变量问题【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题#本号资料全部*来源于微信公众号：数学第六感【题型9】2个函数存在对称点问题【题型10】隐零点问题初步模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】分段函数零点个数问题先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的图像变化已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【答案】D【解析】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，画出的图象与，的图象，如下：故函数的零点个数为2或3.（2024·高三·北京通州·期末）已知函数（1）若，则的零点是.本#号#资料全部来源于微信公众号：数学第六感（2）若无零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】（1）若，则，令可得，即的零点是（2）若无零点,则如图所示

当此时，应有，当如图所示，此时应有，综上可得.【巩固练习1】（2024·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；#本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.【巩固练习2】已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增，；由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，【巩固练习3】（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，要使得，即函数与的图象有4个不同交点，则，所以实数的取值范围是．故选：A.【巩固练习4】（2024·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得【巩固练习5】已知函数，令，则下列说法正确的（

）A．函数的单调递增区间为B．当时，可能有3个零点C．当时，的所有零点之和为D．当时，有1个零点【答案】BD【解析】的图像如下：由图像可知，的增区间为，故A错误当时，如图当时，与有3个交点，当时，与有2个交点，当时，与有1个交点，所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，即有3个零点或2个零点或1个零点，故B正确；当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，故C错误；当时，由B选项可知：与有1个交点，即有1个零点，故D正确【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．【答案】【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，易知，所以，则，而由二次函数对称性可知，，所以，根据对勾函数的性质可知，，所以.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，，，AD正确；显然，而，则，即，，，B正确；显然，，C错误.（23-24高三上·广东·阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为.本号*资料全部来源于微信公众号：#数学第六感【答案】6【分析】由函数解析式知函数图象关于直线对称，作出图象，可知，，，即可求得，同时把用表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】，因此的图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，作直线，若是三个根，则，，，若是四个根，由图可知，，，所以，，因此，，令，则，对函数，设，，因为，所以，，所以，即，即是增函数，所以，因素，在时递增，所以．故答案为：6；．【巩固练习1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，设则，令，故在递增，在递减，.【巩固练习2】（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对数的运算性质可判断B，结合函数图象即可求解CD.【详解】解：由函数，作出其函数图象如图所示，由图可知，；当时，令，或，所以；由，得，即，所以，由图可知【巩固练习3】已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，不妨设，由图知：，且，即，令，可得或，令，可得或，所以，而在上递减，故，综上，.【巩固练习3】（23-24高三上·湖北·开学考试）（多选）设函数，若，且，则的值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】BC【分析】作出函数的图象，结合图象可得，由得，从而得，再根据可求出结果.【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，且，当时，令，解得或.由图可知，,，由，可得，所以，则有，所以.令，易知在上为减函数，且，故，且.【巩固练习4】已知函数，函数有四个不同的零点，，，且，，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果.【详解】的图象如图所示，因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，，，所以，，所以，因为，所以，得，即实数的取值范围为，故答案为：【巩固练习5】（22-23高三上·四川内江·阶段练习）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为.【答案】【分析】由时，，得到的图象关于对称，不妨设，画出图象，易得，，，代入求解.【详解】解：当时，，则的图象关于对称，不妨设，如图所示：

由图象知：，，所以，，，，所以，，，令，则.【题型3】嵌套（复合）函数求值问题嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后，根据求解结果，给出问题的答案。已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为________.本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感【答案】【解析】令，则再令，则，则【巩固练习1】任意时，恒成立，且函数y＝f(t)单调，则_________.【答案】【解析】令，则，再令,则有，则所以.【巩固练习2】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______.【答案】；【解析】（1）令，则，则（2），由单调性可知【题型4】反函数对称性的应用反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题，如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性，可以有效简化解题过程，提高解题效率。（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（

）A．1012 B．2024 C．4048 D．8096【答案】B【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.【详解】由得，由得，设点的坐标为，点的坐标为，又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，则点，关于直线对称，即，得已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．【答案】3【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以.【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.又，所以.所以.若满足，满足,则______.【答案】【解析】，令因为EQ2\S\UP6(x)与EQlog\S\DO(2)x关于y＝x对称，所以关于y＝x－1对称，从而它们与的交点也关于y＝x－1对称，易求出与y＝x－1的交点为，所以（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数，令则a，b，c的大小关系为.【答案】【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得.【详解】由，得，由，得，依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，则，，于是，，而，所以，即.【巩固练习1】已知分别是方程与的根，则的值为.本号资料全部来源于微信公众号：数#学第六感【答案】【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解.本号资料全部来源于微信公众号：数学第六*感【详解】易知分别是函数与及函数与交点的横坐标，本号资料#全部来源于微信公众号：数学#第六感易知函数与函数互为反函数，即其图象关于对称，且也关于对称，即函数与及函数与交点关于对称，又易得与交点为，所以的中点为，故.故答案为：.【巩固练习2】（2024·湖南怀化·二模）（多选）已知函数的零点为的零点为，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.【详解】依题意，，，则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，则，于是，，，BC正确，A错误；本*号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感，即，D错误.故选：BC

【巩固练习3】(多选)已知函数的零点为,函数的零点为b,则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】在同一坐标系中做出，，的图像，则由反函数对称性可知A,B关于直线y=x对称，而A,B两点又在上，所以A,B关于点对称，则，，AB正确因为a>0,b>0,且a≠b，所以，D正确；，C错误.【法二】——同构式（指数式化为对数式）由题可知，，而，构造方程，则，b是方程的根而函数是单调增函数，所以，代入可得；，则AB正确因为a>0,b>0,且a≠b，所以，则B错误,D正确【巩固练习4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数方程有两个不同的根，分别是则（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.【详解】由题意得：为R上的增函数，且当时，，，当时，，，方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象如下图所示：由图可知与图象关于对称，则两点关于对称，中点在图象上，由，解得：.所以.【巩固练习5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.【详解】∵函数的零点为，的零点为，∴函数与函数图象的交点的横坐标为，函数与函数图象的交点的横坐标为，作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，对于A：∴，故选项A错误；对于B：易知，故选项B正确；对于C：∵，，，∴，即选项C正确；对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确【巩固练习5】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值．【详解】由题意，，令，因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，设，则关于直线对称，所以且由可得，所以．由可得，所以，又代入上式可得，则．【题型5】不等式恒成立与能成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围．【答案】【解析】因为，由，即，即，设，根据题意知存在，使得成立，即成立，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。【详解】∵∴两边加上得设，则在上单调递增，∴，即令，则∵的定义域是∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴当时，取得极大值即为最大值，且，∴，∴即为所求.【巩固练习1】已知函数，若在上有解，实数的取值范围为________．【答案】【详解】因为在上有解，所以在上有解，本号资#料全部来源于微信公众号：数学第六感当时，在上有解，令，则，令，则，当时，，单调递增，故，则当时，，即．所以，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数的取值范围是．【巩固练习2】已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是________．【答案】【详解】因为，使得，所以，令，即，因为，设，所以在单调递减，又，则当，当，故函数在单调递增，单调递减，的最大值为所以，，即实数的取值范围是．【巩固练习3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.【答案】【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的最小值是.【巩固练习4】已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为________．【答案】【详解】由题意在区间上恒成立，即恒成立，即在区间上恒成立，令，，只需，因为，令，，有，所以函数在上单调递减，所以，即，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以实数的取值范围为．【巩固练习5】（2024高三下·全国·专题练习）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为．【答案】【分析】变形为同构不等式，结合的单调性得在上恒成立，利用导数求出的最小值即可得解.本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感【详解】由，得，得．令，因为，所以函数在上单调递增，则不等式转化为，所以，即在上恒成立．令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即，则的最大值为．【题型6】存在，任意双变量问题存在任意双变量问题（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若，的值域分别为A，B，则有：=1\*GB3①，，使得成立，则；=2\*GB3②，，使得成立，则.已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】的定义域为，则，当时，∵，∴，∴当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为所以，∵，∴，∴在上为增函数．∴，依题意有，∴，∴（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围.【详解】对于，，所以在区间上单调递增，，所以当时，的值域为.对于，，若，则，不符合题意.若，则，所以在上单调递增，所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，而当时所以当时，的值域为，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是．【答案】【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.【详解】函数，在上单调递增，所以，当时，在区间上单调递增，，所以，解得，又因为，所以，解得；当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，，此时，无解；所以的取值范围是，【巩固练习1】已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果.【详解】由题意可知：，因为，则，注意到，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，又因为，由二次函数性质可知，可得，即实数的取值范围是.【巩固练习2】已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围.【详解】因为对于存在，存在，使，所以，，，又，，显然在上单调递减，则，当时，，即在上单调递增，则，由解得：，所以实数的取值范围为.【巩固练习3】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.【详解】由，得，令，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，取最大值，最大值为0；又，，如下图，令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以实数的取值范围是.【巩固练习4】（2024·山东泰安·二模）已知函数.(1)若的极大值为，求的值；(2)当时，若使得，求的取值范围.【解析】（1）因为函数，可得，因为，令，解得或，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以的极大值为，不符合题意；当时，即时，，在上单调递增，无极大值；当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，解得.（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，当时，即时，当时，单调递增，，又因为当时，，因为，所以，当时，使得，当时，即时，当时，单调递增，，当时，若满足题意，只需，即，当时，即时，当时，在上单调递减，上单调递增所以函数的最小值为，所以，又因为时，，若满足题意，只需，即，因为，所以，所以，当时，不存在使得，综上，实数的取值范围为.【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围.【详解】由得或，作出函数的图象，易知当时，不符合题意；当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，由图象知，所以．故选：C．（2024·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，当时，，且，画出函数的图象，如图所示，令，要使得有三个不同的实数解，则有两个不同的实数根和，且或，若且时，此时无解；若且时，令，只需要，解得.故选：C.【巩固练习1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，令，得，当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得或，由函数的图象知：只有一个解，本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感所以有两个解，所以，解得【巩固练习2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.【详解】如图，作出函数的图象，令，由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，当或时，关于的方程只有个实数根，因为关于x的方程有三个不同实数根，所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，或方程的两个根一个为，另一个在上，若为方程的根时，则，当时，方程的另一个根为，不符题意，当时，方程的另一个根为，不符题意，若为方程的根时，则或，当时，方程的另一个根为，不符题意，当时，方程只有一个根为，不符题意，若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，令，则，即，解得，综上所述，实数t的取值范围是.【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑推理。

这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.【详解】关于的方程可化简为，即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，故只需有3个不同的根即可，所以.设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是.【答案】【分析】画出图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解.【详解】作出函数的图象如图，令，函数恰好有五个零点．则方程化为，则必有两个不同实根，则，结合图形可知，则必不为，故方程的一根在区间内，另一根在区间内，令，则，解得：，综上：实数的取值范围为.（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．-3 B．-2 C．0 D．2【答案】BC【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算.【详解】由题意可知，当时，在上单调递减，则；当时，在上单调递增，则；若函数恰好有4个不同的零点，令，则有两个零点，可得，当时，则，解得；当时，则，可得；可得和均有两个不同的实根，即与、均有两个交点，则，且，解得，综上所述：实数的取值范围为.且，故A、D错误，B、C正确.故选：BC.【巩固练习1】（23-24高三上·山东滨州·期末）设函数若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【答案】【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象即可求出的取值范围.【详解】令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图：由图可知，，解得.【巩固练习2】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，依题意，方程有6个不同的实数解，令，则有两个不相等的实数根，且，令，则，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B【巩固练习3】已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的大致图象如图所示，令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内.当在上各有一个实数解时，设，则解得；当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意；当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意.综上可知，实数的取值范围为.【题型9】2个函数存在对称点问题已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示，如图，要使的图象上存在两个点关于原点对称，只需，即即可.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，即在上有解．令，，则，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．【巩固练习1】（2024·四川内江·一模）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，所以，所以函数关于对称的函数为.由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，故函数与函数图象在区间有交点，所以方程在区间上有解，所以，即，所以.【巩固练习2】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图像上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个